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1. 二次函数的概念和一般形式
把形如$\underline{\hspace{8cm}}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数. 其中$x$是自变量，$a,b,c$分别是函数表达式的$\underline{\hspace{4cm}}$、$\underline{\hspace{5cm}}$和$\underline{\hspace{4cm}}$，并且称$y=ax^2+bx+c(a≠0)$为二次函数的一般形式.
把形如$\underline{\hspace{8cm}}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数. 其中$x$是自变量，$a,b,c$分别是函数表达式的$\underline{\hspace{4cm}}$、$\underline{\hspace{5cm}}$和$\underline{\hspace{4cm}}$，并且称$y=ax^2+bx+c(a≠0)$为二次函数的一般形式.
答案
$y=ax^2+bx+c$ 二次项系数 一次项系数 常数项
解析
【分析】
本题考查二次函数的基础概念，解题时直接回忆课本中二次函数的定义和一般形式相关内容即可：首先二次函数属于整式函数，自变量的最高次数为2，因此其一般形式有固定的书写格式；其次要明确一般形式中各项对应的名称，区分二次项系数、一次项系数和常数项的对应对象，按概念对应填空即可。
【解析】
根据二次函数的定义：把形如$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数。其中$a$是二次项$ax^2$的系数，称为二次项系数；$b$是一次项$bx$的系数，称为一次项系数；$c$是不含自变量的项，称为常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$ 二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
二次函数的定义；二次函数一般形式；二次函数系数命名
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查二次函数最基础的定义内容，是学习二次函数图象、性质及应用的入门基础，需要准确记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
本题考查二次函数的基础概念，解题时直接回忆课本中二次函数的定义和一般形式相关内容即可：首先二次函数属于整式函数，自变量的最高次数为2，因此其一般形式有固定的书写格式；其次要明确一般形式中各项对应的名称，区分二次项系数、一次项系数和常数项的对应对象，按概念对应填空即可。
【解析】
根据二次函数的定义：把形如$\boldsymbol{y=ax^2+bx+c}$（$a,b,c$是常数，$a≠0$）的函数称为二次函数。其中$a$是二次项$ax^2$的系数，称为二次项系数；$b$是一次项$bx$的系数，称为一次项系数；$c$是不含自变量的项，称为常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$ 二次项系数 一次项系数 常数项
【知识点】
二次函数的定义；二次函数一般形式；二次函数系数命名
【点评】
本题属于基础识记类题目，考查二次函数最基础的定义内容，是学习二次函数图象、性质及应用的入门基础，需要准确记忆相关概念。
【难度系数】
0.9
2. 二次函数的自变量的取值范围
二次函数的自变量的取值范围是
二次函数的自变量的取值范围是
所有实数
，但在实际问题中，自变量的取值范围会有一些限制。答案
2. 所有实数
解析
【分析】
解题时先回忆二次函数的定义，明确二次函数的表达式属于整式形式，整式在全体实数范围内都有意义，不存在使表达式无意义的自变量取值，由此推导无额外限制时二次函数自变量的取值范围。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），属于整式函数。对于整式函数，任意实数代入自变量都能得到唯一确定的函数值，不存在使表达式无意义的情况，因此无实际场景等额外限制时，二次函数自变量的取值范围是所有实数。
【答案】
所有实数
【知识点】
二次函数的定义；函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对二次函数基本性质的识记，要注意区分纯函数表达式的自变量取值范围，和实际问题中受现实条件约束的取值范围的差异。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆二次函数的定义，明确二次函数的表达式属于整式形式，整式在全体实数范围内都有意义，不存在使表达式无意义的自变量取值，由此推导无额外限制时二次函数自变量的取值范围。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a$、$b$、$c$为常数），属于整式函数。对于整式函数，任意实数代入自变量都能得到唯一确定的函数值，不存在使表达式无意义的情况，因此无实际场景等额外限制时，二次函数自变量的取值范围是所有实数。
【答案】
所有实数
【知识点】
二次函数的定义；函数自变量取值范围
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对二次函数基本性质的识记，要注意区分纯函数表达式的自变量取值范围，和实际问题中受现实条件约束的取值范围的差异。
【难度系数】
0.9
【例1】下列函数中，哪些是二次函数？如果是，请指出其二次项系数、一次项系数和常数项.
(1)$y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$；
(2)$y=ax^2 +bx +c(a,b,c均为常数)$；
(3)$y=(x+2)^2 -x^2$.
(1)$y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$；
(2)$y=ax^2 +bx +c(a,b,c均为常数)$；
(3)$y=(x+2)^2 -x^2$.
答案
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$是二次函数，二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为$-3$；
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数。
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数。
解析
【分析】
要判定一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的核心判定标准：①函数表达式是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们按照这个标准逐个分析三个函数：
(1) 表达式已经是最简整式形式，可直接核对最高次数和二次项系数判断；
(2) 表达式中二次项系数为a，未明确a≠0，因此需要分情况讨论a的取值；
(3) 表达式不是最简形式，需要先利用完全平方公式展开化简，再判断最高次数是否为2。
【解析】
解：二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠ 0$）的函数叫做二次函数，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$是整式，化简后最高次数为2，且二次项系数$\frac{1}{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数，对应系数可直接提取。
(2) 分情况讨论：当$a=0$时，二次项消失，函数最高次数不超过1，不符合二次函数定义；当$a≠0$时，符合二次函数定义，是二次函数，对应系数为a、b、c。
(3) 先化简函数：$y=(x+2)^2 -x^2=x^2+4x+4-x^2=4x+4$，化简后最高次数为1，无二次项，不符合二次函数定义。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$是二次函数，二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为$-3$；
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数。
【知识点】
1.二次函数的定义
2.二次函数的系数识别
3.整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题时要紧扣定义，避开两个易错点：一是忽略二次项系数不为0的前提条件，二是未将函数化简为最简形式就直接判断。
【难度系数】
0.75
要判定一个函数是否为二次函数，首先要明确二次函数的核心判定标准：①函数表达式是整式；②化简后自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。我们按照这个标准逐个分析三个函数：
(1) 表达式已经是最简整式形式，可直接核对最高次数和二次项系数判断；
(2) 表达式中二次项系数为a，未明确a≠0，因此需要分情况讨论a的取值；
(3) 表达式不是最简形式，需要先利用完全平方公式展开化简，再判断最高次数是否为2。
【解析】
解：二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a,b,c$是常数，$a≠ 0$）的函数叫做二次函数，其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$是整式，化简后最高次数为2，且二次项系数$\frac{1}{3}≠0$，符合二次函数定义，是二次函数，对应系数可直接提取。
(2) 分情况讨论：当$a=0$时，二次项消失，函数最高次数不超过1，不符合二次函数定义；当$a≠0$时，符合二次函数定义，是二次函数，对应系数为a、b、c。
(3) 先化简函数：$y=(x+2)^2 -x^2=x^2+4x+4-x^2=4x+4$，化简后最高次数为1，无二次项，不符合二次函数定义。
【答案】
(1) $y=\frac{1}{3}x^2 +2x -3$是二次函数，二次项系数为$\frac{1}{3}$，一次项系数为2，常数项为$-3$；
(2) 当$a=0$时，$y=ax^2+bx+c$不是二次函数，当$a≠0$时，$y=ax^2+bx+c$是二次函数，二次项系数为$a$，一次项系数为$b$，常数项为$c$；
(3) $y=(x+2)^2 -x^2=4x+4$，没有二次项，故不是二次函数。
【知识点】
1.二次函数的定义
2.二次函数的系数识别
3.整式的化简
【点评】
本题是二次函数判定的基础题，解题时要紧扣定义，避开两个易错点：一是忽略二次项系数不为0的前提条件，二是未将函数化简为最简形式就直接判断。
【难度系数】
0.75
【变式】(2025合肥期中)已知函数$y=(m-1)x^{m^2 +1}$是二次函数，则$m=$
-1
。答案
-1
解析
【分析】
要确定m的取值，需依据二次函数的定义梳理约束条件：二次函数需要同时满足两个核心要求，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后排除不符合要求的取值，就能得到正确的m值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，可列关系式：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \quad ①\quad \mathrm{（自变量最高次数为2）} \\m - 1 ≠ 0 \quad ②\quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
解①式：移项得$m^2=1$，开平方得$m=1$或$m=-1$。
解②式：移项得$m≠1$。
结合两个式子的结果，舍去不符合条件的$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法；不等式的简单应用
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结果，解题时要全面考虑概念中的所有约束要求。
【难度系数】
0.7
要确定m的取值，需依据二次函数的定义梳理约束条件：二次函数需要同时满足两个核心要求，一是自变量x的最高次数为2，二是二次项的系数不能为0。我们可以根据这两个条件分别列方程和不等式，求解后排除不符合要求的取值，就能得到正确的m值。
【解析】
解：根据二次函数的定义，可列关系式：
$\begin{cases}m^2 + 1 = 2 \quad ①\quad \mathrm{（自变量最高次数为2）} \\m - 1 ≠ 0 \quad ②\quad \mathrm{（二次项系数不为0）}\end{cases}$
解①式：移项得$m^2=1$，开平方得$m=1$或$m=-1$。
解②式：移项得$m≠1$。
结合两个式子的结果，舍去不符合条件的$m=1$，最终得$m=-1$。
【答案】
-1
【知识点】
二次函数的定义；一元二次方程的解法；不等式的简单应用
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题型，易错点是容易遗漏二次项系数不为0的限制条件，直接得出$m=\pm1$的错误结果，解题时要全面考虑概念中的所有约束要求。
【难度系数】
0.7
【例2】如图，矩形绿地的长、宽各增加x m，写出扩充后的绿地面积y关于x的函数表达式. 
答案
∵矩形绿地原来的长和宽分别为30 m，20 m，矩形绿地的长、宽各增加x m，
∴增加后的矩形绿地的长和宽分别为$(30+x)\ \mathrm{m}$，$(20+x)\ \mathrm{m}$。
∴$y=(30+x)(20+x)=x^2+50x+600$。
解析
【分析】
要写出扩充后的绿地面积y关于x的函数表达式，首先需要确定扩充后矩形的长和宽：从图中可知原绿地长为30m、宽为20m，长和宽各增加x m后，新的长为(30+x)m，新的宽为(20+x)m；再根据矩形面积=长×宽的公式，将新的长和宽代入公式得到乘积式，最后将乘积式展开化简即可得到函数表达式。
【解析】
解：由题意及图可知，原矩形绿地的长为30m，宽为20m，
长、宽各增加x m后，扩充后矩形的长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$，
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+20x+30x+600\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+50x+600$
【知识点】
矩形面积计算；列函数关系式；多项式乘多项式
【点评】
本题是基础类应用题，解题核心是准确找到图形变化后的边长，结合对应几何图形的面积公式列式化简即可，主要考查学生结合实际场景列函数表达式的能力。
【难度系数】
0.85
要写出扩充后的绿地面积y关于x的函数表达式，首先需要确定扩充后矩形的长和宽：从图中可知原绿地长为30m、宽为20m，长和宽各增加x m后，新的长为(30+x)m，新的宽为(20+x)m；再根据矩形面积=长×宽的公式，将新的长和宽代入公式得到乘积式，最后将乘积式展开化简即可得到函数表达式。
【解析】
解：由题意及图可知，原矩形绿地的长为30m，宽为20m，
长、宽各增加x m后，扩充后矩形的长为$(30+x)\ \mathrm{m}$，宽为$(20+x)\ \mathrm{m}$，
根据矩形面积公式可得：
$\begin{aligned}y&=(30+x)(20+x)\\&=x^2+20x+30x+600\\&=x^2+50x+600\end{aligned}$
【答案】
$y=x^2+50x+600$
【知识点】
矩形面积计算；列函数关系式；多项式乘多项式
【点评】
本题是基础类应用题，解题核心是准确找到图形变化后的边长，结合对应几何图形的面积公式列式化简即可，主要考查学生结合实际场景列函数表达式的能力。
【难度系数】
0.85
【变式】(2026新乡期中)将进货价格为30元/个的商品按售价40元/个售出时，能卖出200个.已知该商品的售价每上涨1元，其销售量就减少6个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为y元，则y关于x的函数表达式是（
A.$y=(x+10)(200-6x)$
B.$y=(x+40)(200-12x)$
C.$y=(x-30)(200-6x)$
D.$y=(x+10)(200-12x)$
A
）A.$y=(x+10)(200-6x)$
B.$y=(x+40)(200-12x)$
C.$y=(x-30)(200-6x)$
D.$y=(x+10)(200-12x)$
答案
A
解析
【分析】
解决这道题首先要明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总量。我们可以分两步推导：第一步先算出售价上涨x元后的单件利润，第二步算出涨价后的总销售量，最后将两个量代入公式即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
第一步：计算涨价后的单件利润
已知商品进价30元/个，原售价40元/个，原单件利润为$40-30=10$元；当售价上涨x元后，单件利润变为$(10 + x)$元。
第二步：计算涨价后的销售量
已知原销售量为200个，售价每上涨1元销售量减少6个，上涨x元后销售量减少6x个，因此此时销售量为$(200 - 6x)$个。
第三步：列总利润的函数表达式
总利润$y=$单件利润×销售量，代入得：
$y=(x+10)(200-6x)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算，根据实际问题列函数表达式
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，解题关键是准确梳理题干中的数量关系，正确求解单件利润和销售量两个核心量，牢记利润计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解决这道题首先要明确销售利润的核心计算公式：总利润=单件商品的利润×销售总量。我们可以分两步推导：第一步先算出售价上涨x元后的单件利润，第二步算出涨价后的总销售量，最后将两个量代入公式即可得到y与x的函数表达式。
【解析】
第一步：计算涨价后的单件利润
已知商品进价30元/个，原售价40元/个，原单件利润为$40-30=10$元；当售价上涨x元后，单件利润变为$(10 + x)$元。
第二步：计算涨价后的销售量
已知原销售量为200个，售价每上涨1元销售量减少6个，上涨x元后销售量减少6x个，因此此时销售量为$(200 - 6x)$个。
第三步：列总利润的函数表达式
总利润$y=$单件利润×销售量，代入得：
$y=(x+10)(200-6x)$
对应选项为A。
【答案】
A
【知识点】
销售利润计算，根据实际问题列函数表达式
【点评】
本题是销售类函数应用的基础题型，解题关键是准确梳理题干中的数量关系，正确求解单件利润和销售量两个核心量，牢记利润计算公式即可快速作答。
【难度系数】
0.8
1. (2026钦州期末)下列函数中，属于二次函数的是（
A.$y=x^2 - \dfrac{2}{x}$
B.$y=2x -5$
C.$y=x^2 +1$
D.$y=2(x-1)$
C
）A.$y=x^2 - \dfrac{2}{x}$
B.$y=2x -5$
C.$y=x^2 +1$
D.$y=2(x-1)$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先需要牢记二次函数的判定条件：①函数表达式的右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们可以以这三个条件为判断依据，逐一核对每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x^2 - \dfrac{2}{x}$，表达式中含有$\dfrac{2}{x}$，属于分式，不满足“右边是整式”的条件，不属于二次函数；
B选项：$y=2x -5$，自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数要求；
C选项：$y=x^2 +1$，满足右边是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数为1≠0，符合二次函数的定义；
D选项：$y=2(x-1)$展开后为$y=2x-2$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的判定
3. 一次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握二次函数的判定标准，注意区分二次函数、一次函数以及含分式的函数的差异即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为二次函数，首先需要牢记二次函数的判定条件：①函数表达式的右边是整式；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们可以以这三个条件为判断依据，逐一核对每个选项即可得出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$y=x^2 - \dfrac{2}{x}$，表达式中含有$\dfrac{2}{x}$，属于分式，不满足“右边是整式”的条件，不属于二次函数；
B选项：$y=2x -5$，自变量$x$的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数要求；
C选项：$y=x^2 +1$，满足右边是整式，自变量最高次数为2，且二次项系数为1≠0，符合二次函数的定义；
D选项：$y=2(x-1)$展开后为$y=2x-2$，自变量最高次数为1，属于一次函数，不符合要求。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 整式的判定
3. 一次函数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题的核心是准确掌握二次函数的判定标准，注意区分二次函数、一次函数以及含分式的函数的差异即可轻松解答。
【难度系数】
0.9
