登录
1.（新野期中）在实数$-\sqrt{3}$、3.14、0、$π$、$-\sqrt{4}$、0.1616616661…（两个1之间依次多1个6）中，无理数的个数是 【 】
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
C
解析
【分析】
要确定无理数的个数，首先需明确无理数的定义：无限不循环小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但不循环的无限小数。解题时先对题目中能化简的数（如带根号的数）进行化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
首先化简可计算的数：$-\sqrt{4}=-2$，是整数，属于有理数。
逐个判断各数的类型：
1. $-\sqrt{3}$：属于开方开不尽的数，是无限不循环小数，为无理数；
2. 3.14：是有限小数，属于有理数；
3. 0：是整数，属于有理数；
4. $π$：是无限不循环小数，为无理数；
5. $-\sqrt{4}=-2$：是整数，属于有理数；
6. 0.1616616661…（两个1之间依次多1个6）：是有规律但不循环的无限小数，为无理数。
综上，无理数共有3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，二次根式化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记无理数的三种常见形式，注意需先对带根号的数化简后再判断，不要将有限小数3.14混淆为π，也不要误认为有规律的小数都是循环小数。
【难度系数】
0.7
要确定无理数的个数，首先需明确无理数的定义：无限不循环小数，常见的无理数有三类：①开方开不尽的数；②含π的数；③有规律但不循环的无限小数。解题时先对题目中能化简的数（如带根号的数）进行化简，再逐个判断每个数属于有理数还是无理数，最后统计无理数的个数即可得到答案。
【解析】
首先化简可计算的数：$-\sqrt{4}=-2$，是整数，属于有理数。
逐个判断各数的类型：
1. $-\sqrt{3}$：属于开方开不尽的数，是无限不循环小数，为无理数；
2. 3.14：是有限小数，属于有理数；
3. 0：是整数，属于有理数；
4. $π$：是无限不循环小数，为无理数；
5. $-\sqrt{4}=-2$：是整数，属于有理数；
6. 0.1616616661…（两个1之间依次多1个6）：是有规律但不循环的无限小数，为无理数。
综上，无理数共有3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别，实数的分类，二次根式化简
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是牢记无理数的三种常见形式，注意需先对带根号的数化简后再判断，不要将有限小数3.14混淆为π，也不要误认为有规律的小数都是循环小数。
【难度系数】
0.7
2. 下列说法中，正确的是 【 】
A.实数包括有理数、无理数和0
B.有理数就是有限小数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论有理数，还是无理数，都是实数
A.实数包括有理数、无理数和0
B.有理数就是有限小数
C.无限不循环小数和无限循环小数都是无理数
D.无论有理数，还是无理数，都是实数
答案
D
解析
【分析】
这道题考查实数、有理数、无理数的相关基础概念，解题时首先要明确三类数的定义和分类关系，再逐一判断每个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆核心定义：实数是有理数和无理数的统称；有理数是整数和分数的统称，也可表示为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，依据这些定义就能逐个分析选项。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：实数分为有理数和无理数两类，0本身属于有理数，该选项将0单独列出，分类重复，因此A错误；
B选项：有理数不仅包含有限小数，还包含无限循环小数、整数和分数，因此B错误；
C选项：无理数仅指无限不循环小数，无限循环小数属于有理数，因此C错误；
D选项：根据实数的定义，实数就是有理数和无理数的统称，因此有理数和无理数都属于实数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.实数的分类 2.有理数的概念 3.无理数的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对实数相关分类定义的掌握，解题的关键是准确区分有理数和无理数的范围，尤其要注意避免混淆无限循环小数和无限不循环小数的归属。
【难度系数】
0.8
这道题考查实数、有理数、无理数的相关基础概念，解题时首先要明确三类数的定义和分类关系，再逐一判断每个选项的正误，排除错误选项即可得到正确答案。首先回忆核心定义：实数是有理数和无理数的统称；有理数是整数和分数的统称，也可表示为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数，依据这些定义就能逐个分析选项。
【解析】
我们对每个选项逐一判断：
A选项：实数分为有理数和无理数两类，0本身属于有理数，该选项将0单独列出，分类重复，因此A错误；
B选项：有理数不仅包含有限小数，还包含无限循环小数、整数和分数，因此B错误；
C选项：无理数仅指无限不循环小数，无限循环小数属于有理数，因此C错误；
D选项：根据实数的定义，实数就是有理数和无理数的统称，因此有理数和无理数都属于实数，D正确。
【答案】
D
【知识点】
1.实数的分类 2.有理数的概念 3.无理数的概念
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心考查对实数相关分类定义的掌握，解题的关键是准确区分有理数和无理数的范围，尤其要注意避免混淆无限循环小数和无限不循环小数的归属。
【难度系数】
0.8
3. $-\sqrt{7}$不是 【 】
A.实数
B.负数
C.无理数
D.有理数
A.实数
B.负数
C.无理数
D.有理数
答案
D
解析
【分析】
解题时先回忆实数的分类及各类数的定义：先明确有理数、无理数、实数、负数的概念，再逐一判断$-\sqrt{7}$的属性，最终找出它不属于的类别即可。
【解析】
我们逐一对选项进行判断：
1. 选项A：实数分为有理数和无理数，因为$\sqrt{7}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，因此$-\sqrt{7}$属于实数，A不符合题意；
2. 选项B：$-\sqrt{7}$的数值小于0，属于负数，B不符合题意；
3. 选项C：$\sqrt{7}$是无理数，因此$-\sqrt{7}$也属于无理数，C不符合题意；
4. 选项D：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数，而$-\sqrt{7}$是无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类；无理数的概念；有理数的概念
【点评】
本题考查实数的相关概念辨析，解题的核心是掌握各类数的定义和分类标准，只要理清有理数和无理数的区别即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆实数的分类及各类数的定义：先明确有理数、无理数、实数、负数的概念，再逐一判断$-\sqrt{7}$的属性，最终找出它不属于的类别即可。
【解析】
我们逐一对选项进行判断：
1. 选项A：实数分为有理数和无理数，因为$\sqrt{7}$是开方开不尽的无限不循环小数，属于无理数，因此$-\sqrt{7}$属于实数，A不符合题意；
2. 选项B：$-\sqrt{7}$的数值小于0，属于负数，B不符合题意；
3. 选项C：$\sqrt{7}$是无理数，因此$-\sqrt{7}$也属于无理数，C不符合题意；
4. 选项D：有理数是整数和分数的统称，本质是有限小数或无限循环小数，而$-\sqrt{7}$是无限不循环小数，属于无理数，不属于有理数，D符合题意。
【答案】
D
【知识点】
实数的分类；无理数的概念；有理数的概念
【点评】
本题考查实数的相关概念辨析，解题的核心是掌握各类数的定义和分类标准，只要理清有理数和无理数的区别即可正确作答。
【难度系数】
0.9
4. 对于四个实数$\frac{\sqrt{3}}{2}$、$-\sqrt{4}$、0.33、$\frac{1}{7}$，下列说法中正确的是 【 】
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$是分数
B.$-\sqrt{4}$是无理数
C.0.33可化为分数
D.$\frac{1}{7}$是无理数
A.$\frac{\sqrt{3}}{2}$是分数
B.$-\sqrt{4}$是无理数
C.0.33可化为分数
D.$\frac{1}{7}$是无理数
答案
C
解析
【分析】
解题的核心是先明确实数的分类规则：有理数包含整数和分数，本质是可表示为两个整数的比值（分母不为0），涵盖有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数的方根、含$π$的数等。我们只需结合上述概念逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
首先明确基础概念：有理数是整数和分数的统称，所有有理数都可写成$\frac{m}{n}$（$m、n$为整数，$n\ne0$）的形式，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。
逐一判断选项：
A. $\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$也是无理数，而分数属于有理数，该选项错误；
B. $-\sqrt{4}=-2$，是负整数，整数属于有理数，不是无理数，该选项错误；
C. 0.33是有限小数，可化为分数$\frac{33}{100}$，该选项正确；
D. $\frac{1}{7}$是分数，属于有理数，不是无理数，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数的分类
2. 无理数的定义
3. 有理数的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查对实数分类相关概念的理解，解题时要注意区分：带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的数的方根才是无理数；所有分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确实数的分类规则：有理数包含整数和分数，本质是可表示为两个整数的比值（分母不为0），涵盖有限小数、无限循环小数；无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数的方根、含$π$的数等。我们只需结合上述概念逐一判断每个选项的正误即可。
【解析】
首先明确基础概念：有理数是整数和分数的统称，所有有理数都可写成$\frac{m}{n}$（$m、n$为整数，$n\ne0$）的形式，有限小数、无限循环小数都属于有理数；无理数是无限不循环小数，无法表示为两个整数的比值。
逐一判断选项：
A. $\sqrt{3}$是开方开不尽的数，属于无理数，因此$\frac{\sqrt{3}}{2}$也是无理数，而分数属于有理数，该选项错误；
B. $-\sqrt{4}=-2$，是负整数，整数属于有理数，不是无理数，该选项错误；
C. 0.33是有限小数，可化为分数$\frac{33}{100}$，该选项正确；
D. $\frac{1}{7}$是分数，属于有理数，不是无理数，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 实数的分类
2. 无理数的定义
3. 有理数的定义
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查对实数分类相关概念的理解，解题时要注意区分：带根号的数不一定是无理数，只有开方开不尽的数的方根才是无理数；所有分数、有限小数、无限循环小数都属于有理数。
【难度系数】
0.8
5. 如图，面积为6的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若点E在数轴上(点E在点A的右侧)，且AB=AE，则点E表示的数为 【 】
A.$\sqrt{6}-1$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}+1$
D.$\sqrt{6}+2$
A.$\sqrt{6}-1$
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{6}+1$
D.$\sqrt{6}+2$
答案
A
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，根据正方形面积公式，由已知的正方形面积求出边长AB的长度；第二步，利用题目给出的AB=AE的等量关系，得到线段AE的长度；第三步，已知点A在数轴上表示的数为-1，且点E在A的右侧，根据数轴上右侧点对应的数大于左侧点对应的数的规律，用A点的数加上AE的长度即可求出E表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为6，正方形面积=边长²，边长为正数
∴边长$AB=\sqrt{6}$
又
∵$AB=AE$
∴$AE=\sqrt{6}$
∵点A表示的数为-1，点E在点A右侧
∴点E表示的数为$-1+\sqrt{6}=\sqrt{6}-1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的意义、数轴与实数
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质与数轴、实数知识结合考查，解题关键是先求出正方形的边长，再结合数轴的特征计算对应点表示的数，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题可按三步思考：第一步，根据正方形面积公式，由已知的正方形面积求出边长AB的长度；第二步，利用题目给出的AB=AE的等量关系，得到线段AE的长度；第三步，已知点A在数轴上表示的数为-1，且点E在A的右侧，根据数轴上右侧点对应的数大于左侧点对应的数的规律，用A点的数加上AE的长度即可求出E表示的数。
【解析】
解：
∵正方形ABCD的面积为6，正方形面积=边长²，边长为正数
∴边长$AB=\sqrt{6}$
又
∵$AB=AE$
∴$AE=\sqrt{6}$
∵点A表示的数为-1，点E在点A右侧
∴点E表示的数为$-1+\sqrt{6}=\sqrt{6}-1$
故选A。
【答案】
A
【知识点】
正方形面积计算、算术平方根的意义、数轴与实数
【点评】
本题是基础综合题，将几何图形性质与数轴、实数知识结合考查，解题关键是先求出正方形的边长，再结合数轴的特征计算对应点表示的数，掌握基础概念即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
6. 已知$\sqrt{m - 3}$是无理数，则$m$的值可以为
5(答案不唯一)
.(只需写出一个符合要求的值)答案
6. 5(答案不唯一)
解析
【分析】
解决这道题需要明确两个核心要求：第一，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此首先要满足$m-3≥0$，即$m≥3$；第二，无理数是无限不循环小数，若要$\sqrt{m-3}$是无理数，那么被开方数$m-3$不能是完全平方数，否则开方后得到整数，属于有理数。我们只需选取一个大于等于3、且$m-3$不是完全平方数的$m$值即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，可得：
$m-3≥0$，解得$m≥3$。
第二步：要使$\sqrt{m-3}$为无理数，则$m-3$不能是完全平方数。
我们取$m-3=2$，即$m=5$，此时$\sqrt{m-3}=\sqrt{5-3}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合题目要求。
【答案】
5（答案不唯一）
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.无理数的定义
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对核心概念的理解与应用，只要掌握二次根式的取值要求和无理数的特征，就能快速写出符合条件的答案，作答时注意避开$m-3$为完全平方数的情况即可。
【难度系数】
0.8
解决这道题需要明确两个核心要求：第一，二次根式有意义的前提是被开方数为非负数，因此首先要满足$m-3≥0$，即$m≥3$；第二，无理数是无限不循环小数，若要$\sqrt{m-3}$是无理数，那么被开方数$m-3$不能是完全平方数，否则开方后得到整数，属于有理数。我们只需选取一个大于等于3、且$m-3$不是完全平方数的$m$值即可。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，可得：
$m-3≥0$，解得$m≥3$。
第二步：要使$\sqrt{m-3}$为无理数，则$m-3$不能是完全平方数。
我们取$m-3=2$，即$m=5$，此时$\sqrt{m-3}=\sqrt{5-3}=\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，符合题目要求。
【答案】
5（答案不唯一）
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.无理数的定义
【点评】
本题是开放性基础题，主要考查对核心概念的理解与应用，只要掌握二次根式的取值要求和无理数的特征，就能快速写出符合条件的答案，作答时注意避开$m-3$为完全平方数的情况即可。
【难度系数】
0.8
7. 在数轴上，点A表示3，那么与点A相距$\sqrt{5}$个单位长度的点表示的数是
$3-\sqrt{5}$ 或 $3+\sqrt{5}$
。答案
7. $3-\sqrt{5}$ 或 $3+\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题时首先要明确数轴上两点的位置关系：与一个定点相距固定长度的点存在两种情况，分别位于定点的左侧和右侧，两种情况都需要考虑，避免漏解。结合数轴上“左小右大”的数值规律，位于左侧的点对应的数用定点表示的数减去距离，位于右侧的点对应的数用定点表示的数加上距离，即可计算出结果。
【解析】
已知点A表示的数是3，分两种情况讨论：
1. 若所求点在点A的左侧，该点表示的数为：$3-\sqrt{5}$；
2. 若所求点在点A的右侧，该点表示的数为：$3+\sqrt{5}$。
综上，符合条件的点表示的数是$3-\sqrt{5}$或$3+\sqrt{5}$。
【答案】
$3-\sqrt{5}$ 或 $3+\sqrt{5}$
【知识点】
数轴上两点的距离、实数的加减运算
【点评】
本题重点考查数轴上点的位置与数值的对应关系，易错点是仅考虑单侧的点导致漏解，解题时要养成分类讨论的思维习惯，全面考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确数轴上两点的位置关系：与一个定点相距固定长度的点存在两种情况，分别位于定点的左侧和右侧，两种情况都需要考虑，避免漏解。结合数轴上“左小右大”的数值规律，位于左侧的点对应的数用定点表示的数减去距离，位于右侧的点对应的数用定点表示的数加上距离，即可计算出结果。
【解析】
已知点A表示的数是3，分两种情况讨论：
1. 若所求点在点A的左侧，该点表示的数为：$3-\sqrt{5}$；
2. 若所求点在点A的右侧，该点表示的数为：$3+\sqrt{5}$。
综上，符合条件的点表示的数是$3-\sqrt{5}$或$3+\sqrt{5}$。
【答案】
$3-\sqrt{5}$ 或 $3+\sqrt{5}$
【知识点】
数轴上两点的距离、实数的加减运算
【点评】
本题重点考查数轴上点的位置与数值的对应关系，易错点是仅考虑单侧的点导致漏解，解题时要养成分类讨论的思维习惯，全面考虑所有可能的位置情况。
【难度系数】
0.7
8. 如图,若点C在A、B两点之间,则点C表示的无理数的值可以是
$\sqrt{2}$(答案不唯一)
.(只需写出一个符合条件的实数)答案
8. $\sqrt{2}$(答案不唯一)
解析
【分析】
首先观察数轴确定点C的取值范围：点C在A、B之间，A对应1，B对应2，因此点C表示的数满足1＜x＜2。接下来要找这个区间内的无理数，无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等，由于π≈3.14，含π的数大多超出这个范围，因此可以选择被开方数在1和4之间的算术平方根，比如√2≈1.414，刚好落在1到2之间，符合要求。
【解析】
解：由数轴可知，点A表示的数为1，点B表示的数为2，因此点C表示的数x的取值范围是$1＜x＜2$。
无理数是无限不循环小数，我们选取符合该范围的无理数即可：因为$1^2=1$，$2^2=4$，当被开方数$a$满足$1＜a＜4$时，$\sqrt{a}$就是1到2之间的无理数，例如$a=2$时，$\sqrt{2}\approx1.414$，满足$1＜\sqrt{2}＜2$，且$\sqrt{2}$是无理数，符合条件。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数与数轴的对应
3. 无理数的估算
【点评】
本题属于开放型基础题，既考查了数轴上数的大小关系判断，又考查了对无理数概念的理解和估算能力，答案不唯一，只要符合取值范围的无理数均正确。
【难度系数】
0.8
首先观察数轴确定点C的取值范围：点C在A、B之间，A对应1，B对应2，因此点C表示的数满足1＜x＜2。接下来要找这个区间内的无理数，无理数是无限不循环小数，常见类型有开方开不尽的数、含π的数等，由于π≈3.14，含π的数大多超出这个范围，因此可以选择被开方数在1和4之间的算术平方根，比如√2≈1.414，刚好落在1到2之间，符合要求。
【解析】
解：由数轴可知，点A表示的数为1，点B表示的数为2，因此点C表示的数x的取值范围是$1＜x＜2$。
无理数是无限不循环小数，我们选取符合该范围的无理数即可：因为$1^2=1$，$2^2=4$，当被开方数$a$满足$1＜a＜4$时，$\sqrt{a}$就是1到2之间的无理数，例如$a=2$时，$\sqrt{2}\approx1.414$，满足$1＜\sqrt{2}＜2$，且$\sqrt{2}$是无理数，符合条件。
【答案】
$\sqrt{2}$（答案不唯一）
【知识点】
1. 无理数的概念
2. 实数与数轴的对应
3. 无理数的估算
【点评】
本题属于开放型基础题，既考查了数轴上数的大小关系判断，又考查了对无理数概念的理解和估算能力，答案不唯一，只要符合取值范围的无理数均正确。
【难度系数】
0.8
