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1.下列说法正确的是 （
A.正数、负数统称为有理数
B.0 可以写成分数的形式
C.正有理数、负有理数统称为有理数
D.以上都不正确
B
）A.正数、负数统称为有理数
B.0 可以写成分数的形式
C.正有理数、负有理数统称为有理数
D.以上都不正确
答案
1. B
解析
【分析】
这道题考查有理数的相关概念，解题时需要先明确有理数的定义和分类标准，再逐一判断每个选项的正误：首先回忆有理数的分类规则，有理数可分为正有理数、0、负有理数，也可分为整数和分数，其中0是特殊的有理数，判断时要注意选项是否遗漏0，以及概念的范围是否准确。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：有理数包含正有理数、0、负有理数，该说法既遗漏了属于有理数的0，且正数、负数中还存在不属于有理数的数，因此说法错误；
选项B：0可以写成分数形式，比如$\frac{0}{1}$、$\frac{0}{2}$等（分母为不为0的整数即可），因此说法正确；
选项C：有理数包含正有理数、0、负有理数，该分类遗漏了0，因此说法错误；
选项D：由于选项B的说法正确，因此该说法错误。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握有理数的分类标准，尤其要注意0是有理数，在分类时不要遗漏0，同时要明确有理数的范围，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
这道题考查有理数的相关概念，解题时需要先明确有理数的定义和分类标准，再逐一判断每个选项的正误：首先回忆有理数的分类规则，有理数可分为正有理数、0、负有理数，也可分为整数和分数，其中0是特殊的有理数，判断时要注意选项是否遗漏0，以及概念的范围是否准确。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：有理数包含正有理数、0、负有理数，该说法既遗漏了属于有理数的0，且正数、负数中还存在不属于有理数的数，因此说法错误；
选项B：0可以写成分数形式，比如$\frac{0}{1}$、$\frac{0}{2}$等（分母为不为0的整数即可），因此说法正确；
选项C：有理数包含正有理数、0、负有理数，该分类遗漏了0，因此说法错误；
选项D：由于选项B的说法正确，因此该说法错误。
【答案】
B
【知识点】
有理数的分类；有理数的定义
【点评】
本题属于基础概念题，解题的关键是准确掌握有理数的分类标准，尤其要注意0是有理数，在分类时不要遗漏0，同时要明确有理数的范围，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
【例2】把下面的数填入它们属于的集合内：
$-5,10,-4.5,+2 \dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16.$
正整数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$；
负有理数集合：$\{ \dots \}$；
有理数集合：$\{ \dots \}.$
$-5,10,-4.5,+2 \dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16.$
正整数集合：$\{ \dots \}$；
负整数集合：$\{ \dots \}$；
负有理数集合：$\{ \dots \}$；
有理数集合：$\{ \dots \}.$
答案
解:正整数集合:$\{10,+66,2024,···\}$;
负整数集合:$\{-5,-16,···\}$;
负有理数集合:$\{-5,-4.5,-2.15,-\dfrac{3}{5},-16,···\}$;
有理数集合:$\{-5,10,-4.5,+2\dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16,···\}.$
负整数集合:$\{-5,-16,···\}$;
负有理数集合:$\{-5,-4.5,-2.15,-\dfrac{3}{5},-16,···\}$;
有理数集合:$\{-5,10,-4.5,+2\dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16,···\}.$
解析
【分析】
解题时先明确各集合的定义，再对给出的数逐一筛选归类：①正整数是大于0的整数，排除负数、分数、小数；②负整数是小于0的整数，排除正数、正分数、负分数；③负有理数是所有小于0的有理数，包含负整数和负分数（负有限小数、负百分数、负分数都属于该类）；④有理数是整数和分数的统称，题目给出的所有数都可表示为两个整数的比值，均属于有理数，最后将筛选出的数填入对应集合即可。
【解析】
我们逐个判断给出的数：
1. 筛选正整数：大于0的整数有10、+66、2024，因此正整数集合为$\{10,+66,2024,···\}$；
2. 筛选负整数：小于0的整数有-5、-16，因此负整数集合为$\{-5,-16,···\}$；
3. 筛选负有理数：小于0的有理数包含负整数-5、-16，以及负的分数/小数-4.5、-2.15、$-\dfrac{3}{5}$，因此负有理数集合为$\{-5,-4.5,-2.15,-\dfrac{3}{5},-16,···\}$；
4. 筛选有理数：所有给出的数均为整数或分数，都属于有理数，因此有理数集合为$\{-5,10,-4.5,+2\dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16,···\}$。
【答案】
正整数集合:$\{10,+66,2024,···\}$;
负整数集合:$\{-5,-16,···\}$;
负有理数集合:$\{-5,-4.5,-2.15,-\dfrac{3}{5},-16,···\}$;
有理数集合:$\{-5,10,-4.5,+2\dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16,···\}.$
【知识点】
有理数的定义；有理数的分类；整数的分类
【点评】
本题是基础概念考察题，解题核心是准确掌握各类有理数的定义，分类时注意有限小数、百分数、带分数都属于分数范畴，同样属于有理数，填写集合时不要遗漏末尾的省略号。
【难度系数】
0.9
解题时先明确各集合的定义，再对给出的数逐一筛选归类：①正整数是大于0的整数，排除负数、分数、小数；②负整数是小于0的整数，排除正数、正分数、负分数；③负有理数是所有小于0的有理数，包含负整数和负分数（负有限小数、负百分数、负分数都属于该类）；④有理数是整数和分数的统称，题目给出的所有数都可表示为两个整数的比值，均属于有理数，最后将筛选出的数填入对应集合即可。
【解析】
我们逐个判断给出的数：
1. 筛选正整数：大于0的整数有10、+66、2024，因此正整数集合为$\{10,+66,2024,···\}$；
2. 筛选负整数：小于0的整数有-5、-16，因此负整数集合为$\{-5,-16,···\}$；
3. 筛选负有理数：小于0的有理数包含负整数-5、-16，以及负的分数/小数-4.5、-2.15、$-\dfrac{3}{5}$，因此负有理数集合为$\{-5,-4.5,-2.15,-\dfrac{3}{5},-16,···\}$；
4. 筛选有理数：所有给出的数均为整数或分数，都属于有理数，因此有理数集合为$\{-5,10,-4.5,+2\dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16,···\}$。
【答案】
正整数集合:$\{10,+66,2024,···\}$;
负整数集合:$\{-5,-16,···\}$;
负有理数集合:$\{-5,-4.5,-2.15,-\dfrac{3}{5},-16,···\}$;
有理数集合:$\{-5,10,-4.5,+2\dfrac{3}{5},-2.15,0.01,+66,-\dfrac{3}{5},15\%,\dfrac{22}{7},2024,-16,···\}.$
【知识点】
有理数的定义；有理数的分类；整数的分类
【点评】
本题是基础概念考察题，解题核心是准确掌握各类有理数的定义，分类时注意有限小数、百分数、带分数都属于分数范畴，同样属于有理数，填写集合时不要遗漏末尾的省略号。
【难度系数】
0.9
2.在$0,\frac{π}{2},1.343\ 443\ 444\ 3···$（相邻两个3之间依次多1个4），$\frac{22}{5},3.14$中，有理数的个数是（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
2. C
解析
【分析】
解题时首先要明确有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无限不循环小数属于无理数。接下来我们逐个判断给出的5个数属于有理数还是无理数，最后统计有理数的总个数即可选出正确选项。
【解析】
根据有理数的定义逐一判断各数：
1. 0是整数，属于有理数；
2. π本身是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $1.343\ 443\ 444\ 3···$（相邻两个3之间依次多1个4）是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\frac{22}{5}$是分数，属于有理数；
5. 3.14是有限小数，可转化为分数，属于有理数。
综上，有理数共有0、$\frac{22}{5}$、3.14这3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数的概念
2. 无理数的识别
【点评】
本题主要考查有理数与无理数的区分，解题的核心是牢记两类数的特征，尤其要注意含π的数、有固定规律但不循环的无限小数都属于无理数，不要误把有限小数3.14和π混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，属于有理数；无限不循环小数属于无理数。接下来我们逐个判断给出的5个数属于有理数还是无理数，最后统计有理数的总个数即可选出正确选项。
【解析】
根据有理数的定义逐一判断各数：
1. 0是整数，属于有理数；
2. π本身是无限不循环小数，因此$\frac{π}{2}$也是无限不循环小数，属于无理数；
3. $1.343\ 443\ 444\ 3···$（相邻两个3之间依次多1个4）是无限不循环小数，属于无理数；
4. $\frac{22}{5}$是分数，属于有理数；
5. 3.14是有限小数，可转化为分数，属于有理数。
综上，有理数共有0、$\frac{22}{5}$、3.14这3个，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 有理数的概念
2. 无理数的识别
【点评】
本题主要考查有理数与无理数的区分，解题的核心是牢记两类数的特征，尤其要注意含π的数、有固定规律但不循环的无限小数都属于无理数，不要误把有限小数3.14和π混淆。
【难度系数】
0.8
1.在0,4,−3,−1.5中,属于负整数的是
（
A.0
B.4
C.−3
D.−1.5
（
C
）A.0
B.4
C.−3
D.−1.5
答案
1. C
解析
【分析】
拿到本题首先要明确题干要求是找出“负整数”，先回忆负整数的判定标准：第一，这个数必须是负数，即小于0的数；第二，这个数必须是整数，没有小数或分数部分。接下来用这两个标准逐一排查四个选项，同时满足两个条件的就是正确答案。
【解析】
负整数的定义为：同时满足“是小于0的负数”和“是整数”两个条件的数。对各选项逐一判断：
A. 0既不是正数也不是负数，不符合“负数”的要求，排除；
B. 4是大于0的正整数，不符合“负数”的要求，排除；
C. -3是小于0的整数，同时满足负整数的两个判定条件，符合要求；
D. -1.5是小于0的负数，但含有小数部分，属于负分数，不是整数，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数分类，负整数判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记负整数的判定需同时满足“为负数”和“为整数”两个要素，掌握概念后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
拿到本题首先要明确题干要求是找出“负整数”，先回忆负整数的判定标准：第一，这个数必须是负数，即小于0的数；第二，这个数必须是整数，没有小数或分数部分。接下来用这两个标准逐一排查四个选项，同时满足两个条件的就是正确答案。
【解析】
负整数的定义为：同时满足“是小于0的负数”和“是整数”两个条件的数。对各选项逐一判断：
A. 0既不是正数也不是负数，不符合“负数”的要求，排除；
B. 4是大于0的正整数，不符合“负数”的要求，排除；
C. -3是小于0的整数，同时满足负整数的两个判定条件，符合要求；
D. -1.5是小于0的负数，但含有小数部分，属于负分数，不是整数，排除。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
有理数分类，负整数判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是牢记负整数的判定需同时满足“为负数”和“为整数”两个要素，掌握概念后可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2.下列不是正有理数的是 （
A.－3.14
B.2.8
C.$\frac{7}{3}$
D.3
A
）A.－3.14
B.2.8
C.$\frac{7}{3}$
D.3
答案
2. A
解析
【分析】
解题首先要明确正有理数的判定标准：正有理数需要同时满足两个条件，一是大于0（即正数），二是属于有理数（整数、分数都属于有理数，有限小数和无限循环小数可化为分数，也属于有理数）。要选出“不是正有理数”的选项，只需逐个判断各选项是否不符合上述两个条件即可。
【解析】
首先明确正有理数的定义：大于0的有理数叫作正有理数，包含正整数、正分数（正有限小数、正无限循环小数都属于正分数）。
对各选项逐一判断：
A. -3.14是小于0的数，属于负数，不满足“正数”的要求，因此不是正有理数；
B. 2.8是大于0的有限小数，属于正分数，是正有理数；
C. $\frac{7}{3}$是大于0的分数，是正有理数；
D. 3是大于0的整数，属于正整数，是正有理数。
因此符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 正有理数的定义 2. 有理数的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对有理数分类标准的理解，解题时要注意同时兼顾“正”和“有理数”两个判定属性，避免漏看符号错选。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确正有理数的判定标准：正有理数需要同时满足两个条件，一是大于0（即正数），二是属于有理数（整数、分数都属于有理数，有限小数和无限循环小数可化为分数，也属于有理数）。要选出“不是正有理数”的选项，只需逐个判断各选项是否不符合上述两个条件即可。
【解析】
首先明确正有理数的定义：大于0的有理数叫作正有理数，包含正整数、正分数（正有限小数、正无限循环小数都属于正分数）。
对各选项逐一判断：
A. -3.14是小于0的数，属于负数，不满足“正数”的要求，因此不是正有理数；
B. 2.8是大于0的有限小数，属于正分数，是正有理数；
C. $\frac{7}{3}$是大于0的分数，是正有理数；
D. 3是大于0的整数，属于正整数，是正有理数。
因此符合要求的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
1. 正有理数的定义 2. 有理数的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是对有理数分类标准的理解，解题时要注意同时兼顾“正”和“有理数”两个判定属性，避免漏看符号错选。
【难度系数】
0.9
3. 在 $-4$，$3.5$，$\frac{π}{4}$，$\frac{5}{4}$，$1$，$-\frac{2}{3}$ 中，有理数有
5
个。答案
3. 5
解析
【分析】
解题的核心是先明确有理数与无理数的定义：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，均属于有理数；无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的含π的数都属于无理数。我们只需要逐个判断给出的数是否为有理数，最后统计有理数的个数即可。
【解析】
我们逐个分析题干给出的数：
1. $-4$是负整数，属于有理数；
2. $3.5$是有限小数，可化为分数$\frac{7}{2}$，属于有理数；
3. $\frac{π}{4}$含有无理数$π$，属于无理数；
4. $\frac{5}{4}$是正分数，属于有理数；
5. $1$是正整数，属于有理数；
6. $-\frac{2}{3}$是负分数，属于有理数。
综上，有理数共有5个。
【答案】
5
【知识点】
有理数的定义、无理数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟记有理数的分类范围，注意不要把有限小数归为非有理数，也不要误将含π的分数形式的数判定为有理数。
【难度系数】
0.85
解题的核心是先明确有理数与无理数的定义：有理数是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称，有限小数、无限循环小数都可以转化为分数，均属于有理数；无理数是无限不循环小数，初中阶段常见的含π的数都属于无理数。我们只需要逐个判断给出的数是否为有理数，最后统计有理数的个数即可。
【解析】
我们逐个分析题干给出的数：
1. $-4$是负整数，属于有理数；
2. $3.5$是有限小数，可化为分数$\frac{7}{2}$，属于有理数；
3. $\frac{π}{4}$含有无理数$π$，属于无理数；
4. $\frac{5}{4}$是正分数，属于有理数；
5. $1$是正整数，属于有理数；
6. $-\frac{2}{3}$是负分数，属于有理数。
综上，有理数共有5个。
【答案】
5
【知识点】
有理数的定义、无理数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的关键是熟记有理数的分类范围，注意不要把有限小数归为非有理数，也不要误将含π的分数形式的数判定为有理数。
【难度系数】
0.85
4.把下面的数填入它们属于的集合内：
$-1 \frac{1}{3},2,5.7,-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},2024,-π,1.121121112,0,-1.$
负整数集合：$\{ \dots \};$
正数集合：$\{ \dots \};$
整数集合：$\{ \dots \};$
非正数集合：$\{ \dots \};$
非负整数集合：$\{ \dots \}.$
$-1 \frac{1}{3},2,5.7,-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},2024,-π,1.121121112,0,-1.$
负整数集合：$\{ \dots \};$
正数集合：$\{ \dots \};$
整数集合：$\{ \dots \};$
非正数集合：$\{ \dots \};$
非负整数集合：$\{ \dots \}.$
答案
4. 解:负整数集合：{−1,…}；
正数集合：{2,5.7,2 024,1.121 121 112,…}；
整数集合：{2,2 024,0,−1,…}；
非正数集合：$\{-1\dfrac{1}{3},-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},-π,0,-1,\dots\}$；
非负整数集合：{2,2 024,0,…}.
正数集合：{2,5.7,2 024,1.121 121 112,…}；
整数集合：{2,2 024,0,−1,…}；
非正数集合：$\{-1\dfrac{1}{3},-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},-π,0,-1,\dots\}$；
非负整数集合：{2,2 024,0,…}.
解析
【分析】
解决有理数分类问题，首先要明确每类集合的定义：①负整数：同时满足小于0、是整数两个条件的数；②正数：所有大于0的数，包含正整数、正分数；③整数：包含正整数、0、负整数三类；④非正数：小于等于0的数，即负数和0；⑤非负整数：大于等于0的整数，即正整数和0。接下来逐个判断给出的每个数的属性，对应填入集合即可，注意不要漏写0，也不要将$-π$这类无理数错误归入整数集合。
【解析】
先逐个判断各数的属性：
$-1\frac{1}{3}$是负分数，属于非正数；
$2$是正整数，属于正数、整数、非负整数；
$5.7$是正分数，属于正数；
$-0.07$是负分数，属于非正数；
$-0.\dot{3}\dot{5}$是负分数，属于非正数；
$2024$是正整数，属于正数、整数、非负整数；
$-π$是负无理数，属于非正数；
$1.121121112$是正有限小数（正分数），属于正数；
$0$是整数，属于非正数、非负整数；
$-1$是负整数，属于负整数集合、整数集合、非正数集合。
按定义分类如下：
负整数集合：$\{-1,\dots\}$
正数集合：$\{2,5.7,2024,1.121121112,\dots\}$
整数集合：$\{2,2024,0,-1,\dots\}$
非正数集合：$\{-1\dfrac{1}{3},-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},-π,0,-1,\dots\}$
非负整数集合：$\{2,2024,0,\dots\}$
【答案】
负整数集合：$\{−1,\dots\}$；
正数集合：$\{2,5.7,2024,1.121121112,\dots\}$；
整数集合：$\{2,2024,0,−1,\dots\}$；
非正数集合：$\{-1\dfrac{1}{3},-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},-π,0,-1,\dots\}$；
非负整数集合：$\{2,2024,0,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类、正数与负数的定义、整数的定义
【点评】
本题考查有理数的分类应用，解题核心是准确掌握各类数集的定义，尤其要注意0既不是正数也不是负数，同时属于非正数和非负整数，避免出现漏写0、错判特殊数属性的问题。
【难度系数】
0.8
解决有理数分类问题，首先要明确每类集合的定义：①负整数：同时满足小于0、是整数两个条件的数；②正数：所有大于0的数，包含正整数、正分数；③整数：包含正整数、0、负整数三类；④非正数：小于等于0的数，即负数和0；⑤非负整数：大于等于0的整数，即正整数和0。接下来逐个判断给出的每个数的属性，对应填入集合即可，注意不要漏写0，也不要将$-π$这类无理数错误归入整数集合。
【解析】
先逐个判断各数的属性：
$-1\frac{1}{3}$是负分数，属于非正数；
$2$是正整数，属于正数、整数、非负整数；
$5.7$是正分数，属于正数；
$-0.07$是负分数，属于非正数；
$-0.\dot{3}\dot{5}$是负分数，属于非正数；
$2024$是正整数，属于正数、整数、非负整数；
$-π$是负无理数，属于非正数；
$1.121121112$是正有限小数（正分数），属于正数；
$0$是整数，属于非正数、非负整数；
$-1$是负整数，属于负整数集合、整数集合、非正数集合。
按定义分类如下：
负整数集合：$\{-1,\dots\}$
正数集合：$\{2,5.7,2024,1.121121112,\dots\}$
整数集合：$\{2,2024,0,-1,\dots\}$
非正数集合：$\{-1\dfrac{1}{3},-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},-π,0,-1,\dots\}$
非负整数集合：$\{2,2024,0,\dots\}$
【答案】
负整数集合：$\{−1,\dots\}$；
正数集合：$\{2,5.7,2024,1.121121112,\dots\}$；
整数集合：$\{2,2024,0,−1,\dots\}$；
非正数集合：$\{-1\dfrac{1}{3},-0.07,-0.\dot{3}\dot{5},-π,0,-1,\dots\}$；
非负整数集合：$\{2,2024,0,\dots\}$。
【知识点】
有理数的分类、正数与负数的定义、整数的定义
【点评】
本题考查有理数的分类应用，解题核心是准确掌握各类数集的定义，尤其要注意0既不是正数也不是负数，同时属于非正数和非负整数，避免出现漏写0、错判特殊数属性的问题。
【难度系数】
0.8
