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【例1】下列式子哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数，一次项系数和常数项.
(1)$y=-2x^2$； (2)$y=-3x^2 -5$；
(3)$y=3-2x+5x^2$； (4)$y=2(x-1)^2 +2$.
(1)$y=-2x^2$； (2)$y=-3x^2 -5$；
(3)$y=3-2x+5x^2$； (4)$y=2(x-1)^2 +2$.
答案
(1)$y=-2x^2$是二次函数，二次项系数是$-2$，一次项系数是$0$，常数项是$0$.
(2)$y=-3x^2-5$是二次函数，二次项系数是$-3$，一次项系数是$0$，常数项是$-5$.
(3)$y=3-2x+5x^2$是二次函数，二次项系数是$5$，一次项系数是$-2$，常数项是$3$.
(4)$y=2(x-1)^2+2=2x^2-4x+4$是二次函数，二次项系数是$2$，一次项系数是$-4$，常数项是$4$.
(2)$y=-3x^2-5$是二次函数，二次项系数是$-3$，一次项系数是$0$，常数项是$-5$.
(3)$y=3-2x+5x^2$是二次函数，二次项系数是$5$，一次项系数是$-2$，常数项是$3$.
(4)$y=2(x-1)^2+2=2x^2-4x+4$是二次函数，二次项系数是$2$，一次项系数是$-4$，常数项是$4$.
【变式1】把$y=(3-3x)(6+x)$变成二次函数的一般形式，它的常数项为
18
。答案
18
【变式2】已知$y=(m+3)x^{m^2+2m-1}+(1-m)·x -5$是关于$x$的二次函数，则$m$的值为
1
。答案
1
【例2】(1)写出圆的面积$y(\mathrm{cm}^2)$关于它的周长$x(\mathrm{cm})$的函数解析式；
(2)菱形的两条对角线长的和为26 cm，写出菱形的面积$S(\mathrm{cm}^2)$关于一对角线长$x(\mathrm{cm})$的函数解析式；
(3)在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染$x$个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有$y$人感染，写出$y$关于$x$的函数解析式。
(2)菱形的两条对角线长的和为26 cm，写出菱形的面积$S(\mathrm{cm}^2)$关于一对角线长$x(\mathrm{cm})$的函数解析式；
(3)在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染$x$个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有$y$人感染，写出$y$关于$x$的函数解析式。
答案
(1)$\because r=\frac{x}{2π}$，$\therefore y=π(\frac{x}{2π})^2 =\frac{x^2}{4π}$.
(2)菱形的另一条对角线的长是$(26-x)\mathrm{cm}$，$\therefore S=\frac{1}{2}x(26-x)=-\frac{1}{2}x^2+13x$.
(3)根据题意，得第二轮后总感染人数为$(1+x)+(1+x)· x=(1+x)^2$，$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=(1+x)^2$.
(2)菱形的另一条对角线的长是$(26-x)\mathrm{cm}$，$\therefore S=\frac{1}{2}x(26-x)=-\frac{1}{2}x^2+13x$.
(3)根据题意，得第二轮后总感染人数为$(1+x)+(1+x)· x=(1+x)^2$，$\therefore y$关于$x$的函数解析式为$y=(1+x)^2$.
【变式1】已知矩形的周长为14 cm，其中一边为x cm(0＜x＜7)，面积为y cm²，那么y关于x的函数解析式为 （
A.$y=(14-x)^2$
B.$y=(7-x)^2$
C.$y=x(14-x)$
D.$y=x(7-x)$
D
）A.$y=(14-x)^2$
B.$y=(7-x)^2$
C.$y=x(14-x)$
D.$y=x(7-x)$
答案
D
【变式2】某超市1月份的营业额为30万元，3月份的营业额为y万元.设每月的平均增长率为x，则y关于x的函数解析式为
$y=30(1+x)^2$
.答案
$y=30(1+x)^2$
1. 下列$y$关于$x$的函数中，一定是二次函数的是（
A.$y=ax^2+bx+c$
B.$y=(x-5)^2 -x^2$
C.$y=x^2+1$
D.$y=\frac{2}{x^2}$
C
）A.$y=ax^2+bx+c$
B.$y=(x-5)^2 -x^2$
C.$y=x^2+1$
D.$y=\frac{2}{x^2}$
答案
1. C
