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12. 某读书兴趣小组计划去书店购买一批定价为50元/本的书籍，书店表示有两种优惠方案.方案一:若购买数量不超过10本，每本按定价出售；若超过10本，每增加1本，所有书籍的售价比定价降2元，但售价不低于35元/本.方案二:前5本按定价出售，超过5本的部分可以打折.
(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出此时购买书籍的数量.
(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买(1)中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
(1)该兴趣小组按照方案一的优惠方式支付了600元，请你求出此时购买书籍的数量.
(2)如果该兴趣小组用方案二的优惠方式购买(1)中的数量，请问书店折扣至少低于几折才能使得实付金额少于600元？
答案
12. (1) $\because 50×10=500$(元),$500＜600$,
$\therefore$ 读书兴趣小组购买书籍的数量超过 10 本.
设读书兴趣小组购买书籍 $x$ 本,则每本的售价为 $50-2(x-10)=(70-2x)$ 元.
根据题意,得 $(70-2x)x=600$.
解得 $x_1=15,x_2=20$.
当 $x=15$ 时,$70-2x=70-2×15=40$(元),$40＞35$,符合题意；
当 $x=20$ 时,$70-2x=70-2×20=30$(元),$30＜35$,不合题意,舍去.
答:读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买了书籍 15 本.
(2) 设书店给出的优惠方案二中超过 5 本以上的部分打 $y$ 折销售.
根据题意,得 $50×5+(15-5)×50×\dfrac{y}{10}＜600$,
解得 $y＜7$.
答:书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于 600 元.
$\therefore$ 读书兴趣小组购买书籍的数量超过 10 本.
设读书兴趣小组购买书籍 $x$ 本,则每本的售价为 $50-2(x-10)=(70-2x)$ 元.
根据题意,得 $(70-2x)x=600$.
解得 $x_1=15,x_2=20$.
当 $x=15$ 时,$70-2x=70-2×15=40$(元),$40＞35$,符合题意；
当 $x=20$ 时,$70-2x=70-2×20=30$(元),$30＜35$,不合题意,舍去.
答:读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买了书籍 15 本.
(2) 设书店给出的优惠方案二中超过 5 本以上的部分打 $y$ 折销售.
根据题意,得 $50×5+(15-5)×50×\dfrac{y}{10}＜600$,
解得 $y＜7$.
答:书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于 600 元.
解析
【分析】
(1) 首先判断购买数量范围：计算购买10本的总价为50×10=500元，小于实际支付的600元，因此购买数量超过10本。设购买书籍x本，根据方案一的优惠规则，超过10本后每本售价为$50-2(x-10)$元，且售价不得低于35元，再依据“总价=单价×数量”列方程求解，最后检验解是否符合售价下限的要求，舍去不合理解。
(2) 设超过5本的部分打y折，先计算前5本的总价，再计算超出部分的总价（打y折即按原价的$\frac{y}{10}$计算），根据总实付金额少于600元列不等式求解，即可得到折扣的范围。
【解析】
(1) $\because 50×10=500$(元),$500＜600$,
$\therefore$ 读书兴趣小组购买书籍的数量超过 10 本.
设读书兴趣小组购买书籍 $x$ 本,则每本的售价为 $50-2(x-10)=(70-2x)$ 元.
根据题意,得 $(70-2x)x=600$.
解得 $x_1=15,x_2=20$.
当 $x=15$ 时,$70-2x=70-2×15=40$(元),$40＞35$,符合题意；
当 $x=20$ 时,$70-2x=70-2×20=30$(元),$30＜35$,不合题意,舍去.
答:读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买了书籍 15 本.
(2) 设书店给出的优惠方案二中超过 5 本以上的部分打 $y$ 折销售.
根据题意,得 $50×5+(15-5)×50×\dfrac{y}{10}＜600$,
解得 $y＜7$.
答:书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于 600 元.
【答案】
(1) 15本；(2) 七折
【知识点】
一元二次方程应用、一元一次不等式应用、销售打折问题
【点评】
本题结合实际生活中的消费优惠场景，考查方程与不等式的实际应用，解题时需注意题干中的隐含限制条件，比如方案一中售价不低于35元的要求，求出方程的解后要及时检验是否符合条件，同时要准确掌握打折的计算方法，有助于提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 首先判断购买数量范围：计算购买10本的总价为50×10=500元，小于实际支付的600元，因此购买数量超过10本。设购买书籍x本，根据方案一的优惠规则，超过10本后每本售价为$50-2(x-10)$元，且售价不得低于35元，再依据“总价=单价×数量”列方程求解，最后检验解是否符合售价下限的要求，舍去不合理解。
(2) 设超过5本的部分打y折，先计算前5本的总价，再计算超出部分的总价（打y折即按原价的$\frac{y}{10}$计算），根据总实付金额少于600元列不等式求解，即可得到折扣的范围。
【解析】
(1) $\because 50×10=500$(元),$500＜600$,
$\therefore$ 读书兴趣小组购买书籍的数量超过 10 本.
设读书兴趣小组购买书籍 $x$ 本,则每本的售价为 $50-2(x-10)=(70-2x)$ 元.
根据题意,得 $(70-2x)x=600$.
解得 $x_1=15,x_2=20$.
当 $x=15$ 时,$70-2x=70-2×15=40$(元),$40＞35$,符合题意；
当 $x=20$ 时,$70-2x=70-2×20=30$(元),$30＜35$,不合题意,舍去.
答:读书兴趣小组按照方案一的优惠方式购买了书籍 15 本.
(2) 设书店给出的优惠方案二中超过 5 本以上的部分打 $y$ 折销售.
根据题意,得 $50×5+(15-5)×50×\dfrac{y}{10}＜600$,
解得 $y＜7$.
答:书店折扣至少低于七折才能使得实付金额少于 600 元.
【答案】
(1) 15本；(2) 七折
【知识点】
一元二次方程应用、一元一次不等式应用、销售打折问题
【点评】
本题结合实际生活中的消费优惠场景，考查方程与不等式的实际应用，解题时需注意题干中的隐含限制条件，比如方案一中售价不低于35元的要求，求出方程的解后要及时检验是否符合条件，同时要准确掌握打折的计算方法，有助于提升运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
13.(应用意识)(2026安庆模拟)综合与实践.
【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系.
【素材呈现】
素材1:某商场以每件40元的成本价新进一批小家电,准备采用降价销售的方式尽快售出小家电,获取合理的利润；
素材2:在销售过程中发现,这种小家电的售价定为60元/件时,每天可卖出100件,在此基础上,这种小家电的价格每降低2元,该商场每天可多卖出5件；
素材3:假设该小家电的价格定为x元(40≤x≤60).
【问题解决】
(1)用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是
(2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元,求这种小家电每件的价格；
(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元?若能,求出这种小家电每件的价格；若不能,请说明理由.
【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系.
【素材呈现】
素材1:某商场以每件40元的成本价新进一批小家电,准备采用降价销售的方式尽快售出小家电,获取合理的利润；
素材2:在销售过程中发现,这种小家电的售价定为60元/件时,每天可卖出100件,在此基础上,这种小家电的价格每降低2元,该商场每天可多卖出5件；
素材3:假设该小家电的价格定为x元(40≤x≤60).
【问题解决】
(1)用含x的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是
$-\dfrac{5}{2}x+250$
件；(2)已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元,求这种小家电每件的价格；
(3)该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元?若能,求出这种小家电每件的价格；若不能,请说明理由.
答案
13. (1) $(-\dfrac{5}{2}x+250)$
(2) 解:根据题意,得 $(x-40)(-\dfrac{5}{2}x+250)=1\ 250$,
解得 $x_1=50,x_2=90$(不合题意,舍去).
答:该商场销售这种小家电每天的利润是 1 250 元时,这种小家电每件的价格为 50 元.
(3) 解:该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2 500 元.
理由如下:根据题意,得 $(x-40)(-\dfrac{5}{2}x+250)=2\ 500$,
整理,得 $x^2 -140x +5\ 000=0$,
$\because \Delta=(-140)^2 -4×1×5\ 000=-400＜0$,
$\therefore$ 此一元二次方程没有实数根,
$\therefore$ 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2 500 元.
(2) 解:根据题意,得 $(x-40)(-\dfrac{5}{2}x+250)=1\ 250$,
解得 $x_1=50,x_2=90$(不合题意,舍去).
答:该商场销售这种小家电每天的利润是 1 250 元时,这种小家电每件的价格为 50 元.
(3) 解:该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2 500 元.
理由如下:根据题意,得 $(x-40)(-\dfrac{5}{2}x+250)=2\ 500$,
整理,得 $x^2 -140x +5\ 000=0$,
$\because \Delta=(-140)^2 -4×1×5\ 000=-400＜0$,
$\therefore$ 此一元二次方程没有实数根,
$\therefore$ 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到 2 500 元.
解析
【分析】
(1) 先梳理销售量的变化规律：售价60元时销量为100件，售价每降低2元，销量多5件。首先计算售价为x元时，比60元降低了$(60-x)$元，再算出降低的金额里包含多少个2元，对应就多卖多少个5件，最后加上基础销量100件，化简后即可得到销量的代数式。
(2) 依据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列方程：单件利润为$(x-40)$元，销售量用第(1)问得到的代数式代入，令总利润等于1250元得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围$40≤x≤60$，舍去不符合题意的解即可得到结果。
(3) 同样根据总利润公式，令总利润等于2500元列方程，整理为一元二次方程的一般形式后计算根的判别式$\Delta$：若$\Delta≥0$说明方程有实根，即利润能达到；若$\Delta＜0$说明方程无实根，即利润不能达到。
【解析】
(1) 售价为x元时，相比60元降低了$(60-x)$元，多售出的件数为$\frac{60-x}{2}×5$，因此每天的销售量为：
$\displaystyle 100+\frac{5(60-x)}{2}=-\frac{5}{2}x+250$（件）
(2) 根据总利润计算公式列方程：
$\displaystyle (x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1250$
整理得$x^2-140x+4500=0$，解得$x_1=50$，$x_2=90$。
$\because 40≤x≤60$，$\therefore x_2=90$不符合题意，舍去。
(3) 利润不能达到2500元，理由如下：
假设利润能达到2500元，列方程得：
$\displaystyle (x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2500$
整理得$x^2-140x+5000=0$。
计算根的判别式：$\Delta=(-140)^2-4×1×5000=-400＜0$，
$\therefore$ 该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的售价，因此每天的利润不能达到2500元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-\dfrac{5}{2}x+250)}$
(2) 这种小家电每件的价格为50元。
(3) 不能达到，理由见解析。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；根的判别式的应用
【点评】
本题结合商品销售的实际场景考查代数与方程的综合应用，解题时要紧扣利润计算公式列方程，同时注意结合实际问题中自变量的取值范围对解进行取舍，利用根的判别式可快速判断指定利润是否能够达到。
【难度系数】
0.6
(1) 先梳理销售量的变化规律：售价60元时销量为100件，售价每降低2元，销量多5件。首先计算售价为x元时，比60元降低了$(60-x)$元，再算出降低的金额里包含多少个2元，对应就多卖多少个5件，最后加上基础销量100件，化简后即可得到销量的代数式。
(2) 依据“总利润=单件利润×销售量”的等量关系列方程：单件利润为$(x-40)$元，销售量用第(1)问得到的代数式代入，令总利润等于1250元得到一元二次方程，求解后结合x的取值范围$40≤x≤60$，舍去不符合题意的解即可得到结果。
(3) 同样根据总利润公式，令总利润等于2500元列方程，整理为一元二次方程的一般形式后计算根的判别式$\Delta$：若$\Delta≥0$说明方程有实根，即利润能达到；若$\Delta＜0$说明方程无实根，即利润不能达到。
【解析】
(1) 售价为x元时，相比60元降低了$(60-x)$元，多售出的件数为$\frac{60-x}{2}×5$，因此每天的销售量为：
$\displaystyle 100+\frac{5(60-x)}{2}=-\frac{5}{2}x+250$（件）
(2) 根据总利润计算公式列方程：
$\displaystyle (x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=1250$
整理得$x^2-140x+4500=0$，解得$x_1=50$，$x_2=90$。
$\because 40≤x≤60$，$\therefore x_2=90$不符合题意，舍去。
(3) 利润不能达到2500元，理由如下：
假设利润能达到2500元，列方程得：
$\displaystyle (x-40)(-\frac{5}{2}x+250)=2500$
整理得$x^2-140x+5000=0$。
计算根的判别式：$\Delta=(-140)^2-4×1×5000=-400＜0$，
$\therefore$ 该一元二次方程没有实数根，即不存在符合条件的售价，因此每天的利润不能达到2500元。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(-\dfrac{5}{2}x+250)}$
(2) 这种小家电每件的价格为50元。
(3) 不能达到，理由见解析。
【知识点】
列代数式；一元二次方程的实际应用；根的判别式的应用
【点评】
本题结合商品销售的实际场景考查代数与方程的综合应用，解题时要紧扣利润计算公式列方程，同时注意结合实际问题中自变量的取值范围对解进行取舍，利用根的判别式可快速判断指定利润是否能够达到。
【难度系数】
0.6
