7.[2024·六安霍邱期中]如图,在$△ ABC$中,D为AC上一点,且$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$,过点D作$DE// BC$交AB于点E,连接CE,过点D作$DF// CE$交AB于点F.若$AB=15$,求EF的长.

7.$\frac{10}{3}$

【分析】
本题存在两组平行于三角形一边的直线，可利用平行线分线段成比例的推论逐步求解。首先由$DE// BC$，结合$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$的比例关系，先求出线段$AE$的长度；再由$DF// CE$，再次运用平行线分线段成比例的推论，得到$AF$与$AE$的比例，进而通过线段差求出$EF$的长。
【解析】
解：$\because DE// BC$，根据平行线分线段成比例的推论可得：
$\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$
已知$\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，即$AD=2CD$，因此$AC=AD+CD=3CD$，则$\frac{AD}{AC}=\frac{2CD}{3CD}=\frac{2}{3}$。
将$AB=15$代入比例式得：$\frac{AE}{15}=\frac{2}{3}$，解得$AE=10$。
又$\because DF// CE$，同理在$△ AEC$中可得：
$\frac{AF}{AE}=\frac{AD}{AC}=\frac{2}{3}$
$\therefore AF=\frac{2}{3}AE=\frac{2}{3}×10=\frac{20}{3}$
$\therefore EF=AE-AF=10-\frac{20}{3}=\frac{10}{3}$
【答案】
$\frac{10}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例，线段和差计算
【点评】
本题是比例计算的基础题型，核心考查平行线分线段成比例推论的应用，解题时需准确识别平行线截得的对应线段，正确列出比例式即可求解。
【难度系数】
0.7

8. 如图，E是$□ ABCD$的边AD上的一点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F.若$AE:BC=3:5$，则$BE:EF=$（）

A.$3:2$
B.$5:2$
C.$3:4$
D.$3:5$

8.A

【分析】
解题时先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等的关系，结合已知的AE与BC的比例，推导ED和BC的比例；再根据ED平行于BC，判定得到相似三角形，利用相似三角形对应边成比例的性质，结合线段和差关系代入计算，即可求出BE与EF的比值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴$AD=BC$，$AD// BC$，
∵$AE:BC=3:5$，
∴$AE:AD=3:5$，
设$AE=3k$，则$BC=AD=5k$，
∴$ED=AD-AE=5k-3k=2k$，即$ED:BC=2:5$，
∵$ED// BC$，
∴$∠ FED=∠ FBC$，$∠ FDE=∠ C$，
∴$△ FED ∽ △ FBC$，
∴$\frac{EF}{BF}=\frac{ED}{BC}=\frac{2}{5}$，
又
∵$BF=BE+EF$，
∴$\frac{EF}{BE+EF}=\frac{2}{5}$，
交叉相乘得$5EF=2BE+2EF$，整理得$3EF=2BE$，
∴$BE:EF=3:2$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础题型，解题的核心是通过平行四边形的性质得到平行关系，进而构造相似三角形，再结合比例运算求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

9. [教材P84习题22.2第11题改编]如图，BE是$△ ABC$的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D。若$BF=3FE$，则$\frac{BD}{DC}=$。

9.$\frac{3}{2}$

【分析】
本题要求两条线段的比值，已知BE是△ABC的中线可推出E是AC中点，同时给出了BF与FE的比例关系，解题时可通过作平行线构造相似三角形，转化线段比例求解：首先过点E作EG//BC交AD于G，先利用E是AC的中点，结合平行线分线段成比例得到EG与DC的数量关系，再证明△EFG和△BFD相似，结合BF:FE=3:1得到BD与EG的数量关系，最后代入化简即可求出BD与DC的比值。
【解析】
解：过点E作$EG// BC$，交AD于点G。
1. 因为BE是$△ ABC$的中线，所以E是AC的中点，即$\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$。
又因为$EG// BC$，根据平行线分线段成比例定理，可得$\frac{EG}{DC}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{2}$，即$DC=2EG$。
2. 因为$EG// BC$，所以$∠ GEF=∠ DBF$，$∠ EGF=∠ BDF$，可得$△ EFG ∽ △ BFD$。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，即$\frac{BD}{EG}=\frac{BF}{FE}$。
3. 已知$BF=3FE$，即$\frac{BF}{FE}=\frac{3}{1}$，所以$\frac{BD}{EG}=\frac{3}{1}$，即$BD=3EG$。
4. 因此$\frac{BD}{DC}=\frac{3EG}{2EG}=\frac{3}{2}$。
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题属于比例线段的常考题型，解题的核心是合理构造辅助平行线，将所求线段的比例关系通过相似三角形、中位线性质进行转化，能够有效考查学生对比例相关性质的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6

10.如图，$AG:GD=3:1$，$BD:DC=2:3$，则$AE:EC=$。

10.$6:5$

【分析】
本题是三角形内线段比例求解问题，解题核心是通过作辅助线构造平行线，利用平行线分线段成比例或相似三角形的性质，将已知的$AG:GD$、$BD:DC$的比例关系和待求的$AE:EC$建立关联。具体思考路径：首先过点D作DF平行于AC交BE于点F，第一步先通过$△ GDF$与$△ GAE$相似，结合$AG:GD=3:1$求出AE与DF的比例关系；第二步再利用DF平行于AC，在$△ BCE$中结合$BD:DC=2:3$求出DF与EC的比例关系；最后联立两个比例关系消去DF，即可得到$AE:EC$的比值。
【解析】
解：过点D作$DF// AC$，交$BE$于点$F$。
1. 求$AE$与$DF$的比例：
$\because DF// AC$，
$\therefore ∠ GDF=∠ GAE$，$∠ GFD=∠ GEA$，
$\therefore △ GDF ∽ △ GAE$，
$\therefore \frac{AE}{DF}=\frac{AG}{GD}=\frac{3}{1}$，即$AE=3DF$。
2. 求$DF$与$EC$的比例：
$\because DF// AC$，
$\therefore$ 在$△ BCE$中，$\frac{DF}{EC}=\frac{BD}{BC}$，
$\because BD:DC=2:3$，
$\therefore BD:BC=2:(2+3)=2:5$，
$\therefore \frac{DF}{EC}=\frac{2}{5}$，即$EC=\frac{5}{2}DF$。
3. 计算$AE:EC$：
$\frac{AE}{EC}=\frac{3DF}{\frac{5}{2}DF}=\frac{6}{5}$，即$AE:EC=6:5$。
【答案】
$6:5$
【知识点】
平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质
【点评】
本题是比例线段的常考题型，解题的关键是掌握构造平行线的辅助线技巧，将分散的已知比例关系关联到待求线段上，这类题型能很好地考查学生对相似模型的应用能力和比例运算能力。
【难度系数】
0.6

11.如图，AD是△ABC的中线，AF：FG：GC＝1：3：3，BF交AD于点E，求$\frac{AE}{ED}$的值.

11.$\frac{1}{3}$

【分析】
要求$\frac{AE}{ED}$的比值，可通过作平行线构造平行线分线段成比例的基本图形求解。已知D是BC中点（AD是中线），我们过D作DH//BF交AC于H，首先利用D是BC中点推出FH=HC，再结合已知的AF:FG:GC的比例关系求出FH的长度占比，最后根据平行线分线段成比例得到$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FH}$，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：过点D作$DH// BF$，交AC于点H。
1. 因为AD是$△ ABC$的中线，所以D为BC的中点。
又因为$DH// BF$，在$△ BFC$中，由平行线分线段成比例的推论可得：H是FC的中点，即$FH=HC=\frac{1}{2}FC$。
2. 设$AF=k$，由$AF:FG:GC=1:3:3$得$FG=3k$，$GC=3k$，则$FC=FG+GC=3k+3k=6k$，因此$FH=\frac{1}{2}×6k=3k$。
3. 在$△ ADH$中，$EF// DH$（$EF$在$BF$上，$BF// DH$），根据平行线分线段成比例定理可得：
$\frac{AE}{ED}=\frac{AF}{FH}=\frac{k}{3k}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
平行线分线段成比例定理、三角形中线的性质
【点评】
本题是线段比例计算的典型题型，解题的关键是合理构造平行线，将待求的线段比例转化为已知比例关系的线段的比值，需要熟练掌握平行线分线段成比例定理及三角形中线的性质。
【难度系数】
0.6

12. [一题多解题]如图，E为AC的中点，点F在AB上，且AF:AB=2:5，FE与BC的延长线相交于点D，求$\frac{EF}{ED}$的值.

12. 解法 1:如题图,过点 E 作$EG//BC$交 AB 于点 G.
$\because E$ 为 AC 的中点,$EG//BC,\therefore AG=BG.$
设 $AF=2k$,则 $AB=5k,AG=BG=\frac{5}{2}k,FG=AG-AF=\frac{1}{2}k,\therefore FG:BG=1:5.$
又$\because EG//BD,\therefore \frac{EF}{ED}=\frac{FG}{BG}=\frac{1}{5}.$
解法 2:如题图,过点 A 作$AH//BD$交 DF 的延长线于点 H.
$\because E$ 是 AC 的中点,$AH//BD,\therefore EH=ED.$
$\because AF:AB=2:5,\therefore AF:FB=2:3,$
$\therefore HF:FD=AF:FB=2:3.$
设 $HF=2k$,则 $FD=3k$,
$\therefore DH=5k,\therefore ED=EH=\frac{5}{2}k.\therefore EF=\frac{1}{2}k,\therefore \frac{EF}{ED}=\frac{1}{5}.$

【分析】
要求$\frac{EF}{ED}$的值，已知E为AC中点、AF与AB的比例关系，可通过作平行线构造平行线分线段成比例的基本图形（A型或X型），将未知线段的比例转化为已知线段的比例求解。常用辅助线有两种思路：一是过E作BC的平行线交AB于G，利用三角形中位线性质得到G为AB中点，推导FG和BG的比值即可得到所求比例；二是过A作BD的平行线交DF延长线于H，先利用中点和平行线的性质得到EH=ED，再结合AF与FB的比例推导线段关系计算比值。
【解析】
解法1：过点E作$EG// BC$交AB于点G。
∵E为AC的中点，$EG// BC$，
∴EG是$△ ABC$的中位线，$\therefore AG=BG=\frac{1}{2}AB$。
设$AF=2k$，由$AF:AB=2:5$得$AB=5k$，
$\therefore AG=BG=\frac{5}{2}k$，
$\therefore FG=AG-AF=\frac{5}{2}k-2k=\frac{1}{2}k$，
$\therefore FG:BG=\frac{1}{2}k:\frac{5}{2}k=1:5$。
又
∵$EG// BD$，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{EF}{ED}=\frac{FG}{BG}=\frac{1}{5}$。
解法2：过点A作$AH// BD$交DF的延长线于点H。
∵E是AC的中点，$AH// BD$，
∴$∠ H=∠ D$，$∠ HAE=∠ DCE$，又$AE=CE$，
∴$△ AHE≌△ CDE(AAS)$，$\therefore EH=ED$。
∵$AF:AB=2:5$，$\therefore AF:FB=2:3$。
∵$AH// BD$，根据平行线分线段成比例定理，$\frac{HF}{FD}=\frac{AF}{FB}=\frac{2}{3}$。
设$HF=2k$，则$FD=3k$，
$\therefore DH=HF+FD=5k$，
$\therefore ED=EH=\frac{1}{2}DH=\frac{5}{2}k$，
$\therefore EF=EH-HF=\frac{5}{2}k-2k=\frac{1}{2}k$，
$\therefore \frac{EF}{ED}=\frac{\frac{1}{2}k}{\frac{5}{2}k}=\frac{1}{5}$。
【答案】
$\frac{1}{5}$
【知识点】
平行线分线段成比例、三角形中位线、比例运算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的典型应用题，通过构造辅助平行线将未知线段比转化为已知线段比求解，多种解题思路能帮助灵活掌握定理的应用，同时考查了比例线段的运算能力。
【难度系数】
0.6