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学习任务一 有理数
从旧知到新知
|情境创设|
观察下列各整数,找出同类的数.
$-9,2025,3,-4,0,20,5,-2024,-100$.
问题1:正整数:____________________________.
既不是正整数也不是负整数的整数:__________.
负整数:____________________________.
问题2:整数的分类:
整数$\{\begin{array}{l}\_\_\_\_\_\_; $
$ \\\_\_\_\_\_\_.\end{array} $
|情境创设|
观察下列各分数,找出同类的数.
$\frac{1}{2},-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,-\frac{1}{7},-0.5,-15.2,$
$0.2,5.32,0.5$.
问题3:正分数:.
负分数:.
问题4:把第一个情境创设中的整数$-9,3,0$分别写成分数的形式是:.
|知识梳理|
有理数的有关概念
可以写成形式的数称为有理数,其中,可以写成形式的数为正有理数,可以写成形式的数为负有理数.
从旧知到新知
|情境创设|
观察下列各整数,找出同类的数.
$-9,2025,3,-4,0,20,5,-2024,-100$.
问题1:正整数:____________________________.
既不是正整数也不是负整数的整数:__________.
负整数:____________________________.
问题2:整数的分类:
整数$\{\begin{array}{l}\_\_\_\_\_\_; $
$ \\\_\_\_\_\_\_.\end{array} $|情境创设|
观察下列各分数,找出同类的数.
$\frac{1}{2},-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,-\frac{1}{7},-0.5,-15.2,$
$0.2,5.32,0.5$.
问题3:正分数:.
负分数:.
问题4:把第一个情境创设中的整数$-9,3,0$分别写成分数的形式是:.
|知识梳理|
有理数的有关概念
可以写成形式的数称为有理数,其中,可以写成形式的数为正有理数,可以写成形式的数为负有理数.
答案
1. 正整数:2 025,3,20,5.
既不是正整数也不是负整数的整数:0.
负整数:-9,-4,-2 024,-100.
2. 正整数 0 负整数
3. 正分数:$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,0.2,5.32,0.5$.
负分数:$-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},-\frac{1}{7},-0.5,-15.2$.
4. $-\frac{9}{1},\frac{3}{1},\frac{0}{1}$(答案不唯一)
既不是正整数也不是负整数的整数:0.
负整数:-9,-4,-2 024,-100.
2. 正整数 0 负整数
3. 正分数:$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,0.2,5.32,0.5$.
负分数:$-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},-\frac{1}{7},-0.5,-15.2$.
4. $-\frac{9}{1},\frac{3}{1},\frac{0}{1}$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题前先回忆有理数相关基础概念：1、整数分为正整数、0、负整数三类，其中大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，0既不属于正整数也不属于负整数；2、分数包含正分数和负分数，有限小数可以转化为分数形式，因此也属于分数范畴，大于0的分数是正分数，小于0的分数是负分数；3、整数都可以写成分母为1的分数形式。
解题时按问题顺序逐一判断：问题1逐个区分给出整数的正负，分别归类即可；问题2直接对应整数的三类分类填空；问题3区分给出的分数（含小数）的正负，分别填入对应分类；问题4将整数的分母写为1即可转化为分数形式。
【解析】
问题1：观察给出的整数：
大于0的整数有2025、3、20、5，即为正整数；
0既不是正数也不是负数，因此既不是正整数也不是负整数；
小于0的整数有-9、-4、-2024、-100，即为负整数。
问题2：根据整数的分类规则，整数分为正整数、0、负整数三类，因此三个空依次为正整数、0、负整数。
问题3：观察给出的数，可化为分数的数中：
大于0的有$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,0.2,5.32,0.5$，即为正分数；
小于0的有$-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},-\frac{1}{7},-0.5,-15.2$，即为负分数。
问题4：整数写成分数形式时，可将分母取1，因此$-9=-\frac{9}{1}$，$3=\frac{3}{1}$，$0=\frac{0}{1}$，也可取其他非0分母，答案不唯一。
【答案】
1. 正整数：$\boxed{2025,3,20,5}$；既不是正整数也不是负整数的整数：$\boxed{0}$；负整数：$\boxed{-9,-4,-2024,-100}$
2. 整数分类依次填：$\boxed{正整数}$；$\boxed{0}$；$\boxed{负整数}$
3. 正分数：$\boxed{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,0.2,5.32,0.5}$；负分数：$\boxed{-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},-\frac{1}{7},-0.5,-15.2}$
4. $\boxed{-\frac{9}{1},\frac{3}{1},\frac{0}{1}}$（答案不唯一）
【知识点】
整数的分类；分数的分类；有理数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础概念题，重点考查对整数、分数分类标准的理解和掌握，牢记相关分类规则是解题的关键，这类基础概念是学习有理数后续内容的核心铺垫。
【难度系数】
0.9
解题前先回忆有理数相关基础概念：1、整数分为正整数、0、负整数三类，其中大于0的整数是正整数，小于0的整数是负整数，0既不属于正整数也不属于负整数；2、分数包含正分数和负分数，有限小数可以转化为分数形式，因此也属于分数范畴，大于0的分数是正分数，小于0的分数是负分数；3、整数都可以写成分母为1的分数形式。
解题时按问题顺序逐一判断：问题1逐个区分给出整数的正负，分别归类即可；问题2直接对应整数的三类分类填空；问题3区分给出的分数（含小数）的正负，分别填入对应分类；问题4将整数的分母写为1即可转化为分数形式。
【解析】
问题1：观察给出的整数：
大于0的整数有2025、3、20、5，即为正整数；
0既不是正数也不是负数，因此既不是正整数也不是负整数；
小于0的整数有-9、-4、-2024、-100，即为负整数。
问题2：根据整数的分类规则，整数分为正整数、0、负整数三类，因此三个空依次为正整数、0、负整数。
问题3：观察给出的数，可化为分数的数中：
大于0的有$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,0.2,5.32,0.5$，即为正分数；
小于0的有$-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},-\frac{1}{7},-0.5,-15.2$，即为负分数。
问题4：整数写成分数形式时，可将分母取1，因此$-9=-\frac{9}{1}$，$3=\frac{3}{1}$，$0=\frac{0}{1}$，也可取其他非0分母，答案不唯一。
【答案】
1. 正整数：$\boxed{2025,3,20,5}$；既不是正整数也不是负整数的整数：$\boxed{0}$；负整数：$\boxed{-9,-4,-2024,-100}$
2. 整数分类依次填：$\boxed{正整数}$；$\boxed{0}$；$\boxed{负整数}$
3. 正分数：$\boxed{\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{15}{7},0.12,0.2,5.32,0.5}$；负分数：$\boxed{-\frac{5}{2},-\frac{2}{3},-\frac{1}{7},-0.5,-15.2}$
4. $\boxed{-\frac{9}{1},\frac{3}{1},\frac{0}{1}}$（答案不唯一）
【知识点】
整数的分类；分数的分类；有理数的定义
【点评】
本题是有理数分类的基础概念题，重点考查对整数、分数分类标准的理解和掌握，牢记相关分类规则是解题的关键，这类基础概念是学习有理数后续内容的核心铺垫。
【难度系数】
0.9
【例1】下列说法中,错误的是 (
A.所有整数都是有理数
B.所有小数都是有理数
C.所有分数都是有理数
D.π不是有理数
【规律方法】
解决有理数概念问题的关注点
(1)有限小数和无限循环小数都可化为分数,所以是有理数;无限不循环小数不能化为分数,如“π”,所以不是有理数.
(2)如果一个数不能写成分数的形式,那么它一定不是有理数.
B
)A.所有整数都是有理数
B.所有小数都是有理数
C.所有分数都是有理数
D.π不是有理数
【规律方法】
解决有理数概念问题的关注点
(1)有限小数和无限循环小数都可化为分数,所以是有理数;无限不循环小数不能化为分数,如“π”,所以不是有理数.
(2)如果一个数不能写成分数的形式,那么它一定不是有理数.
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆有理数的定义：整数和分数统称为有理数，其中有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数无法化为分数，不属于有理数。我们只需要逐一判断每个选项的说法是否符合上述定义，即可找到错误的选项。
【解析】
我们结合有理数的定义逐一分析选项：
A. 有理数包含整数和分数，因此所有整数都是有理数，该说法正确，不符合题意；
B. 小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数（如π）不能化为分数，不属于有理数，因此“所有小数都是有理数”的说法错误，符合题意；
C. 有理数包含整数和分数，因此所有分数都是有理数，该说法正确，不符合题意；
D. π是无限不循环小数，不能写成分数的形式，因此π不是有理数，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；有理数的分类；小数与有理数的关系
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查对有理数定义和范围的掌握，易错点是忽略无限不循环小数不属于有理数，误认为所有小数都属于有理数，明确有理数的分类标准是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆有理数的定义：整数和分数统称为有理数，其中有限小数和无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数无法化为分数，不属于有理数。我们只需要逐一判断每个选项的说法是否符合上述定义，即可找到错误的选项。
【解析】
我们结合有理数的定义逐一分析选项：
A. 有理数包含整数和分数，因此所有整数都是有理数，该说法正确，不符合题意；
B. 小数分为有限小数、无限循环小数和无限不循环小数，其中无限不循环小数（如π）不能化为分数，不属于有理数，因此“所有小数都是有理数”的说法错误，符合题意；
C. 有理数包含整数和分数，因此所有分数都是有理数，该说法正确，不符合题意；
D. π是无限不循环小数，不能写成分数的形式，因此π不是有理数，该说法正确，不符合题意。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
有理数的概念；有理数的分类；小数与有理数的关系
【点评】
本题是基础概念辨析题，重点考查对有理数定义和范围的掌握，易错点是忽略无限不循环小数不属于有理数，误认为所有小数都属于有理数，明确有理数的分类标准是解题的核心。
【难度系数】
0.8
