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8. 已知$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 - 2(m+1)x + m^2 +5=0$的两个实数根.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰三角形$ABC$的一边长为7,另外的两边长恰好是$x_1,x_2$,求$△ ABC$的周长.
(1)若$(x_1 -1)(x_2 -1)=28$,求$m$的值;
(2)已知等腰三角形$ABC$的一边长为7,另外的两边长恰好是$x_1,x_2$,求$△ ABC$的周长.
答案
8. 解:(1)$\because x_1,x_2$是方程$x^2-2(m+1)x+m^2+5=0$的两个实数根,$\therefore x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2+5$,
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-4(m^2+5)×1≥0$,
解得$m≥2$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=28$,
$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1=28$,
$\therefore m^2+5-2(m+1)-27=0$,
整理,得$m^2-2m-24=0$,解得$m_1=6,m_2=-4$.
$\because m≥2,\therefore m$的值为6.
(2)由(1)知$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2+5$.
$\because$等腰三角形$ABC$的一边长为7,
当$x_1=7$时,
$\therefore 7+x_2=2(m+1),7x_2=m^2+5$,
$\therefore 2(m+1)-7=\frac{m^2+5}{7}$,
整理,得$m^2-14m+40=0$,
解得$m_1=4,m_2=10$,
当$m=4$时,$x_2=\frac{m^2+5}{7}=3$,
此时$△ ABC$的三边长为7,7,3,三角形存在,
故$△ ABC$的周长为$7+7+3=17$;
当$m=10$时,$x_2=\frac{m^2+5}{7}=15$,
此时$△ ABC$的三边长为7,7,15,三角形不存在;
同理可证,当$x_2=7$时,$△ ABC$的周长为17;
当$x_1=x_2$时,
$\Delta=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-4(m^2+5)×1=0$,
解得$m=2,\therefore x_1=x_2=3$,
此时$△ ABC$的三边长为7,3,3,三角形不存在.
综上所述,$△ ABC$的周长为17.
$\therefore \Delta=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-4(m^2+5)×1≥0$,
解得$m≥2$.
$\because (x_1-1)(x_2-1)=28$,
$\therefore x_1x_2-(x_1+x_2)+1=28$,
$\therefore m^2+5-2(m+1)-27=0$,
整理,得$m^2-2m-24=0$,解得$m_1=6,m_2=-4$.
$\because m≥2,\therefore m$的值为6.
(2)由(1)知$x_1+x_2=2(m+1),x_1x_2=m^2+5$.
$\because$等腰三角形$ABC$的一边长为7,
当$x_1=7$时,
$\therefore 7+x_2=2(m+1),7x_2=m^2+5$,
$\therefore 2(m+1)-7=\frac{m^2+5}{7}$,
整理,得$m^2-14m+40=0$,
解得$m_1=4,m_2=10$,
当$m=4$时,$x_2=\frac{m^2+5}{7}=3$,
此时$△ ABC$的三边长为7,7,3,三角形存在,
故$△ ABC$的周长为$7+7+3=17$;
当$m=10$时,$x_2=\frac{m^2+5}{7}=15$,
此时$△ ABC$的三边长为7,7,15,三角形不存在;
同理可证,当$x_2=7$时,$△ ABC$的周长为17;
当$x_1=x_2$时,
$\Delta=b^2-4ac=[-2(m+1)]^2-4(m^2+5)×1=0$,
解得$m=2,\therefore x_1=x_2=3$,
此时$△ ABC$的三边长为7,3,3,三角形不存在.
综上所述,$△ ABC$的周长为17.
9.冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感.设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论错误的是（
A.第1轮后$(x+1)$个人患了流感
B.第2轮新增$x(x+1)$个人患流感
C.可列方程$1+x+x^2=49$
D.可列方程$(x+1)^2=49$
C
）A.第1轮后$(x+1)$个人患了流感
B.第2轮新增$x(x+1)$个人患流感
C.可列方程$1+x+x^2=49$
D.可列方程$(x+1)^2=49$
答案
9. C
10.假设每两个飞机场之间都开辟一条航线，某航空公司一共开辟了21条航线，则这个航空公司飞往的飞机场有
7
个.答案
10. 7
11. 自由下落物体的高度$h$（m）与下落的时间$t$（s）的关系为$h=4.9t^2$，现有一铁球从离地面19.6 m高的建筑物的顶部自由下落，到达地面需要
2
s.答案
11. 2
12. 大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积. 如图①，长代表$a$，宽代表$b$，矩形的面积代表$ab$. 大约于公元820年，阿尔·花剌子米在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解.
(1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解$x^2 + 4x - 12 = 0(x＞0)$，并形成以下操作步骤：
第一步：将方程变形成$x^2 + 4x = 12$；
第二步：构造边长为$x+2$的正方形(如图②)；
第三步：求得右下角正方形面积$S$的值是
第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积，即$(x+2)^2 = x^2 + 2x + 2x + S$. 将$x^2 + 4x =12$代入，可得$(x+2)^2 = $
$\because x＞0$，
$\therefore x = $
请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；
(2)请参照上述方法解方程$x^2 +5x -6=0(x＞0)$.
(1)某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解$x^2 + 4x - 12 = 0(x＞0)$，并形成以下操作步骤：
第一步：将方程变形成$x^2 + 4x = 12$；
第二步：构造边长为$x+2$的正方形(如图②)；
第三步：求得右下角正方形面积$S$的值是
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①；第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积，即$(x+2)^2 = x^2 + 2x + 2x + S$. 将$x^2 + 4x =12$代入，可得$(x+2)^2 = $
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②，$\because x＞0$，
$\therefore x = $
2
③.请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；
(2)请参照上述方法解方程$x^2 +5x -6=0(x＞0)$.
答案
12. 解:(1)①4 ②16 ③2
(2)第一步:将方程变形成$x^2+5x=6$;
第二步:构造边长为$x+2.5$的正方形如图
;第三步:求得右下角正方形面积$S$的值是$S=\frac{25}{4}$;
第四步:用两种方法表示图中大正方形的面积,即$(x+2.5)^2=x^2+2.5x+2.5x+S$,
将$x^2+5x=6$代入,可得$(x+2.5)^2=\frac{49}{4}$,
$\because x＞0,\therefore x=1$.
