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8. 某建筑工程队借助一段墙体$CD(CD=18\ \mathrm{m})$,用$76\ \mathrm{m}$长的铁栅栏围成两个相连的长方形仓库,为了方便取物,在两个仓库之间留出了$1\ \mathrm{m}$宽的缺口作通道,在平行于墙的一边留下一个$1\ \mathrm{m}$宽的缺口作小门.现有如下两份图纸(图纸1中点$A$在线段$DC$的延长线上,图纸2中点$A$在线段$DC$上).设$AB=x\ \mathrm{m}$,图纸1、图纸2的仓库总面积分别为$y_1\ \mathrm{m}^2,y_2\ \mathrm{m}^2$.
(1)分别写出$y_1,y_2$与$x$之间的函数表达式.
(2)小红说:“$y_1$的最大值为$384,y_2$的最大值为$507$.”你同意小红的说法吗?请说明理由.
(1)分别写出$y_1,y_2$与$x$之间的函数表达式.
(2)小红说:“$y_1$的最大值为$384,y_2$的最大值为$507$.”你同意小红的说法吗?请说明理由.
答案
(1)$y_1=-\dfrac{3}{2}x^2+48x$.$y_2=-3x^2+78x$.
(2)不同意小红的说法.
理由:$y_1=-\dfrac{3}{2}x^2+48x=-\dfrac{3}{2}(x-16)^2+384$,
$\because -\dfrac{3}{2}＜0,\therefore$当$x=16$时,$y_1$有最大值 384,
当$x=16$时,$AD=\dfrac{96-3x}{2}=24＞18$,符合题意;
$y_2=-3x^2+78x=-3(x-13)^2+507$,
$\because -3＜0,\therefore$当$x=13$时,$y_2$有最大值 507,
当$x=13$时,$AD=78-3x=78-39=39＞18$,不符合题意,
$\therefore y_2$的最大值不能取 507,$\therefore$小红的说法错误.
(2)不同意小红的说法.
理由:$y_1=-\dfrac{3}{2}x^2+48x=-\dfrac{3}{2}(x-16)^2+384$,
$\because -\dfrac{3}{2}＜0,\therefore$当$x=16$时,$y_1$有最大值 384,
当$x=16$时,$AD=\dfrac{96-3x}{2}=24＞18$,符合题意;
$y_2=-3x^2+78x=-3(x-13)^2+507$,
$\because -3＜0,\therefore$当$x=13$时,$y_2$有最大值 507,
当$x=13$时,$AD=78-3x=78-39=39＞18$,不符合题意,
$\therefore y_2$的最大值不能取 507,$\therefore$小红的说法错误.
解析
【分析】
(1) 求$y_1、y_2$的函数表达式，核心是用$x$表示出两个仓库平行于墙体的总长度，再根据“长方形面积=长×宽”写出函数式。首先明确栅栏总长度为76m，另有1m通道和1m小门两个缺口，这两处无需栅栏，计算围合总长度时需额外加上这2m。
(2) 判断小红的说法是否正确，首先将两个二次函数配方为顶点式，先得到理论上的最大值，再验证取得最大值时平行于墙的长度是否符合墙体$CD=18\ \mathrm{m}$的约束条件：若符合则最大值可取，若不符合则需在符合实际的自变量取值范围内求最值，即可判断说法是否正确。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{m}$：
对于图纸1：垂直于墙的边共3条，总长度为$3x\ \mathrm{m}$，平行于墙的总长度为$\dfrac{96-3x}{2}\ \mathrm{m}$，因此总面积：
$y_1 = x · \dfrac{96-3x}{2} = -\dfrac{3}{2}x^2 + 48x$
对于图纸2：垂直于墙的边共3条，总长度为$3x\ \mathrm{m}$，平行于墙的总长度为$76+1+1-3x=78-3x\ \mathrm{m}$，因此总面积：
$y_2 = x(78-3x) = -3x^2 +78x$
(2) 不同意小红的说法，理由如下：
将$y_1$配方得：
$y_1=-\dfrac{3}{2}x^2+48x=-\dfrac{3}{2}(x-16)^2+384$
$\because -\dfrac{3}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=16$时，$y_1$取得最大值384。
此时平行于墙的长度$AD=\dfrac{96-3×16}{2}=24\ \mathrm{m}$，因图纸1中点$A$在$DC$延长线上，$24＞18$符合题意，故$y_1$最大值为384正确。
将$y_2$配方得：
$y_2=-3x^2+78x=-3(x-13)^2+507$
$\because -3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，顶点处$x=13$时$y_2=507$，此时平行于墙的长度$AD=78-3×13=39\ \mathrm{m}$。
因图纸2中点$A$在线段$DC$上，故$AD≤ CD=18\ \mathrm{m}$，$39＞18$不符合实际，因此$y_2$无法取到最大值507。
综上，小红的说法错误。
【答案】
(1)$y_1=-\dfrac{3}{2}x^2+48x$，$y_2=-3x^2+78x$；
(2)不同意小红的说法，理由见解析。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，自变量取值范围
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题时不仅要掌握二次函数求最值的方法，还要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免直接套用顶点公式导致错误。
【难度系数】
0.65
(1) 求$y_1、y_2$的函数表达式，核心是用$x$表示出两个仓库平行于墙体的总长度，再根据“长方形面积=长×宽”写出函数式。首先明确栅栏总长度为76m，另有1m通道和1m小门两个缺口，这两处无需栅栏，计算围合总长度时需额外加上这2m。
(2) 判断小红的说法是否正确，首先将两个二次函数配方为顶点式，先得到理论上的最大值，再验证取得最大值时平行于墙的长度是否符合墙体$CD=18\ \mathrm{m}$的约束条件：若符合则最大值可取，若不符合则需在符合实际的自变量取值范围内求最值，即可判断说法是否正确。
【解析】
(1) 设$AB=x\ \mathrm{m}$：
对于图纸1：垂直于墙的边共3条，总长度为$3x\ \mathrm{m}$，平行于墙的总长度为$\dfrac{96-3x}{2}\ \mathrm{m}$，因此总面积：
$y_1 = x · \dfrac{96-3x}{2} = -\dfrac{3}{2}x^2 + 48x$
对于图纸2：垂直于墙的边共3条，总长度为$3x\ \mathrm{m}$，平行于墙的总长度为$76+1+1-3x=78-3x\ \mathrm{m}$，因此总面积：
$y_2 = x(78-3x) = -3x^2 +78x$
(2) 不同意小红的说法，理由如下：
将$y_1$配方得：
$y_1=-\dfrac{3}{2}x^2+48x=-\dfrac{3}{2}(x-16)^2+384$
$\because -\dfrac{3}{2}＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，当$x=16$时，$y_1$取得最大值384。
此时平行于墙的长度$AD=\dfrac{96-3×16}{2}=24\ \mathrm{m}$，因图纸1中点$A$在$DC$延长线上，$24＞18$符合题意，故$y_1$最大值为384正确。
将$y_2$配方得：
$y_2=-3x^2+78x=-3(x-13)^2+507$
$\because -3＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，顶点处$x=13$时$y_2=507$，此时平行于墙的长度$AD=78-3×13=39\ \mathrm{m}$。
因图纸2中点$A$在线段$DC$上，故$AD≤ CD=18\ \mathrm{m}$，$39＞18$不符合实际，因此$y_2$无法取到最大值507。
综上，小红的说法错误。
【答案】
(1)$y_1=-\dfrac{3}{2}x^2+48x$，$y_2=-3x^2+78x$；
(2)不同意小红的说法，理由见解析。
【知识点】
二次函数的实际应用，二次函数的最值，自变量取值范围
【点评】
本题结合生活场景考查二次函数的应用，解题时不仅要掌握二次函数求最值的方法，还要注意结合实际限制条件确定自变量的取值范围，避免直接套用顶点公式导致错误。
【难度系数】
0.65
9. 已知反比例函数$y=\frac{7}{x}$，下列说法不正确的是（
A.图象经过点(1,7)
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象与坐标轴无交点
D.图象位于第二、四象限
D
）A.图象经过点(1,7)
B.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小
C.图象与坐标轴无交点
D.图象位于第二、四象限
答案
9.D
解析
【分析】
解决本题首先需要明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$的相关性质，先从题干解析式中得到$k=7＞0$，再逐一验证四个选项的说法是否正确，最终选出符合题意的错误选项即可。验证点是否在函数图象上只需将点代入解析式看等式是否成立；判断图象所在象限、增减性、与坐标轴的交点情况可直接结合反比例函数性质分析。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{7}{x}$，可得比例系数$k=7＞0$，逐一分析选项：
选项A：将$x=1$代入解析式，得$y=\frac{7}{1}=7$，因此图象经过点$(1,7)$，该说法正确，不符合题意；
选项B：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞0$（即第一象限内）时，$y$随$x$的增大而减小，该说法正确，不符合题意；
选项C：反比例函数中自变量$x≠0$，函数值$y≠0$，因此图象与x轴、y轴均无交点，该说法正确，不符合题意；
选项D：当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、三象限，而非第二、四象限，该说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，牢记比例系数$k$的正负与图象所在象限、增减性的对应关系是解题的关键，正确率较高。
【难度系数】
0.9
解决本题首先需要明确反比例函数$y=\frac{k}{x}$的相关性质，先从题干解析式中得到$k=7＞0$，再逐一验证四个选项的说法是否正确，最终选出符合题意的错误选项即可。验证点是否在函数图象上只需将点代入解析式看等式是否成立；判断图象所在象限、增减性、与坐标轴的交点情况可直接结合反比例函数性质分析。
【解析】
已知反比例函数解析式为$y=\frac{7}{x}$，可得比例系数$k=7＞0$，逐一分析选项：
选项A：将$x=1$代入解析式，得$y=\frac{7}{1}=7$，因此图象经过点$(1,7)$，该说法正确，不符合题意；
选项B：当$k＞0$时，反比例函数在每个象限内$y$随$x$的增大而减小，因此当$x＞0$（即第一象限内）时，$y$随$x$的增大而减小，该说法正确，不符合题意；
选项C：反比例函数中自变量$x≠0$，函数值$y≠0$，因此图象与x轴、y轴均无交点，该说法正确，不符合题意；
选项D：当$k＞0$时，反比例函数图象位于第一、三象限，而非第二、四象限，该说法错误，符合题意。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
1.反比例函数的图象与性质；2.反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是反比例函数性质的基础应用题，牢记比例系数$k$的正负与图象所在象限、增减性的对应关系是解题的关键，正确率较高。
【难度系数】
0.9
10. 已知反比例函数 $y=\frac{b}{x}$ 的图象如图所示，则一次函数 $y=cx+a$ 和二次函数 $y=ax^2 - bx + c$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（
D
）答案
10.D
解析
【分析】
首先根据已知反比例函数的图象确定参数b的正负，再结合一次函数的斜率、截距，二次函数的开口方向、对称轴、与y轴交点等性质，逐一判断各选项中参数a、c的符号是否一致，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
步骤1：确定b的符号
∵反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第一、三象限，
∴$b＞0$。
步骤2：明确三类函数的参数对应性质
二次函数$y=ax^2-bx+c$的开口方向由$a$决定，对称轴为$x=\frac{b}{2a}$，与y轴交点的纵坐标为$c$；
一次函数$y=cx+a$的斜率为$c$，与y轴交点的纵坐标为$a$。
步骤3：逐一排除错误选项
选项A：二次函数开口向上可得$a＞0$，但一次函数与y轴交于负半轴可得$a＜0$，二者矛盾，排除A；
选项B：二次函数开口向下可得$a＜0$，结合$b＞0$可推出对称轴$x=\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴应在y轴左侧，但图中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除B；
选项C：二次函数开口向下可得$a＜0$，但一次函数与y轴交于正半轴可得$a＞0$，二者矛盾，排除C；
选项D：二次函数开口向上可得$a＞0$，结合$b＞0$可推出对称轴$x=\frac{b}{2a}＞0$，和图中二次函数对称轴在y轴右侧一致；二次函数与y轴交于负半轴可得$c＜0$，对应一次函数斜率为负、直线下降，且一次函数与y轴交于正半轴符合$a＞0$，所有性质均匹配。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象综合判断类的典型题目，解题关键是先从已知函数确定公共参数的符号，再结合不同函数的图象与参数的对应关系，验证其余参数符号是否统一，能有效考查对各类函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
首先根据已知反比例函数的图象确定参数b的正负，再结合一次函数的斜率、截距，二次函数的开口方向、对称轴、与y轴交点等性质，逐一判断各选项中参数a、c的符号是否一致，排除矛盾选项即可得到正确答案。
【解析】
步骤1：确定b的符号
∵反比例函数$y=\frac{b}{x}$的图象在第一、三象限，
∴$b＞0$。
步骤2：明确三类函数的参数对应性质
二次函数$y=ax^2-bx+c$的开口方向由$a$决定，对称轴为$x=\frac{b}{2a}$，与y轴交点的纵坐标为$c$；
一次函数$y=cx+a$的斜率为$c$，与y轴交点的纵坐标为$a$。
步骤3：逐一排除错误选项
选项A：二次函数开口向上可得$a＞0$，但一次函数与y轴交于负半轴可得$a＜0$，二者矛盾，排除A；
选项B：二次函数开口向下可得$a＜0$，结合$b＞0$可推出对称轴$x=\frac{b}{2a}＜0$，即对称轴应在y轴左侧，但图中二次函数对称轴在y轴右侧，矛盾，排除B；
选项C：二次函数开口向下可得$a＜0$，但一次函数与y轴交于正半轴可得$a＞0$，二者矛盾，排除C；
选项D：二次函数开口向上可得$a＞0$，结合$b＞0$可推出对称轴$x=\frac{b}{2a}＞0$，和图中二次函数对称轴在y轴右侧一致；二次函数与y轴交于负半轴可得$c＜0$，对应一次函数斜率为负、直线下降，且一次函数与y轴交于正半轴符合$a＞0$，所有性质均匹配。
【答案】
D
【知识点】
反比例函数的图象与性质；一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象综合判断类的典型题目，解题关键是先从已知函数确定公共参数的符号，再结合不同函数的图象与参数的对应关系，验证其余参数符号是否统一，能有效考查对各类函数性质的掌握程度。
【难度系数】
0.6
11.如图,点$A(m,1),B(2,n)$在双曲线$y=\frac{k}{x}(k≠0)$上,连接$OA$,$OB$,$AB$.若$S_{△ ABO}=8$,则$k$的值是
$-6$
.答案
11.$-6$
解析
【分析】
首先，根据点在反比例函数图像上的特征，将A、B两点的坐标用含k的代数式表示。观察图像可知A在第二象限、B在第四象限，可判断k为负数。由于△ABO是不规则三角形，采用割补法求面积：构造辅助线把△ABO的面积转化为规则图形面积的和差，建立关于k的方程，求解后结合k的符号确定最终值。
【解析】
解：
∵点$A(m,1)$、$B(2,n)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴将$A(m,1)$代入解析式得：$1=\frac{k}{m}$，即$m=k$，
∴A点坐标为$(k,1)$；
将$B(2,n)$代入解析式得：$n=\frac{k}{2}$，
∴B点坐标为$(2,\frac{k}{2})$。
由图像可知A在第二象限，B在第四象限，故$k＜0$。
过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线交于点P，可得P点坐标为$(2,1)$。
则$AP=2 - k$，$BP=1 - \frac{k}{2}$，
$S_{△ APB}=\frac{1}{2} · AP · BP = \frac{1}{2}(2 - k)(1 - \frac{k}{2}) = \frac{k^2}{4} - k + 1$。
设A到y轴垂足为M，B到x轴垂足为N，根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|=-\frac{k}{2}$，$S_{△ BON}=\frac{1}{2}|k|=-\frac{k}{2}$，矩形OMPN的面积为$2 × 1=2$。
∵$S_{△ ABO}=S_{△ APB} - S_{△ AOM} - S_{△ BON} - S_{矩形OMPN}=8$，
代入得：$\frac{k^2}{4} - k + 1 - (-\frac{k}{2}) - (-\frac{k}{2}) - 2 = 8$，
化简得：$\frac{k^2}{4} - 1 = 8$，解得$k^2=36$，即$k=\pm6$。
又
∵$k＜0$，
∴$k=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
反比例函数的性质，割补法求面积，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题考查反比例函数与三角形面积的结合，解题关键是先利用函数解析式统一坐标参数，再通过割补法将不规则三角形面积转化为规则图形的面积和差，求解后要结合函数图像所在象限判断参数的符号，避免增根。
【难度系数】
0.6
首先，根据点在反比例函数图像上的特征，将A、B两点的坐标用含k的代数式表示。观察图像可知A在第二象限、B在第四象限，可判断k为负数。由于△ABO是不规则三角形，采用割补法求面积：构造辅助线把△ABO的面积转化为规则图形面积的和差，建立关于k的方程，求解后结合k的符号确定最终值。
【解析】
解：
∵点$A(m,1)$、$B(2,n)$在双曲线$y=\frac{k}{x}$上，
∴将$A(m,1)$代入解析式得：$1=\frac{k}{m}$，即$m=k$，
∴A点坐标为$(k,1)$；
将$B(2,n)$代入解析式得：$n=\frac{k}{2}$，
∴B点坐标为$(2,\frac{k}{2})$。
由图像可知A在第二象限，B在第四象限，故$k＜0$。
过点A作x轴的平行线，过点B作y轴的平行线，两线交于点P，可得P点坐标为$(2,1)$。
则$AP=2 - k$，$BP=1 - \frac{k}{2}$，
$S_{△ APB}=\frac{1}{2} · AP · BP = \frac{1}{2}(2 - k)(1 - \frac{k}{2}) = \frac{k^2}{4} - k + 1$。
设A到y轴垂足为M，B到x轴垂足为N，根据反比例函数k的几何意义：
$S_{△ AOM}=\frac{1}{2}|k|=-\frac{k}{2}$，$S_{△ BON}=\frac{1}{2}|k|=-\frac{k}{2}$，矩形OMPN的面积为$2 × 1=2$。
∵$S_{△ ABO}=S_{△ APB} - S_{△ AOM} - S_{△ BON} - S_{矩形OMPN}=8$，
代入得：$\frac{k^2}{4} - k + 1 - (-\frac{k}{2}) - (-\frac{k}{2}) - 2 = 8$，
化简得：$\frac{k^2}{4} - 1 = 8$，解得$k^2=36$，即$k=\pm6$。
又
∵$k＜0$，
∴$k=-6$。
【答案】
$-6$
【知识点】
反比例函数的性质，割补法求面积，反比例函数k的几何意义
【点评】
本题考查反比例函数与三角形面积的结合，解题关键是先利用函数解析式统一坐标参数，再通过割补法将不规则三角形面积转化为规则图形的面积和差，求解后要结合函数图像所在象限判断参数的符号，避免增根。
【难度系数】
0.6
12. 如图，正比例函数 $y=-2x$ 与反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象交于点 $P$，且点 $P$ 的纵坐标为 $8$，过点 $P$ 作 $PQ⊥ x$ 轴于点 $Q$。
(1)$k=$
(2)设点 $A$ 在线段 $PQ$ 上，$OA=PA$。
①求 $OA$ 的长；
②若 $B$ 为 $x$ 轴负半轴上一动点，当 $△ OAB$ 与 $△ PAB$ 的面积相等时，请求出所有符合题意的点 $B$ 的坐标。
(1)$k=$
$-32$
。(2)设点 $A$ 在线段 $PQ$ 上，$OA=PA$。
①求 $OA$ 的长；
②若 $B$ 为 $x$ 轴负半轴上一动点，当 $△ OAB$ 与 $△ PAB$ 的面积相等时，请求出所有符合题意的点 $B$ 的坐标。
答案
(1)$-32$
(2)①$OA=5$
②由(2)计算结果知点 A 的坐标为$(-4,3)$,$PA=OA=5$.
设点$B(a,0)$,当点 B 在点 Q 左侧时,
则$\dfrac{1}{2}×3×(-a)=\dfrac{1}{2}×5×(-4-a)$,
解得$a=-10$,此时$B(-10,0)$;
当点 B 在点 Q 右侧时,则$\dfrac{1}{2}×3×(-a)=\dfrac{1}{2}×5×(a+4)$,
解得$a=-\dfrac{5}{2}$,此时$B(-\dfrac{5}{2},0)$.
综上所述,点 B 的坐标为$(-10,0)$或$(-\dfrac{5}{2},0)$.
(2)①$OA=5$
②由(2)计算结果知点 A 的坐标为$(-4,3)$,$PA=OA=5$.
设点$B(a,0)$,当点 B 在点 Q 左侧时,
则$\dfrac{1}{2}×3×(-a)=\dfrac{1}{2}×5×(-4-a)$,
解得$a=-10$,此时$B(-10,0)$;
当点 B 在点 Q 右侧时,则$\dfrac{1}{2}×3×(-a)=\dfrac{1}{2}×5×(a+4)$,
解得$a=-\dfrac{5}{2}$,此时$B(-\dfrac{5}{2},0)$.
综上所述,点 B 的坐标为$(-10,0)$或$(-\dfrac{5}{2},0)$.
解析
【分析】
(1) 要计算反比例函数的$k$值，首先需要求出交点$P$的坐标：已知$P$在正比例函数$y=-2x$上且纵坐标为$8$，代入正比例函数即可求出$P$的横坐标，再将$P$点坐标代入反比例函数解析式就能算出$k$。
(2) ① 求$OA$的长：先根据$PQ⊥ x$轴得$A$点横坐标和$P$点相同，设$A$点坐标，利用$OA=PA$的等量关系，结合勾股定理列方程求解即可。
② 求点$B$坐标：两个三角形面积相等，需要分点$B$在$Q$左侧和点$B$在$Q$右侧两种情况，分别根据三角形面积公式列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)
∵ 点$P$在正比例函数$y=-2x$上，且纵坐标为$8$，
将$y=8$代入$y=-2x$，得$8=-2x$，解得$x=-4$，
∴ 点$P$的坐标为$(-4,8)$，
将$P(-4,8)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$8=\dfrac{k}{-4}$，解得$k=-32$。
(2) ①
∵ $PQ⊥ x$轴，$P(-4,8)$，
∴ $Q$点坐标为$(-4,0)$，点$A$在线段$PQ$上，故$A$的横坐标为$-4$，
设$A(-4,t)$（$0≤ t≤8$），则$PA=8-t$，
由勾股定理得$OA=\sqrt{(-4)^2+t^2}=\sqrt{16+t^2}$，
∵ $OA=PA$，
∴ $\sqrt{16+t^2}=8-t$，
两边平方得$16+t^2=64-16t+t^2$，
整理得$16t=48$，解得$t=3$，
∴ $OA=\sqrt{16+3^2}=5$。
② 由①得点$A$坐标为$(-4,3)$，$PA=OA=5$，设点$B$坐标为$(a,0)$（$a＜0$），
分两种情况讨论：
情况1：点$B$在点$Q$左侧，即$a＜-4$，
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× |OB|× 3=\dfrac{1}{2}× (-a)× 3$，
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× PA× |x_Q - x_B|=\dfrac{1}{2}× 5× (-4-a)$，
令两面积相等：$\dfrac{1}{2}× 3× (-a)=\dfrac{1}{2}× 5× (-4-a)$，
解得$a=-10$，即$B(-10,0)$；
情况2：点$B$在点$Q$右侧（且在$x$轴负半轴），即$-4＜a＜0$，
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× 3× (-a)$，
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× PA× |x_B - x_Q|=\dfrac{1}{2}× 5× (a+4)$，
令两面积相等：$\dfrac{1}{2}× 3× (-a)=\dfrac{1}{2}× 5× (a+4)$，
解得$a=-\dfrac{5}{2}$，即$B(-\dfrac{5}{2},0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-32}$；
(2) ① $\boldsymbol{5}$；② $\boldsymbol{(-10,0)}$或$\boldsymbol{(-\dfrac{5}{2},0)}$
【知识点】
函数交点坐标求解；勾股定理的应用；分类讨论求动点坐标
【点评】
本题属于函数综合基础题，将一次函数、反比例函数的性质与几何计算结合，解题时要注意利用线段相等的等量关系列方程，涉及动点问题时需按位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
(1) 要计算反比例函数的$k$值，首先需要求出交点$P$的坐标：已知$P$在正比例函数$y=-2x$上且纵坐标为$8$，代入正比例函数即可求出$P$的横坐标，再将$P$点坐标代入反比例函数解析式就能算出$k$。
(2) ① 求$OA$的长：先根据$PQ⊥ x$轴得$A$点横坐标和$P$点相同，设$A$点坐标，利用$OA=PA$的等量关系，结合勾股定理列方程求解即可。
② 求点$B$坐标：两个三角形面积相等，需要分点$B$在$Q$左侧和点$B$在$Q$右侧两种情况，分别根据三角形面积公式列方程求解，避免漏解。
【解析】
(1)
∵ 点$P$在正比例函数$y=-2x$上，且纵坐标为$8$，
将$y=8$代入$y=-2x$，得$8=-2x$，解得$x=-4$，
∴ 点$P$的坐标为$(-4,8)$，
将$P(-4,8)$代入反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$，得$8=\dfrac{k}{-4}$，解得$k=-32$。
(2) ①
∵ $PQ⊥ x$轴，$P(-4,8)$，
∴ $Q$点坐标为$(-4,0)$，点$A$在线段$PQ$上，故$A$的横坐标为$-4$，
设$A(-4,t)$（$0≤ t≤8$），则$PA=8-t$，
由勾股定理得$OA=\sqrt{(-4)^2+t^2}=\sqrt{16+t^2}$，
∵ $OA=PA$，
∴ $\sqrt{16+t^2}=8-t$，
两边平方得$16+t^2=64-16t+t^2$，
整理得$16t=48$，解得$t=3$，
∴ $OA=\sqrt{16+3^2}=5$。
② 由①得点$A$坐标为$(-4,3)$，$PA=OA=5$，设点$B$坐标为$(a,0)$（$a＜0$），
分两种情况讨论：
情况1：点$B$在点$Q$左侧，即$a＜-4$，
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× |OB|× 3=\dfrac{1}{2}× (-a)× 3$，
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× PA× |x_Q - x_B|=\dfrac{1}{2}× 5× (-4-a)$，
令两面积相等：$\dfrac{1}{2}× 3× (-a)=\dfrac{1}{2}× 5× (-4-a)$，
解得$a=-10$，即$B(-10,0)$；
情况2：点$B$在点$Q$右侧（且在$x$轴负半轴），即$-4＜a＜0$，
$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× 3× (-a)$，
$S_{△ PAB}=\dfrac{1}{2}× PA× |x_B - x_Q|=\dfrac{1}{2}× 5× (a+4)$，
令两面积相等：$\dfrac{1}{2}× 3× (-a)=\dfrac{1}{2}× 5× (a+4)$，
解得$a=-\dfrac{5}{2}$，即$B(-\dfrac{5}{2},0)$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-32}$；
(2) ① $\boldsymbol{5}$；② $\boldsymbol{(-10,0)}$或$\boldsymbol{(-\dfrac{5}{2},0)}$
【知识点】
函数交点坐标求解；勾股定理的应用；分类讨论求动点坐标
【点评】
本题属于函数综合基础题，将一次函数、反比例函数的性质与几何计算结合，解题时要注意利用线段相等的等量关系列方程，涉及动点问题时需按位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
