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18. 如图①,方格纸中每个小正方形的边长均为1,正方形ABCD的顶点都在格点上.
(1) 正方形ABCD的面积是
(2) 正方形ABCD的边长是
(3) 如果正方形ABCD的边长在有理数a与b之间,那么$a+b$的平方根是
(4) 在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形,要求边长为无理数,并直接写出你设计的正方形的边长.
(1) 正方形ABCD的面积是
17
,正方形ABCD的边长是$\sqrt{17}$
;(2) 正方形ABCD的边长是
无理
数(填选“有理”或者“无理”);(3) 如果正方形ABCD的边长在有理数a与b之间,那么$a+b$的平方根是
$\pm3$
;(4) 在图②中设计一个与图①面积不相等的正方形,要求边长为无理数,并直接写出你设计的正方形的边长.
答案
18. (1) 17 $\sqrt{17}$
(2) 无理
(3) $\pm3$
(4) 答案不唯一,如:
所示的正方形即为所求,它的边长为$\sqrt{5}$解析
【分析】
解题思路如下：
1. 求解第(1)问时，网格中斜置正方形的面积可用割补法计算：用包含正方形的大正方形面积减去周围四个全等直角三角形的面积，再根据正方形边长是面积的算术平方根求出边长；
2. 第(2)问根据有理数、无理数的定义判断$\sqrt{17}$的类型即可；
3. 第(3)问先估算$\sqrt{17}$的大小范围，得到相邻整数$a$、$b$的值，再计算$a+b$的平方根；
4. 第(4)问只要构造边长为无理数、面积不等于17的正方形即可，例如取直角边为1和2的直角三角形的斜边为正方形的边，边长为$\sqrt{5}$，符合要求。
【解析】
(1) 观察图①，包含正方形ABCD的大正方形边长为5，面积为$5×5=25$；
周围4个直角三角形的直角边长分别为1和4，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$，4个总面积为$4×2=8$；
因此正方形ABCD的面积为$25-8=17$，边长为$\sqrt{17}$。
(2) 有理数是整数和分数的统称，$\sqrt{17}$是无限不循环小数，因此属于无理数。
(3) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，所以$4＜\sqrt{17}＜5$，即$a=4$，$b=5$；
则$a+b=4+5=9$，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(4) 可取直角边长为1和2的直角三角形的斜边作为正方形的边，构造的正方形边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，面积为5≠17，$\sqrt{5}$是无理数，符合要求。
【答案】
(1) $17$，$\sqrt{17}$
(2) 无理
(3) $\pm3$
(4) 答案不唯一，如:所示的正方形即为所求，它的边长为$\sqrt{5}$
【知识点】
割补法求面积，无理数的定义，平方根的计算
【点评】
本题结合网格图形考查了实数相关的基础知识点，既要求掌握网格图形面积计算、无理数判断、平方根运算等基础技能，也考查了动手作图能力，题型灵活，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 求解第(1)问时，网格中斜置正方形的面积可用割补法计算：用包含正方形的大正方形面积减去周围四个全等直角三角形的面积，再根据正方形边长是面积的算术平方根求出边长；
2. 第(2)问根据有理数、无理数的定义判断$\sqrt{17}$的类型即可；
3. 第(3)问先估算$\sqrt{17}$的大小范围，得到相邻整数$a$、$b$的值，再计算$a+b$的平方根；
4. 第(4)问只要构造边长为无理数、面积不等于17的正方形即可，例如取直角边为1和2的直角三角形的斜边为正方形的边，边长为$\sqrt{5}$，符合要求。
【解析】
(1) 观察图①，包含正方形ABCD的大正方形边长为5，面积为$5×5=25$；
周围4个直角三角形的直角边长分别为1和4，单个三角形面积为$\frac{1}{2}×1×4=2$，4个总面积为$4×2=8$；
因此正方形ABCD的面积为$25-8=17$，边长为$\sqrt{17}$。
(2) 有理数是整数和分数的统称，$\sqrt{17}$是无限不循环小数，因此属于无理数。
(3) 因为$4^2=16$，$5^2=25$，且$16＜17＜25$，所以$4＜\sqrt{17}＜5$，即$a=4$，$b=5$；
则$a+b=4+5=9$，9的平方根为$\pm\sqrt{9}=\pm3$。
(4) 可取直角边长为1和2的直角三角形的斜边作为正方形的边，构造的正方形边长为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，面积为5≠17，$\sqrt{5}$是无理数，符合要求。
【答案】
(1) $17$，$\sqrt{17}$
(2) 无理
(3) $\pm3$
(4) 答案不唯一，如:
所示的正方形即为所求，它的边长为$\sqrt{5}$【知识点】
割补法求面积，无理数的定义，平方根的计算
【点评】
本题结合网格图形考查了实数相关的基础知识点，既要求掌握网格图形面积计算、无理数判断、平方根运算等基础技能，也考查了动手作图能力，题型灵活，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
1. 在实数$-π$、$-3$、$0$、$-\sqrt{2}$中，最小的是 【 】
A.$-π$
B.$-3$
C.$0$
D.$-\sqrt{2}$
A.$-π$
B.$-3$
C.$0$
D.$-\sqrt{2}$
答案
A
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆实数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于所有负数，因此先排除非负数0，只需比较剩下三个负数的大小。负数比较大小的规律是绝对值大的数反而小，所以下一步只需要分别计算三个负数的绝对值，比较绝对值的大小，就能对应得出负数的大小关系，最终找到最小的数。
【解析】
解：根据实数大小比较的规则：正数＞0＞负数，可知0是四个数中最大的，排除选项C。
剩余三个数均为负数，负数比较大小的规律为：绝对值越大的负数，数值越小。
分别计算三个负数的绝对值：
$|-π|=π\approx3.14$，
$|-3|=3$，
$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}\approx1.414$，
比较绝对值大小可得：$3.14＞3＞1.414$，
因此对应的负数大小关系为：$-π＜-3＜-\sqrt{2}$，
综上四个数的大小排序为：$-π＜-3＜-\sqrt{2}＜0$，最小的数是$-π$。
【答案】
A
【知识点】
实数的大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查实数大小比较方法的应用，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则，避免混淆规律导致出错。
【难度系数】
0.9
拿到这道题首先回忆实数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于所有负数，因此先排除非负数0，只需比较剩下三个负数的大小。负数比较大小的规律是绝对值大的数反而小，所以下一步只需要分别计算三个负数的绝对值，比较绝对值的大小，就能对应得出负数的大小关系，最终找到最小的数。
【解析】
解：根据实数大小比较的规则：正数＞0＞负数，可知0是四个数中最大的，排除选项C。
剩余三个数均为负数，负数比较大小的规律为：绝对值越大的负数，数值越小。
分别计算三个负数的绝对值：
$|-π|=π\approx3.14$，
$|-3|=3$，
$|-\sqrt{2}|=\sqrt{2}\approx1.414$，
比较绝对值大小可得：$3.14＞3＞1.414$，
因此对应的负数大小关系为：$-π＜-3＜-\sqrt{2}$，
综上四个数的大小排序为：$-π＜-3＜-\sqrt{2}＜0$，最小的数是$-π$。
【答案】
A
【知识点】
实数的大小比较；绝对值的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查实数大小比较方法的应用，解题核心是熟练掌握负数比较大小的规则，避免混淆规律导致出错。
【难度系数】
0.9
2.（青岛中考）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最小的是【 】
A.a
B.b
C.c
D.d
A.a
B.b
C.c
D.d
答案
C
解析
【分析】
要判断四个实数中绝对值最小的数，可结合绝对值的几何意义思考：一个数的绝对值等于它在数轴上对应的点到原点的距离，因此只需找到四个点中到原点距离最近的点即可。首先观察数轴上各点的位置，分别判断a、b、c、d对应点到原点的距离大小，距离最小的点对应的数绝对值就最小。
【解析】
根据绝对值的几何意义可知：实数的绝对值是其在数轴上的对应点到原点的距离。
观察数轴可得：
点a到原点的距离为2；
点b到原点的距离为1；
点c在0和1之间，到原点的距离小于1；
点d到原点的距离为2。
对比可知，点c到原点的距离最小，因此四个数中c的绝对值最小。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴的应用
【点评】
本题是基础题型，将绝对值的概念与数轴相结合，通过几何意义解题更直观简便，熟练掌握绝对值的几何意义是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
要判断四个实数中绝对值最小的数，可结合绝对值的几何意义思考：一个数的绝对值等于它在数轴上对应的点到原点的距离，因此只需找到四个点中到原点距离最近的点即可。首先观察数轴上各点的位置，分别判断a、b、c、d对应点到原点的距离大小，距离最小的点对应的数绝对值就最小。
【解析】
根据绝对值的几何意义可知：实数的绝对值是其在数轴上的对应点到原点的距离。
观察数轴可得：
点a到原点的距离为2；
点b到原点的距离为1；
点c在0和1之间，到原点的距离小于1；
点d到原点的距离为2。
对比可知，点c到原点的距离最小，因此四个数中c的绝对值最小。
【答案】
C
【知识点】
绝对值的几何意义；数轴的应用
【点评】
本题是基础题型，将绝对值的概念与数轴相结合，通过几何意义解题更直观简便，熟练掌握绝对值的几何意义是解决此类题的关键。
【难度系数】
0.9
