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1. 已知△ABC∽△A₁B₁C₁，且∠A=120°，∠B=20°，那么∠C₁的度数是（
A.120°
B.60°
C.40°
D.20°
C
）A.120°
B.60°
C.40°
D.20°
答案
1.C
解析
【分析】
解题时需用到两个核心知识点，首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，因此要求∠C₁的度数，只需要先求出△ABC中∠C的度数即可；其次回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，已知△ABC中∠A和∠B的度数，用内角和减去两个已知角的度数就能得到∠C的度数，进而得到∠C₁的度数。
【解析】
第一步，根据三角形内角和定理计算△ABC中∠C的度数：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 120° - 20° = 40°$
第二步，根据相似三角形的性质求$∠ C_1$：
$\because △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，相似三角形对应角相等
$\therefore ∠ C_1 = ∠ C = 40°$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理的简单应用，解题时只要牢记相关性质，找准对应角即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
解题时需用到两个核心知识点，首先回忆相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，因此要求∠C₁的度数，只需要先求出△ABC中∠C的度数即可；其次回忆三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，已知△ABC中∠A和∠B的度数，用内角和减去两个已知角的度数就能得到∠C的度数，进而得到∠C₁的度数。
【解析】
第一步，根据三角形内角和定理计算△ABC中∠C的度数：
$∠ C = 180° - ∠ A - ∠ B = 180° - 120° - 20° = 40°$
第二步，根据相似三角形的性质求$∠ C_1$：
$\because △ ABC ∽ △ A_1B_1C_1$，相似三角形对应角相等
$\therefore ∠ C_1 = ∠ C = 40°$
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查相似三角形对应角相等的性质和三角形内角和定理的简单应用，解题时只要牢记相关性质，找准对应角即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
2. 如图，在$△ ABC$中，点D在边BC上，且$△ ABC ∽ △ DBA$，那么下列结论一定正确的是（
A.$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BC}{AB}$
B.$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{BD}$
C.$\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AD}{CD}$
A
）A.$\dfrac{AB}{BD}=\dfrac{BC}{AB}$
B.$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AD}{BD}$
C.$\dfrac{AC}{AD}=\dfrac{BC}{BD}$
D.$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AD}{CD}$
答案
2.A
解析
【分析】
解决本题的核心是先利用相似三角形的书写规则确定对应顶点：相似符号“∽”前后的字母顺序对应两个三角形的顶点顺序，即△ABC∽△DBA说明A对应D、B对应B、C对应A。再根据相似三角形的性质“对应边成比例”列出比例式，最后将各选项与所列比例式对比即可判断正误。
【解析】
∵△ABC∽△DBA，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得对应边的比例关系：
$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}=\frac{AC}{DA}$
整理可得$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，与选项A一致。
对其余选项验证：
B选项：由上述比例得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}$，与B选项不符，错误；
C选项：由上述比例得$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AB}$，仅当AB=BD时才等于$\frac{BC}{BD}$，不是必然成立，错误；
D选项：比例式中CD无对应关系，明显不成立，错误。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形对应关系判断、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题的易错点是忽略相似的书写顺序对应顶点顺序，错误匹配对应边导致比例式写错，牢记对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是先利用相似三角形的书写规则确定对应顶点：相似符号“∽”前后的字母顺序对应两个三角形的顶点顺序，即△ABC∽△DBA说明A对应D、B对应B、C对应A。再根据相似三角形的性质“对应边成比例”列出比例式，最后将各选项与所列比例式对比即可判断正误。
【解析】
∵△ABC∽△DBA，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得对应边的比例关系：
$\frac{AB}{DB}=\frac{BC}{BA}=\frac{AC}{DA}$
整理可得$\frac{AB}{BD}=\frac{BC}{AB}$，与选项A一致。
对其余选项验证：
B选项：由上述比例得$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{AD}$，与B选项不符，错误；
C选项：由上述比例得$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{AB}$，仅当AB=BD时才等于$\frac{BC}{BD}$，不是必然成立，错误；
D选项：比例式中CD无对应关系，明显不成立，错误。
综上选A。
【答案】
A
【知识点】
相似三角形对应关系判断、相似三角形对应边成比例
【点评】
本题是相似三角形的基础应用类题目，解题的易错点是忽略相似的书写顺序对应顶点顺序，错误匹配对应边导致比例式写错，牢记对应规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知点D,E分别在△ABC的边AC,AB上,△ADE∽△ABC,AD=6,AE=4,EB=8,则△ABC与△ADE的相似比是
2:1
,CD=2
.答案
3. 2:1 2
解析
【分析】
解题首先要明确相似三角形相似比的定义：相似三角形的相似比是两个相似三角形对应边的比值，且比值的前后顺序要和题目要求的两个三角形的顺序一致。第一步先计算AB的总长度，结合已知的AD长度即可求出对应相似比；第二步利用相似三角形对应边成比例的性质求出AC的长度，再用AC减去AD的长度就能得到CD的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知AE=4，EB=8，因此$AB = AE + EB = 4 + 8 = 12$。
2. 求△ABC与△ADE的相似比：
因为$△ ADE ∽ △ ABC$，对应边为AB对应AD，AC对应AE，BC对应DE。
题目要求△ABC与△ADE的相似比，即相似比为△ABC的边长与△ADE对应边长的比值，因此相似比$k = \frac{AB}{AD} = \frac{12}{6} = \frac{2}{1} = 2:1$。
3. 求CD的长度：
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，代入数值：
$\frac{12}{6} = \frac{AC}{4}$，解得$AC = 8$。
又因为点D在AC上，$AD=6$，因此$CD = AC - AD = 8 - 6 = 2$。
【答案】
$2:1$；$2$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 相似比的定义
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形的性质应用，解题的核心是找准对应边，注意相似比的顺序，避免因对应边混淆、顺序搞反出现错误。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确相似三角形相似比的定义：相似三角形的相似比是两个相似三角形对应边的比值，且比值的前后顺序要和题目要求的两个三角形的顺序一致。第一步先计算AB的总长度，结合已知的AD长度即可求出对应相似比；第二步利用相似三角形对应边成比例的性质求出AC的长度，再用AC减去AD的长度就能得到CD的长度。
【解析】
1. 计算AB的长度：
已知AE=4，EB=8，因此$AB = AE + EB = 4 + 8 = 12$。
2. 求△ABC与△ADE的相似比：
因为$△ ADE ∽ △ ABC$，对应边为AB对应AD，AC对应AE，BC对应DE。
题目要求△ABC与△ADE的相似比，即相似比为△ABC的边长与△ADE对应边长的比值，因此相似比$k = \frac{AB}{AD} = \frac{12}{6} = \frac{2}{1} = 2:1$。
3. 求CD的长度：
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE}$，代入数值：
$\frac{12}{6} = \frac{AC}{4}$，解得$AC = 8$。
又因为点D在AC上，$AD=6$，因此$CD = AC - AD = 8 - 6 = 2$。
【答案】
$2:1$；$2$
【知识点】
1. 相似三角形的性质
2. 相似比的定义
3. 线段和差计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查相似三角形的性质应用，解题的核心是找准对应边，注意相似比的顺序，避免因对应边混淆、顺序搞反出现错误。
【难度系数】
0.8
4. 如图，在$△ ABC$中，$DE// BC$，分别交$AB$，$AC$于点$D$，$E$。若$AD=3$，$DB=2$，$BC=6$，则$DE$的长为
$\dfrac{18}{5}$
。答案
4.$\dfrac{18}{5}$
解析
【分析】
看到题干中$DE// BC$，首先回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，因此可先判定$△ ADE ∽ △ ABC$。要求$DE$的长度，已知$BC$的长度，还可通过已知的$AD$、$DB$求出$AB$的总长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入数值即可求出$DE$。
【解析】
1. 证明三角形相似：
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）。
2. 计算$AB$的长度：
$\because AD=3$，$DB=2$，
$\therefore AB=AD+DB=3+2=5$。
3. 利用相似性质列比例式求解：
由相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
将$AD=3$，$AB=5$，$BC=6$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{DE}{6}$，
解得$DE=\frac{3×6}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
$\dfrac{18}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考查“A型”相似模型的应用，掌握“平行得相似”的判定规则和相似三角形对应边成比例的性质，即可快速解题，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
看到题干中$DE// BC$，首先回忆相似三角形的判定定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，因此可先判定$△ ADE ∽ △ ABC$。要求$DE$的长度，已知$BC$的长度，还可通过已知的$AD$、$DB$求出$AB$的总长度，再利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入数值即可求出$DE$。
【解析】
1. 证明三角形相似：
$\because DE// BC$，
$\therefore △ ADE ∽ △ ABC$（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似）。
2. 计算$AB$的长度：
$\because AD=3$，$DB=2$，
$\therefore AB=AD+DB=3+2=5$。
3. 利用相似性质列比例式求解：
由相似三角形对应边成比例可得$\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$，
将$AD=3$，$AB=5$，$BC=6$代入得：
$\frac{3}{5}=\frac{DE}{6}$，
解得$DE=\frac{3×6}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
$\dfrac{18}{5}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，核心考查“A型”相似模型的应用，掌握“平行得相似”的判定规则和相似三角形对应边成比例的性质，即可快速解题，是相似章节的常考基础题型。
【难度系数】
0.8
5.如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF=2BF.连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M.若BC=6，则线段CM的长为
$\dfrac{15}{2}$
.答案
5.$\dfrac{15}{2}$
解析
【分析】
解题思路如下：第一步，根据DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可得到DE的长度以及DE与BC平行的关系；第二步，由DE//MC，可判定△DEF和△BMF相似，结合已知DF=2BF的边长比例关系，利用相似三角形对应边成比例求出BM的长度；第三步，线段CM为BC与BM的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，BC=6，
∴根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC=3$，且$DE// BC$，即$DE// MC$。
∵$DE// MC$，
∴$∠ DEF=∠ M$，$∠ EDF=∠ MBF$，
∴$△ DEF ∽ △ BMF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DE}{BM}=\frac{DF}{BF}$，
又
∵$DF=2BF$，即$\frac{DF}{BF}=2$，
∴$\frac{3}{BM}=2$，解得$BM=\frac{3}{2}$。
∴$CM=BC+BM=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过中位线的平行性质构造相似三角形，再利用相似三角形的边长比例关系求解未知线段，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：第一步，根据DE是△ABC的中位线，利用三角形中位线定理，可得到DE的长度以及DE与BC平行的关系；第二步，由DE//MC，可判定△DEF和△BMF相似，结合已知DF=2BF的边长比例关系，利用相似三角形对应边成比例求出BM的长度；第三步，线段CM为BC与BM的和，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵DE是△ABC的中位线，BC=6，
∴根据三角形中位线定理可得：$DE=\frac{1}{2}BC=3$，且$DE// BC$，即$DE// MC$。
∵$DE// MC$，
∴$∠ DEF=∠ M$，$∠ EDF=∠ MBF$，
∴$△ DEF ∽ △ BMF$（两角分别相等的两个三角形相似）。
∴$\frac{DE}{BM}=\frac{DF}{BF}$，
又
∵$DF=2BF$，即$\frac{DF}{BF}=2$，
∴$\frac{3}{BM}=2$，解得$BM=\frac{3}{2}$。
∴$CM=BC+BM=6+\frac{3}{2}=\frac{15}{2}$。
【答案】
$\dfrac{15}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理、相似三角形的判定、相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是通过中位线的平行性质构造相似三角形，再利用相似三角形的边长比例关系求解未知线段，是相似三角形应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
6.如图，点A，B均在方格纸的格点（网格线的交点）上.在方格纸内另取格点C，D，连接CD，交线段AB于点P.若要使点P把线段AB分成1：2的两条线段，则下列说法正确的是（
A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1,2都对
D.方法1,2都错
C
）A.只有方法1对
B.只有方法2对
C.方法1,2都对
D.方法1,2都错
答案
6.C
解析
【分析】
要判断两种方法是否符合要求，核心是验证CD与AB的交点P分AB的比是否为1:2。我们可以借助相似三角形的性质推导：若构造的线段AC、BD平行，那么△ACP和△BDP相似，相似比等于对应边AC与BD的比，进而AP:PB也等于该相似比，只要相似比为1:2就满足题目要求，接下来分别对两种方法验证即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
验证方法1：
1. 观察格点位置可知，线段AC和BD的倾斜程度相同，即$\boldsymbol{AC// BD}$；
2. 由$AC// BD$，可得$∠ CAP=∠ DBP$，$∠ ACP=∠ BDP$，因此$△ ACP∽△ BDP$（两角分别相等的两个三角形相似）；
3. 计算边长：$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此相似比$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
4. 由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，即P把AB分成1:2的两条线段，方法1符合要求。
验证方法2：
1. 观察格点位置可知，线段AC和BD均为水平线段，即$\boldsymbol{AC// BD}$；
2. 由$AC// BD$，可得$∠ CAP=∠ DBP$，$∠ ACP=∠ BDP$，因此$△ ACP∽△ BDP$（两角分别相等的两个三角形相似）；
3. 计算边长：$AC=2$，$BD=4$，因此相似比$\frac{AC}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
4. 由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，即P把AB分成1:2的两条线段，方法2也符合要求。
综上，方法1、2都对。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题借助方格纸考查线段比例的求解，解题的关键是通过格点特征找到平行关系，进而利用相似三角形的性质得到对应线段的比例，需要具备一定的识图能力和对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要判断两种方法是否符合要求，核心是验证CD与AB的交点P分AB的比是否为1:2。我们可以借助相似三角形的性质推导：若构造的线段AC、BD平行，那么△ACP和△BDP相似，相似比等于对应边AC与BD的比，进而AP:PB也等于该相似比，只要相似比为1:2就满足题目要求，接下来分别对两种方法验证即可。
【解析】
设每个小方格的边长为1。
验证方法1：
1. 观察格点位置可知，线段AC和BD的倾斜程度相同，即$\boldsymbol{AC// BD}$；
2. 由$AC// BD$，可得$∠ CAP=∠ DBP$，$∠ ACP=∠ BDP$，因此$△ ACP∽△ BDP$（两角分别相等的两个三角形相似）；
3. 计算边长：$AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$BD=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，因此相似比$\frac{AC}{BD}=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$；
4. 由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，即P把AB分成1:2的两条线段，方法1符合要求。
验证方法2：
1. 观察格点位置可知，线段AC和BD均为水平线段，即$\boldsymbol{AC// BD}$；
2. 由$AC// BD$，可得$∠ CAP=∠ DBP$，$∠ ACP=∠ BDP$，因此$△ ACP∽△ BDP$（两角分别相等的两个三角形相似）；
3. 计算边长：$AC=2$，$BD=4$，因此相似比$\frac{AC}{BD}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$；
4. 由相似三角形对应边成比例，得$\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BD}=\frac{1}{2}$，即P把AB分成1:2的两条线段，方法2也符合要求。
综上，方法1、2都对。
【答案】
C
【知识点】
平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题借助方格纸考查线段比例的求解，解题的关键是通过格点特征找到平行关系，进而利用相似三角形的性质得到对应线段的比例，需要具备一定的识图能力和对相似性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
7. 如图，在$□ ABCD$中，$∠ ABC$的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G。若$AF=2FD$，则$\frac{BE}{EG}$的值为
$\dfrac{2}{3}$
。答案
7.$\dfrac{2}{3}$
解析
【分析】
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义推导等腰三角形，得到等线段关系；再通过设参数表示各相关线段长度，利用平行线构造相似三角形，最后根据相似三角形对应边成比例计算比值。具体思考路径：①根据AF=2FD设参数简化计算；②结合平行与角平分线推出AB=AF，DG=FD，得到AB和CG的长度；③证明△ABE∽△CGE，代入边长计算比值即可。
【解析】
解：设$FD=k$，
$\because AF=2FD$，$\therefore AF=2k$，$AD=AF+FD=3k$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AB// CD$，$AB=CD$，$BC=AD=3k$，
$\therefore ∠ AFB=∠ FBC$。
$\because BG$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABF=∠ FBC$，
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$，$\therefore AB=AF=2k$，则$CD=AB=2k$。
$\because AB// CG$，
$\therefore ∠ ABF=∠ G$，又$∠ AFB=∠ DFG$，
$\therefore ∠ G=∠ DFG$，$\therefore DG=FD=k$，
$\therefore CG=CD+DG=2k+k=3k$。
$\because AB// CG$，
$\therefore ∠ ABE=∠ G$，$∠ BAE=∠ GCE$，
$\therefore △ ABE∽△ CGE$，
$\therefore \frac{BE}{EG}=\frac{AB}{CG}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型题型，通过设参数可以有效简化线段长度的计算，解题的关键是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.6
解题时首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线的定义推导等腰三角形，得到等线段关系；再通过设参数表示各相关线段长度，利用平行线构造相似三角形，最后根据相似三角形对应边成比例计算比值。具体思考路径：①根据AF=2FD设参数简化计算；②结合平行与角平分线推出AB=AF，DG=FD，得到AB和CG的长度；③证明△ABE∽△CGE，代入边长计算比值即可。
【解析】
解：设$FD=k$，
$\because AF=2FD$，$\therefore AF=2k$，$AD=AF+FD=3k$。
$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，
$\therefore AD// BC$，$AB// CD$，$AB=CD$，$BC=AD=3k$，
$\therefore ∠ AFB=∠ FBC$。
$\because BG$平分$∠ ABC$，$\therefore ∠ ABF=∠ FBC$，
$\therefore ∠ ABF=∠ AFB$，$\therefore AB=AF=2k$，则$CD=AB=2k$。
$\because AB// CG$，
$\therefore ∠ ABF=∠ G$，又$∠ AFB=∠ DFG$，
$\therefore ∠ G=∠ DFG$，$\therefore DG=FD=k$，
$\therefore CG=CD+DG=2k+k=3k$。
$\because AB// CG$，
$\therefore ∠ ABE=∠ G$，$∠ BAE=∠ GCE$，
$\therefore △ ABE∽△ CGE$，
$\therefore \frac{BE}{EG}=\frac{AB}{CG}=\frac{2k}{3k}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\dfrac{2}{3}$
【知识点】
平行四边形的性质；相似三角形的判定与性质；角平分线的性质
【点评】
本题是平行四边形与相似三角形结合的典型题型，通过设参数可以有效简化线段长度的计算，解题的关键是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，避免比例对应错误。
【难度系数】
0.6
8. 如图,已知$AB// GH// CD$,点H在BC上,AC与BD相交于点G.求证:$\frac{1}{GH}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$.
答案
8. 证明:$\because AB// GH,\therefore △ CGH∽ △ CAB,\therefore \dfrac{GH}{AB}=\dfrac{CH}{CB}.$
$\because CD// GH,\therefore △ BGH∽ △ BDC,\therefore \dfrac{GH}{DC}=\dfrac{BH}{BC},$
$\therefore \dfrac{GH}{AB}+\dfrac{GH}{DC}=\dfrac{CH}{CB}+\dfrac{BH}{BC}=1,$两边同时除以$GH$,得$\dfrac{1}{GH}= \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}.$
$\because CD// GH,\therefore △ BGH∽ △ BDC,\therefore \dfrac{GH}{DC}=\dfrac{BH}{BC},$
$\therefore \dfrac{GH}{AB}+\dfrac{GH}{DC}=\dfrac{CH}{CB}+\dfrac{BH}{BC}=1,$两边同时除以$GH$,得$\dfrac{1}{GH}= \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}.$
解析
【分析】
要证明$\frac{1}{GH}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$，直接推导倒数关系较困难，可先将结论变形为$\frac{GH}{AB}+\frac{GH}{CD}=1$再推导。结合已知平行条件，可通过平行线证明三角形相似，得到对应边的比例关系：由$AB// GH$可证$△ CGH ∼ △ CAB$，得到$\frac{GH}{AB}$与底边线段的比例；由$CD// GH$可证$△ BGH ∼ △ BDC$，得到$\frac{GH}{CD}$与底边线段的比例，再利用$CH+BH=BC$的线段和关系，将两个比例相加即可得到$\frac{GH}{AB}+\frac{GH}{CD}=1$，最后两边除以$GH$就能得到待证结论。
【解析】
证明：$\because AB// GH$，
$\therefore △ CGH ∽ △ CAB$，
$\therefore \dfrac{GH}{AB}=\dfrac{CH}{CB}$。
$\because CD// GH$，
$\therefore △ BGH ∽ △ BDC$，
$\therefore \dfrac{GH}{DC}=\dfrac{BH}{BC}$。
将两个等式相加可得：
$\dfrac{GH}{AB}+\dfrac{GH}{DC}=\dfrac{CH}{CB}+\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{CH+BH}{BC}=1$，
等式两边同时除以$GH$（$GH≠0$），得：
$\dfrac{1}{GH}= \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}$。
【答案】
$\dfrac{1}{GH}= \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}$，证明过程见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、分式运算
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的典型题型，解题的核心是将待证的倒数关系转化为比例和为1的形式，再结合平行线得到相似三角形，利用相似性质和线段和差关系推导，该思路在处理线段倒数和问题时较为常用。
【难度系数】
0.7
要证明$\frac{1}{GH}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}$，直接推导倒数关系较困难，可先将结论变形为$\frac{GH}{AB}+\frac{GH}{CD}=1$再推导。结合已知平行条件，可通过平行线证明三角形相似，得到对应边的比例关系：由$AB// GH$可证$△ CGH ∼ △ CAB$，得到$\frac{GH}{AB}$与底边线段的比例；由$CD// GH$可证$△ BGH ∼ △ BDC$，得到$\frac{GH}{CD}$与底边线段的比例，再利用$CH+BH=BC$的线段和关系，将两个比例相加即可得到$\frac{GH}{AB}+\frac{GH}{CD}=1$，最后两边除以$GH$就能得到待证结论。
【解析】
证明：$\because AB// GH$，
$\therefore △ CGH ∽ △ CAB$，
$\therefore \dfrac{GH}{AB}=\dfrac{CH}{CB}$。
$\because CD// GH$，
$\therefore △ BGH ∽ △ BDC$，
$\therefore \dfrac{GH}{DC}=\dfrac{BH}{BC}$。
将两个等式相加可得：
$\dfrac{GH}{AB}+\dfrac{GH}{DC}=\dfrac{CH}{CB}+\dfrac{BH}{BC}=\dfrac{CH+BH}{BC}=1$，
等式两边同时除以$GH$（$GH≠0$），得：
$\dfrac{1}{GH}= \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}$。
【答案】
$\dfrac{1}{GH}= \dfrac{1}{AB}+\dfrac{1}{CD}$，证明过程见解析。
【知识点】
相似三角形的判定、相似三角形的性质、分式运算
【点评】
本题是平行线与相似三角形结合的典型题型，解题的核心是将待证的倒数关系转化为比例和为1的形式，再结合平行线得到相似三角形，利用相似性质和线段和差关系推导，该思路在处理线段倒数和问题时较为常用。
【难度系数】
0.7
