1. 弧长公式
在半径为R的圆中，$n°$的圆心角所对的弧长为$l=$。

1. $\frac{nπ R}{180}$

2. 扇形面积公式
在半径为$R$的圆中，圆心角为$n°$的扇形面积是$S_{扇形}=$或$S_{扇形}=$（$l$为扇形的弧长）。

2. $\frac{nπ R^2}{360}$ $\frac{1}{2}lR$

1. 弧长公式及其应用
典例1 如图，
一把展开的扇子的圆心角是$135°$，扇面的外弧$AB$的长是$94.2\ \mathrm{cm}$，扇面宽$AC$的长是$24\ \mathrm{cm}$。
（$π$取$3.14$）
求:(1)$OA$的长度；
(2)扇面$ACDB$的周长。

1. 解 (1)因为展开的扇子的圆心角是$135°$,扇面的外弧$AB$的长是$94.2\ \mathrm{cm}$,所以$\frac{135×3.14× OA}{180}=94.2$,解得$OA=40$,所以$OA$的长度为$40\ \mathrm{cm}$.
(2) 由题知,$OC=OA-AC=40-24=16(\mathrm{cm})$,所以$\overset{\frown}{CD}$的长为$\frac{135×3.14×16}{180}=37.68(\mathrm{cm})$,所以扇面ACDB的周长为$94.2+24+24+37.68=179.88(\mathrm{cm})$.

举一反三 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$∠ B = 15°$，以点$C$为圆心，$CA$长为半径的圆交$AB$于点$D$，连接$CD$。若$AC = 6$，求$\overset{\frown}{AD}$的长（结果保留$π$）。

解 $\because ∠ACB=90°,∠B=15°$,
$\therefore ∠CAD=90°-15°=75°$.
$\because AC=CD,\therefore ∠CAD=∠CDA=75°$,
$\therefore ∠ACD=180°-2×75°=30°$.
$\because AC=6,\therefore \overset{\frown}{AD}$ 的长为 $\frac{30π×6}{180}=π$.

典例2 如图，正方形ABCD的边长为4 cm，点E在BC上，四边形BEFG也是正方形，
且边长为1.6 cm，以点B为圆心，BA长为半径画$\overset{\frown}{AC}$，连接AF，CF，试求图中阴影部分的面积(π取3.14)。
温馨提示 计算扇形面积时，已知圆心角度数要选用公式$S_{扇形}=\frac{nπ R^2}{360}$，已知弧长则选用$S_{扇形}=\frac{1}{2}lR$。
典例解析

解 阴影部分的面积$S = S_{△ CEF} + S_{\mathrm{正方形}BGFE} + S_{\mathrm{扇形}BAC} - S_{△ AGF}$
$=\frac{1}{2} × 1.6 × (4 - 1.6) + 1.6^2 + \frac{90π · 4^2}{360} - \frac{1}{2} × (4 + 1.6) × 1.6$
$=4π$
$=12.56(\mathrm{cm}^2)$.