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1. 如图所示的三个三角形,其中相似的是（
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①和②和③
A
）A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.①和②和③
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪两个三角形相似，依据相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。首先我们需要利用三角形内角和为180°，分别求出三个三角形的未知内角度数，再对比各组三角形的内角度数，找到有两组内角对应相等的两个三角形即可。
【解析】
首先计算每个三角形的第三个内角：
1. 三角形①的第三个角：$180° - 71° - 65° = 44°$，因此三角形①的三个内角分别为$65°、71°、44°$；
2. 三角形②的第三个角：$180° - 71° - 44° = 65°$，因此三角形②的三个内角分别为$44°、71°、65°$；
3. 三角形③的第三个角：$180° - 71° - 67° = 42°$，因此三角形③的三个内角分别为$67°、71°、42°$。
对比可知，三角形①和②有两组内角对应相等（$71°=71°$，$65°=65°$），根据相似三角形判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似，因此①和②相似，②和③、①和③均不满足两组内角对应相等，不相似。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的判定方法，解题的关键是先借助三角形内角和定理求出未知角的度数，再结合判定定理判断即可，掌握基础定理就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
要判断哪两个三角形相似，依据相似三角形的判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似。首先我们需要利用三角形内角和为180°，分别求出三个三角形的未知内角度数，再对比各组三角形的内角度数，找到有两组内角对应相等的两个三角形即可。
【解析】
首先计算每个三角形的第三个内角：
1. 三角形①的第三个角：$180° - 71° - 65° = 44°$，因此三角形①的三个内角分别为$65°、71°、44°$；
2. 三角形②的第三个角：$180° - 71° - 44° = 65°$，因此三角形②的三个内角分别为$44°、71°、65°$；
3. 三角形③的第三个角：$180° - 71° - 67° = 42°$，因此三角形③的三个内角分别为$67°、71°、42°$。
对比可知，三角形①和②有两组内角对应相等（$71°=71°$，$65°=65°$），根据相似三角形判定定理1，两角分别相等的两个三角形相似，因此①和②相似，②和③、①和③均不满足两组内角对应相等，不相似。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础题，核心考查相似三角形的判定方法，解题的关键是先借助三角形内角和定理求出未知角的度数，再结合判定定理判断即可，掌握基础定理就能轻松得分。
【难度系数】
0.8
2. 如图，AC，BD相交于点O，下列条件不能判定$△ ABO$和$△ CDO$相似的是 （
A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ C$
C.$∠ A=∠ C$
D.$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$
D
）A.$∠ A=∠ D$
B.$∠ B=∠ C$
C.$∠ A=∠ C$
D.$∠ A+∠ B=∠ C+∠ D$
答案
2.D
解析
【分析】
要判定△ABO与△CDO相似，首先观察图形可得∠AOB和∠COD是对顶角，因此天然满足∠AOB=∠COD这一组对应角相等。根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可判定两三角形相似。我们只需逐一分析各选项给出的条件，判断是否能得到额外的一组对应角相等，即可选出不能判定相似的选项。
【解析】
解：
∵AC、BD相交于点O，
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
A选项：当∠A=∠D时，结合∠AOB=∠COD，满足两角分别相等，可判定△ABO∽△DCO（即△CDO），不符合题意；
B选项：当∠B=∠C时，结合∠AOB=∠COD，满足两角分别相等，可判定△ABO∽△DCO，不符合题意；
C选项：当∠A=∠C时，结合∠AOB=∠COD，满足两角分别相等，可判定△ABO∽△CDO，不符合题意；
D选项：根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B=180°-∠AOB，∠C+∠D=180°-∠COD，又
∵∠AOB=∠COD，因此∠A+∠B=∠C+∠D是恒成立的等式，没有给出新的对应角相等的条件，无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质；三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题的关键是先挖掘出图中隐含的对顶角相等的条件，再结合相似三角形的判定定理逐一验证选项，注意恒成立的等量关系不能作为判定相似的额外依据。
【难度系数】
0.7
要判定△ABO与△CDO相似，首先观察图形可得∠AOB和∠COD是对顶角，因此天然满足∠AOB=∠COD这一组对应角相等。根据两角分别相等的两个三角形相似的判定定理，只需再找到一组对应角相等即可判定两三角形相似。我们只需逐一分析各选项给出的条件，判断是否能得到额外的一组对应角相等，即可选出不能判定相似的选项。
【解析】
解：
∵AC、BD相交于点O，
∴∠AOB=∠COD（对顶角相等）。
A选项：当∠A=∠D时，结合∠AOB=∠COD，满足两角分别相等，可判定△ABO∽△DCO（即△CDO），不符合题意；
B选项：当∠B=∠C时，结合∠AOB=∠COD，满足两角分别相等，可判定△ABO∽△DCO，不符合题意；
C选项：当∠A=∠C时，结合∠AOB=∠COD，满足两角分别相等，可判定△ABO∽△CDO，不符合题意；
D选项：根据三角形内角和为180°，可得∠A+∠B=180°-∠AOB，∠C+∠D=180°-∠COD，又
∵∠AOB=∠COD，因此∠A+∠B=∠C+∠D是恒成立的等式，没有给出新的对应角相等的条件，无法判定两个三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
对顶角的性质；三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题属于相似三角形判定的基础题，解题的关键是先挖掘出图中隐含的对顶角相等的条件，再结合相似三角形的判定定理逐一验证选项，注意恒成立的等量关系不能作为判定相似的额外依据。
【难度系数】
0.7
3. 如图，已知$∠ C=∠ B$，则$△ ACD ∼$
△ABE
，△OBD
$∼ △ OCE$.答案
3.△ABE △OBD
解析
【分析】
本题根据相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似）求解即可：
1. 找与$△ ACD$相似的三角形：$△ ACD$和$△ ABE$有公共角$∠ A$，结合已知$∠ C=∠ B$，可得到两组相等的角，满足相似判定条件；
2. 找与$△ OCE$相似的三角形：$△ OCE$和$△ OBD$有对顶角$∠ COE=∠ BOD$，结合已知$∠ C=∠ B$，可得到两组相等的角，满足相似判定条件。
【解析】
1. 判定$△ ACD$相似的三角形：
在$△ ACD$和$△ ABE$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角相等})\\∠ ACD=∠ ABE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ ABE$。
2. 判定与$△ OCE$相似的三角形：
在$△ OBD$和$△ OCE$中，
$\begin{cases}∠ BOD=∠ COE \quad (\mathrm{对顶角相等})\\∠ OBD=∠ OCE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ OBD ∽ △ OCE$。
【答案】
$△ ABE$；$△ OBD$
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的关键是挖掘图中隐含的相等角（公共角、对顶角），结合已知条件即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
本题根据相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似）求解即可：
1. 找与$△ ACD$相似的三角形：$△ ACD$和$△ ABE$有公共角$∠ A$，结合已知$∠ C=∠ B$，可得到两组相等的角，满足相似判定条件；
2. 找与$△ OCE$相似的三角形：$△ OCE$和$△ OBD$有对顶角$∠ COE=∠ BOD$，结合已知$∠ C=∠ B$，可得到两组相等的角，满足相似判定条件。
【解析】
1. 判定$△ ACD$相似的三角形：
在$△ ACD$和$△ ABE$中，
$\begin{cases}∠ A=∠ A \quad (\mathrm{公共角相等})\\∠ ACD=∠ ABE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ ACD ∽ △ ABE$。
2. 判定与$△ OCE$相似的三角形：
在$△ OBD$和$△ OCE$中，
$\begin{cases}∠ BOD=∠ COE \quad (\mathrm{对顶角相等})\\∠ OBD=∠ OCE \quad (\mathrm{已知})\end{cases}$
根据两角分别相等的两个三角形相似，可得$△ OBD ∽ △ OCE$。
【答案】
$△ ABE$；$△ OBD$
【知识点】
相似三角形的判定、对顶角的性质、公共角的性质
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题，解题的关键是挖掘图中隐含的相等角（公共角、对顶角），结合已知条件即可快速得到结论。
【难度系数】
0.8
4.如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,试添加一个条件:
∠ADE=∠C(答案不唯一)
,使得△ADE∽△ACB.答案
4.∠ADE=∠C(答案不唯一)
解析
【分析】
要使得△ADE∽△ACB，首先观察图形可得∠A是两个三角形的公共角，即已有一组对应角∠DAE=∠CAB相等。结合相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），只需再添加一组对应角相等即可满足相似条件；也可根据其他相似判定规则添加对应边成比例的条件，选取添加对应角相等的条件最为简便，比如添加∠ADE=∠C就符合要求。
【解析】
在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，因此∠DAE=∠CAB。
若添加条件$\boldsymbol{∠ADE=∠C}$，此时两个三角形满足：
$\begin{cases}∠A=∠A \\∠ADE=∠C\end{cases}$
根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，即可得出△ADE∽△ACB。
（注：添加∠AED=∠B、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$等条件也符合要求，答案不唯一）
【答案】
∠ADE=∠C(答案不唯一)
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题是开放型基础题，主要考查对相似三角形判定定理的理解和运用能力，解题的关键是先挖掘出公共角相等这一隐含条件，再结合判定规则添加合理的条件即可，作答时注意对应角、对应边的对应关系不要写错。
【难度系数】
0.8
要使得△ADE∽△ACB，首先观察图形可得∠A是两个三角形的公共角，即已有一组对应角∠DAE=∠CAB相等。结合相似三角形的判定定理1（两角分别相等的两个三角形相似），只需再添加一组对应角相等即可满足相似条件；也可根据其他相似判定规则添加对应边成比例的条件，选取添加对应角相等的条件最为简便，比如添加∠ADE=∠C就符合要求。
【解析】
在△ADE和△ACB中，∠A是公共角，因此∠DAE=∠CAB。
若添加条件$\boldsymbol{∠ADE=∠C}$，此时两个三角形满足：
$\begin{cases}∠A=∠A \\∠ADE=∠C\end{cases}$
根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，即可得出△ADE∽△ACB。
（注：添加∠AED=∠B、$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$等条件也符合要求，答案不唯一）
【答案】
∠ADE=∠C(答案不唯一)
【知识点】
相似三角形的判定、公共角的性质
【点评】
本题是开放型基础题，主要考查对相似三角形判定定理的理解和运用能力，解题的关键是先挖掘出公共角相等这一隐含条件，再结合判定规则添加合理的条件即可，作答时注意对应角、对应边的对应关系不要写错。
【难度系数】
0.8
5.如图,在矩形ABCD中,E是边BC上的一个点.若∠AED=90°,则△ABE∽
△DEA(或△ECD)
.(写出一个即可)答案
5.△DEA(或△ECD)
解析
【分析】
要找到与△ABE相似的三角形，可结合已知条件利用“两角对应相等的两个三角形相似”来推导：首先回忆矩形的性质可得矩形内角为直角、对边平行，再结合∠AED=90°，通过同角的余角相等或者平行线的内错角相等，推导得到两组角对应相等，即可判定相似三角形。
【解析】
解法一：证明△ABE∽△ECD
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AED=90°，
∴∠AEB + ∠DEC = 180° - ∠AED = 90°，
在Rt△ABE中，∠BAE + ∠AEB = 90°，
∴∠BAE = ∠DEC（同角的余角相等），
∴△ABE∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似）。
解法二：证明△ABE∽△DEA
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠AEB = ∠EAD（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AED=90°，
∴∠B = ∠AED，
∴△ABE∽△DEA（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△DEA(或△ECD)
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题是基础的相似三角形判定题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理，结合角的等量关系推导即可，本题有多个符合要求的答案，写出任意一个即可。
【难度系数】
0.7
要找到与△ABE相似的三角形，可结合已知条件利用“两角对应相等的两个三角形相似”来推导：首先回忆矩形的性质可得矩形内角为直角、对边平行，再结合∠AED=90°，通过同角的余角相等或者平行线的内错角相等，推导得到两组角对应相等，即可判定相似三角形。
【解析】
解法一：证明△ABE∽△ECD
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AED=90°，
∴∠AEB + ∠DEC = 180° - ∠AED = 90°，
在Rt△ABE中，∠BAE + ∠AEB = 90°，
∴∠BAE = ∠DEC（同角的余角相等），
∴△ABE∽△ECD（两角分别相等的两个三角形相似）。
解法二：证明△ABE∽△DEA
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠B=90°，
∴∠AEB = ∠EAD（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠AED=90°，
∴∠B = ∠AED，
∴△ABE∽△DEA（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
△DEA(或△ECD)
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定，余角的性质
【点评】
本题是基础的相似三角形判定题，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和相似三角形的判定定理，结合角的等量关系推导即可，本题有多个符合要求的答案，写出任意一个即可。
【难度系数】
0.7
6. 如图，在$△ ABC$中，AD是中线，$BC=8$，$∠ B=∠ DAC$，则线段AC的长为
4√2
。答案
6.4√2
解析
【分析】
首先根据AD是BC中线，可先求出CD的长度；再观察角的关系，已知∠B=∠DAC，且∠C是△CBA和△CAD的公共角，结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可判定两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式即可求解AC的长度。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = 4。
在△CBA和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠C \quad (\mathrm{公共角})\\∠B = ∠DAC \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC}$，即$AC^2 = BC · CD$。
代入BC=8，CD=4得：
$AC^2 = 8 × 4 = 32$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算类题型，解题的核心是通过公共角和已知等角找到相似三角形，结合中线的性质得到相关线段长度，再借助相似的性质建立比例式求解，解题时要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
首先根据AD是BC中线，可先求出CD的长度；再观察角的关系，已知∠B=∠DAC，且∠C是△CBA和△CAD的公共角，结合相似三角形的判定定理（两角分别相等的两个三角形相似），可判定两个三角形相似；最后利用相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式即可求解AC的长度。
【解析】
∵AD是△ABC的中线，BC=8，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = 4。
在△CBA和△CAD中：
$\{\begin{array}{l}∠C = ∠C \quad (\mathrm{公共角})\\∠B = ∠DAC \quad (\mathrm{已知})\end{array} $
∴△CBA∽△CAD（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{AC}{BC} = \frac{CD}{AC}$，即$AC^2 = BC · CD$。
代入BC=8，CD=4得：
$AC^2 = 8 × 4 = 32$，
∵AC为线段长度，取正值，
∴$AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
三角形中线的定义；相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算类题型，解题的核心是通过公共角和已知等角找到相似三角形，结合中线的性质得到相关线段长度，再借助相似的性质建立比例式求解，解题时要注意对应边不要找错。
【难度系数】
0.7
变式训练
一般三角形→等腰三角形
如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN分别交AB,BC于点D,N,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为
一般三角形→等腰三角形
如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN分别交AB,BC于点D,N,CD平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长为
√10
.答案
√10
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到BC的垂直平分线MN，首先利用垂直平分线的性质得到BD=CD，进而推出∠B=∠DCB；②结合CD平分∠ACB的条件，可推出∠B=∠ACD；③观察△ACD和△ABC，发现二者有公共角∠A，结合刚才得到的等角，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵MN是BC的垂直平分线，D在MN上
∴BD=CD=3，
∴∠B=∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠ACD，
∴∠B=∠ACD，
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AB· AD$，
∵AB=AD+BD=2+3=5，AD=2，
∴$AC^2=5×2=10$，
∵AC为三角形边长，长度为正，
∴$AC=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 角平分线的定义
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过角的等量转换找到两组相等的角，进而证明三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，要求熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质以及相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①看到BC的垂直平分线MN，首先利用垂直平分线的性质得到BD=CD，进而推出∠B=∠DCB；②结合CD平分∠ACB的条件，可推出∠B=∠ACD；③观察△ACD和△ABC，发现二者有公共角∠A，结合刚才得到的等角，可利用“两角分别相等的两个三角形相似”证明两个三角形相似；最后根据相似三角形对应边成比例列等式，代入已知线段长度即可求出AC的长。
【解析】
解：
∵MN是BC的垂直平分线，D在MN上
∴BD=CD=3，
∴∠B=∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=∠ACD，
∴∠B=∠ACD，
又
∵∠A=∠A（公共角），
∴△ACD∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AD}{AC}$，即$AC^2=AB· AD$，
∵AB=AD+BD=2+3=5，AD=2，
∴$AC^2=5×2=10$，
∵AC为三角形边长，长度为正，
∴$AC=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
1. 垂直平分线的性质
2. 角平分线的定义
3. 相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，解题的核心是通过角的等量转换找到两组相等的角，进而证明三角形相似，再利用相似的性质求解线段长度，要求熟练掌握线段垂直平分线、角平分线的性质以及相似三角形的判定方法。
【难度系数】
0.7
7.如图,在$△ PAB$中,C,D为AB边上的两个动点,若$PC=CD=PD$,$∠ APB=120°$,则$△ APC$与$△ PBD$相似吗?为什么?
答案
7.△APC∽△PBD.理由略.
解析
【分析】
解题时先从已知边相等的条件入手，由PC=CD=PD可判断△PCD是等边三角形，得到其内角均为60°，进而推出△APC和△PBD的钝角都为120°，与已知∠APB=120°相等；再结合三角形外角性质和三角形内角和定理，推导两个三角形的另一组锐角相等，最后根据两角分别相等的三角形相似判定定理，即可证明两个三角形相似。
【解析】
解：△APC∽△PBD，理由如下：
∵ $PC=CD=PD$，
∴ $△ PCD$是等边三角形，
∴ $∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$，
∴ $∠ ACP=180°-∠ PCD=120°$，$∠ PDB=180°-∠ PDC=120°$，
∴ $∠ ACP=∠ PDB=∠ APB=120°$。
根据三角形外角的性质，在$△ APC$中，$∠ PCD=∠ A+∠ APC=60°$；
根据三角形内角和定理，在$△ APB$中，$∠ A+∠ B=180°-∠ APB=60°$，
∴ $∠ APC=∠ B$。
在$△ APC$和$△ PBD$中：
$\begin{cases}∠ ACP=∠ PDB \\∠ APC=∠ B\end{cases}$
∴ $△ APC ∽ △ PBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ APC ∽ △ PBD$
【知识点】
等边三角形的性质、三角形外角性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用等边三角形的角度特征完成等角推导，再通过角的等量代换得到相似判定所需的两组对应等角，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知边相等的条件入手，由PC=CD=PD可判断△PCD是等边三角形，得到其内角均为60°，进而推出△APC和△PBD的钝角都为120°，与已知∠APB=120°相等；再结合三角形外角性质和三角形内角和定理，推导两个三角形的另一组锐角相等，最后根据两角分别相等的三角形相似判定定理，即可证明两个三角形相似。
【解析】
解：△APC∽△PBD，理由如下：
∵ $PC=CD=PD$，
∴ $△ PCD$是等边三角形，
∴ $∠ PCD=∠ PDC=∠ CPD=60°$，
∴ $∠ ACP=180°-∠ PCD=120°$，$∠ PDB=180°-∠ PDC=120°$，
∴ $∠ ACP=∠ PDB=∠ APB=120°$。
根据三角形外角的性质，在$△ APC$中，$∠ PCD=∠ A+∠ APC=60°$；
根据三角形内角和定理，在$△ APB$中，$∠ A+∠ B=180°-∠ APB=60°$，
∴ $∠ APC=∠ B$。
在$△ APC$和$△ PBD$中：
$\begin{cases}∠ ACP=∠ PDB \\∠ APC=∠ B\end{cases}$
∴ $△ APC ∽ △ PBD$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
$△ APC ∽ △ PBD$
【知识点】
等边三角形的性质、三角形外角性质、相似三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用等边三角形的角度特征完成等角推导，再通过角的等量代换得到相似判定所需的两组对应等角，熟练掌握相关性质和判定定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
8. [教材P101习题22.3第10题改编]如图，E是矩形ABCD的边BC上的一点，AF⊥DE于点F，AB=3，AD=2，CE=1. 求DF的长.
答案
8.$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
解析
【分析】
要求DF的长度，我们可以按以下思路推导：首先利用矩形的性质得到相关边的长度和角的关系，其次证明含DF的三角形与已知边的三角形相似，再用勾股定理求出未知边DE的长度，最后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得到DF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，DC=AB=3，AD//BC，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴△AFD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{AD}{DE}$，
在Rt△DCE中，DC=3，CE=1，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
将AD=2，CE=1，DE=$\sqrt{10}$代入比例式得：
$\frac{DF}{1}=\frac{2}{\sqrt{10}}$，
化简得$DF=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，计算时注意将根式化为最简形式即可。
【难度系数】
0.7
要求DF的长度，我们可以按以下思路推导：首先利用矩形的性质得到相关边的长度和角的关系，其次证明含DF的三角形与已知边的三角形相似，再用勾股定理求出未知边DE的长度，最后根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得到DF的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，DC=AB=3，AD//BC，
∴∠ADF=∠DEC，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴△AFD∽△DCE（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{DF}{CE}=\frac{AD}{DE}$，
在Rt△DCE中，DC=3，CE=1，由勾股定理得：
$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
将AD=2，CE=1，DE=$\sqrt{10}$代入比例式得：
$\frac{DF}{1}=\frac{2}{\sqrt{10}}$，
化简得$DF=\frac{\sqrt{10}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{5}$
【知识点】
矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，计算时注意将根式化为最简形式即可。
【难度系数】
0.7
