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16. 已知$2x +1$是49的算术平方根，$x +4y -10$的立方根是$-3$.求：
(1) $x$、$y$的值；
(2) $y -2x$的立方根.
(1) $x$、$y$的值；
(2) $y -2x$的立方根.
答案
(1) $\because 2x +1$是49的算术平方根,$\therefore 2x +1 = 7$,解得$x = 3$. $\because x +4y -10$的立方根是$-3$,$\therefore x +4y -10 = (-3)^3$,解得$y = -5$
(2) $\because x =3, y =-5, \therefore y -2x = -5 -2×3 = -11$. $\therefore y -2x$的立方根是$\sqrt[3]{-11}=-\sqrt[3]{11}$
(2) $\because x =3, y =-5, \therefore y -2x = -5 -2×3 = -11$. $\therefore y -2x$的立方根是$\sqrt[3]{-11}=-\sqrt[3]{11}$
解析
【分析】
解决本题的核心是熟练掌握算术平方根和立方根的定义。对于第(1)问，先根据“49的算术平方根是7”，列出关于x的一元一次方程求出x的值；再根据“若一个数的立方根为-3，则这个数等于(-3)³”，将已求出的x代入即可列出关于y的方程，解出y的值。对于第(2)问，把求得的x、y代入y-2x计算出结果，再根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
(1) $\because 2x +1$是49的算术平方根，且49的算术平方根为7，
$\therefore 2x + 1 = 7$，解得$x = 3$。
$\because x +4y -10$的立方根是$-3$，
$\therefore x + 4y - 10 = (-3)^3 = -27$，
将$x=3$代入上式得：$3 + 4y - 10 = -27$，
整理得$4y=-20$，解得$y = -5$。
(2) 把$x=3$，$y=-5$代入$y-2x$得：
$y - 2x = -5 - 2×3 = -11$，
$\therefore y - 2x$的立方根为$\sqrt[3]{-11}=-\sqrt[3]{11}$。
【答案】
(1) $x=3$，$y=-5$；
(2) $-\sqrt[3]{11}$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，实数的运算
【点评】
本题侧重考查对算术平方根、立方根概念的理解与运用，解题的关键是结合定义建立方程求解未知数，计算量小，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是熟练掌握算术平方根和立方根的定义。对于第(1)问，先根据“49的算术平方根是7”，列出关于x的一元一次方程求出x的值；再根据“若一个数的立方根为-3，则这个数等于(-3)³”，将已求出的x代入即可列出关于y的方程，解出y的值。对于第(2)问，把求得的x、y代入y-2x计算出结果，再根据立方根的定义求出该结果的立方根即可。
【解析】
(1) $\because 2x +1$是49的算术平方根，且49的算术平方根为7，
$\therefore 2x + 1 = 7$，解得$x = 3$。
$\because x +4y -10$的立方根是$-3$，
$\therefore x + 4y - 10 = (-3)^3 = -27$，
将$x=3$代入上式得：$3 + 4y - 10 = -27$，
整理得$4y=-20$，解得$y = -5$。
(2) 把$x=3$，$y=-5$代入$y-2x$得：
$y - 2x = -5 - 2×3 = -11$，
$\therefore y - 2x$的立方根为$\sqrt[3]{-11}=-\sqrt[3]{11}$。
【答案】
(1) $x=3$，$y=-5$；
(2) $-\sqrt[3]{11}$
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，实数的运算
【点评】
本题侧重考查对算术平方根、立方根概念的理解与运用，解题的关键是结合定义建立方程求解未知数，计算量小，属于常规基础题型。
【难度系数】
0.8
17. 已知$A=\sqrt[m-n-1]{m+3}$是$m+3$的算术平方根，$B=\sqrt[2m-4n+3]{n-2}$是$n-2$的立方根，求$A-B$的值.
答案
17. 2
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确算术平方根和立方根的根指数特征：算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3。据此可列出关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后，再代入分别求出A、B的值，最后计算A-B的差值即可。
【解析】
解：根据算术平方根和立方根的定义，可得方程组：
$\begin{cases}m - n - 1 = 2 \\2m - 4n + 3 = 3\end{cases}$
化简方程组：
由第一个方程得：$m - n = 3$ ①
由第二个方程得：$2m - 4n = 0$，即$m - 2n = 0$ ②
用①-②消去m：
$(m - n) - (m - 2n) = 3 - 0$
解得$n=3$
将$n=3$代入①，得$m - 3 = 3$，解得$m=6$
将$m=6$代入A的表达式：$A=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
将$n=3$代入B的表达式：$B=\sqrt[3]{3-2}=\sqrt[3]{1}=1$
因此$A-B=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记算术平方根、立方根的根指数要求，通过列方程求解未知参数，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确算术平方根和立方根的根指数特征：算术平方根的根指数为2，立方根的根指数为3。据此可列出关于m、n的二元一次方程组，解出m、n的值后，再代入分别求出A、B的值，最后计算A-B的差值即可。
【解析】
解：根据算术平方根和立方根的定义，可得方程组：
$\begin{cases}m - n - 1 = 2 \\2m - 4n + 3 = 3\end{cases}$
化简方程组：
由第一个方程得：$m - n = 3$ ①
由第二个方程得：$2m - 4n = 0$，即$m - 2n = 0$ ②
用①-②消去m：
$(m - n) - (m - 2n) = 3 - 0$
解得$n=3$
将$n=3$代入①，得$m - 3 = 3$，解得$m=6$
将$m=6$代入A的表达式：$A=\sqrt{6+3}=\sqrt{9}=3$
将$n=3$代入B的表达式：$B=\sqrt[3]{3-2}=\sqrt[3]{1}=1$
因此$A-B=3-1=2$
【答案】
2
【知识点】
算术平方根的定义，立方根的定义，解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是牢记算术平方根、立方根的根指数要求，通过列方程求解未知参数，再代入计算即可。
【难度系数】
0.7
18. 我们知道，当$a + b = 0$时，$a^3 + b^3 = 0$也成立. 若将$a$看成$a^3$的立方根，将$b$看成$b^3$的立方根，能否得出这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数.
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，求$(1 - \sqrt{x})^{2025}$的值.
（1）试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立；
（2）若$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，求$(1 - \sqrt{x})^{2025}$的值.
答案
(1) 答案不唯一,如:2是8的立方根,$-2$是$-8$的立方根,2与$-2$互为相反数,8与$-8$也互为相反数,因此结论成立
(2) 由题意,得$(1-2x)+(3x-5)=0$,解得$x=4$. $\therefore (1-\sqrt{x})^{2025}=(1-\sqrt{4})^{2025}=-1$
(2) 由题意,得$(1-2x)+(3x-5)=0$,解得$x=4$. $\therefore (1-\sqrt{x})^{2025}=(1-\sqrt{4})^{2025}=-1$
解析
【分析】
（1）要判断猜测的结论是否成立，可根据立方根的定义，选取一对互为相反数的立方根，计算对应的被开方数，验证这两个数是否互为相反数即可。
（2）第（2）问可直接利用（1）中验证成立的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，而互为相反数的两数和为0，据此列关于x的一元一次方程，解出x后代入代数式计算乘方即可。
【解析】
（1）答案不唯一，举例如下：
2是8的立方根，$-2$是$-8$的立方根，2与$-2$互为相反数，8与$-8$也互为相反数，因此猜测的结论成立。
（2）由题意得，$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，根据上述结论可得两个被开方数互为相反数：
$(1-2x)+(3x-5)=0$
合并同类项得：$x-4=0$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$(1 - \sqrt{x})^{2025}$计算：
$(1 - \sqrt{4})^{2025}=(1-2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
(1) 举例：2是8的立方根，$-2$是$-8$的立方根，2与$-2$互为相反数，8与$-8$也互为相反数，结论成立（答案不唯一）；
(2) $-1$
【知识点】
立方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题结合立方根与相反数的性质设计，先通过举例探究规律，再运用规律求解代数式的值，考查对基础知识的理解和灵活运用能力，解题核心是掌握立方根与相反数的对应关系。
【难度系数】
0.7
（1）要判断猜测的结论是否成立，可根据立方根的定义，选取一对互为相反数的立方根，计算对应的被开方数，验证这两个数是否互为相反数即可。
（2）第（2）问可直接利用（1）中验证成立的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，而互为相反数的两数和为0，据此列关于x的一元一次方程，解出x后代入代数式计算乘方即可。
【解析】
（1）答案不唯一，举例如下：
2是8的立方根，$-2$是$-8$的立方根，2与$-2$互为相反数，8与$-8$也互为相反数，因此猜测的结论成立。
（2）由题意得，$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 5}$互为相反数，根据上述结论可得两个被开方数互为相反数：
$(1-2x)+(3x-5)=0$
合并同类项得：$x-4=0$，解得$x=4$。
将$x=4$代入$(1 - \sqrt{x})^{2025}$计算：
$(1 - \sqrt{4})^{2025}=(1-2)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
【答案】
(1) 举例：2是8的立方根，$-2$是$-8$的立方根，2与$-2$互为相反数，8与$-8$也互为相反数，结论成立（答案不唯一）；
(2) $-1$
【知识点】
立方根的性质；解一元一次方程；乘方运算
【点评】
本题结合立方根与相反数的性质设计，先通过举例探究规律，再运用规律求解代数式的值，考查对基础知识的理解和灵活运用能力，解题核心是掌握立方根与相反数的对应关系。
【难度系数】
0.7
