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1. 如图，二次函数$y=a(x+1)^2 +k$的图象与x轴交于$A(-3,0)$，B两点，下列说法错误的是（
A.$a＜0$
B.当$x＜0$时，y随x的增大而增大
C.图象的对称轴为直线$x=-1$
D.点B的坐标为$(1,0)$
B
）A.$a＜0$
B.当$x＜0$时，y随x的增大而增大
C.图象的对称轴为直线$x=-1$
D.点B的坐标为$(1,0)$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先根据二次函数的顶点式确定对称轴，结合图像判断开口方向，再利用二次函数的对称性求出点B的坐标，最后根据开口方向和对称轴分析函数的增减性，逐一判断各选项即可。
【解析】
1. 判断选项A：由图像可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，A选项说法正确。
2. 判断选项C：二次函数解析式为$y=a(x+1)^2 +k$，属于顶点式，其对称轴为直线$x=-1$，C选项说法正确。
3. 判断选项D：二次函数图像与x轴的交点A、B关于对称轴对称，已知$A(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，点A到对称轴的距离为$|-3 - (-1)|=2$，因此点B的横坐标为$-1+2=1$，即$B(1,0)$，D选项说法正确。
4. 判断选项B：由于抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜-1$）时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞-1$）时，y随x的增大而减小。因此当$-1＜x＜0$时，y随x的增大而减小，故“当$x＜0$时，y随x的增大而增大”的说法错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，熟练掌握二次函数顶点式与图像的对应关系，灵活运用对称性、增减性分析问题是解题的核心，这类题型是二次函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据二次函数的顶点式确定对称轴，结合图像判断开口方向，再利用二次函数的对称性求出点B的坐标，最后根据开口方向和对称轴分析函数的增减性，逐一判断各选项即可。
【解析】
1. 判断选项A：由图像可知抛物线开口向下，因此二次项系数$a＜0$，A选项说法正确。
2. 判断选项C：二次函数解析式为$y=a(x+1)^2 +k$，属于顶点式，其对称轴为直线$x=-1$，C选项说法正确。
3. 判断选项D：二次函数图像与x轴的交点A、B关于对称轴对称，已知$A(-3,0)$，对称轴为$x=-1$，点A到对称轴的距离为$|-3 - (-1)|=2$，因此点B的横坐标为$-1+2=1$，即$B(1,0)$，D选项说法正确。
4. 判断选项B：由于抛物线开口向下，在对称轴左侧（$x＜-1$）时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧（$x＞-1$）时，y随x的增大而减小。因此当$-1＜x＜0$时，y随x的增大而减小，故“当$x＜0$时，y随x的增大而增大”的说法错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；二次函数增减性
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，熟练掌握二次函数顶点式与图像的对应关系，灵活运用对称性、增减性分析问题是解题的核心，这类题型是二次函数章节的高频考点。
【难度系数】
0.7
2. 如图，这是一次函数$y=kx+b$的图象，则二次函数$y=x^2 - 2kx - b$的图象大致为(
[图]
B
)[图]
答案
2.B
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先从给定的一次函数图象中提取参数信息：先根据一次函数与y轴的交点确定b的值，再结合x=1时的函数值求出k的值，明确k、b的符号和具体取值；第二步根据二次函数的性质，依次分析开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，逐一排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 求一次函数的参数k、b：
由一次函数$y=kx+b$的图象可得：
① 图象与y轴交于$(0,-1)$，因此$b=-1$；
② 当$x=1$时，$y=1$，代入一次函数解析式得$k+b=1$，将$b=-1$代入，解得$k=2$，即$k＞0$。
2. 分析二次函数$y=x^2-2kx-b$的图象特征：
① 开口方向：二次项系数为$1＞0$，图象开口向上，四个选项均符合，无法排除；
② 与y轴交点：令$x=0$，得$y=-b=1$，即二次函数与y轴交于点$(0,1)$。A选项与y轴交于负半轴，D选项与y轴交点纵坐标小于1，因此排除A、D；
③ 对称轴：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A=1$，$B=-2k$），得对称轴为$x=\frac{2k}{2}=k=2$，即对称轴在直线$x=1$的右侧。C选项对称轴在0到1之间，因此排除C。
综上，只有B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象与参数的对应关系，解题核心是先通过已知函数确定参数的取值，再用参数推导待判断函数的图象特征，用排除法快速得到答案。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先从给定的一次函数图象中提取参数信息：先根据一次函数与y轴的交点确定b的值，再结合x=1时的函数值求出k的值，明确k、b的符号和具体取值；第二步根据二次函数的性质，依次分析开口方向、与y轴交点位置、对称轴位置，逐一排除不符合的选项，最终得到正确答案。
【解析】
1. 求一次函数的参数k、b：
由一次函数$y=kx+b$的图象可得：
① 图象与y轴交于$(0,-1)$，因此$b=-1$；
② 当$x=1$时，$y=1$，代入一次函数解析式得$k+b=1$，将$b=-1$代入，解得$k=2$，即$k＞0$。
2. 分析二次函数$y=x^2-2kx-b$的图象特征：
① 开口方向：二次项系数为$1＞0$，图象开口向上，四个选项均符合，无法排除；
② 与y轴交点：令$x=0$，得$y=-b=1$，即二次函数与y轴交于点$(0,1)$。A选项与y轴交于负半轴，D选项与y轴交点纵坐标小于1，因此排除A、D；
③ 对称轴：根据二次函数对称轴公式$x=-\frac{B}{2A}$（其中$A=1$，$B=-2k$），得对称轴为$x=\frac{2k}{2}=k=2$，即对称轴在直线$x=1$的右侧。C选项对称轴在0到1之间，因此排除C。
综上，只有B选项符合所有特征。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的图象与性质；二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象判断的典型题型，需要熟练掌握一次函数、二次函数的图象与参数的对应关系，解题核心是先通过已知函数确定参数的取值，再用参数推导待判断函数的图象特征，用排除法快速得到答案。
【难度系数】
0.7
3. [2024·安庆大观区期中]在平面直角坐标系中，已知抛物线$y=x^2 - 2ax + a^2 + 4a$（$a$为常数）.当$a=1$，且$-1≤ x≤ m$时，$4≤ y≤8$，则$m$的取值范围是
$1≤ m≤3$
.答案
$1≤ m≤3$
解析
【分析】
解题时首先将a=1代入抛物线解析式，将解析式化为顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，明确函数的增减性；再分别求出y=4和y=8对应的x的取值；最后结合给定的x的取值范围-1≤x≤m，以及y的取值范围4≤y≤8，根据函数增减性确定m的取值边界。
【解析】
当a=1时，代入抛物线解析式得：
$y=x^2 - 2x + 1^2 + 4×1 = x^2 - 2x + 5$
将解析式化为顶点式：
$y=(x-1)^2 + 4$
由此可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$，即当$x=1$时，y取得最小值4。
① 求y=8时对应的x值：
令$y=8$，则$(x-1)^2 + 4 = 8$
整理得$(x-1)^2 = 4$
开方得$x-1 = \pm2$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$
② 结合函数增减性分析范围：
抛物线开口向上，当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
已知$-1≤x≤m$时，$4≤y≤8$：
要使y能取到最小值4，需$m≥1$；
要使y的最大值不超过8，需$m≤3$（若$m＞3$，则x＞3时y＞8，不符合要求）。
综上，m的取值范围是$1≤m≤3$。
【答案】
$1≤m≤3$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在给定区间内的值域问题，解题时需结合二次函数的图象与增减性分析，通过求解特殊函数值对应的自变量取值确定区间边界，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
解题时首先将a=1代入抛物线解析式，将解析式化为顶点式确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，明确函数的增减性；再分别求出y=4和y=8对应的x的取值；最后结合给定的x的取值范围-1≤x≤m，以及y的取值范围4≤y≤8，根据函数增减性确定m的取值边界。
【解析】
当a=1时，代入抛物线解析式得：
$y=x^2 - 2x + 1^2 + 4×1 = x^2 - 2x + 5$
将解析式化为顶点式：
$y=(x-1)^2 + 4$
由此可知，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=1$，顶点坐标为$(1,4)$，即当$x=1$时，y取得最小值4。
① 求y=8时对应的x值：
令$y=8$，则$(x-1)^2 + 4 = 8$
整理得$(x-1)^2 = 4$
开方得$x-1 = \pm2$
解得$x_1=-1$，$x_2=3$
② 结合函数增减性分析范围：
抛物线开口向上，当$x＜1$时，y随x的增大而减小；当$x＞1$时，y随x的增大而增大。
已知$-1≤x≤m$时，$4≤y≤8$：
要使y能取到最小值4，需$m≥1$；
要使y的最大值不超过8，需$m≤3$（若$m＞3$，则x＞3时y＞8，不符合要求）。
综上，m的取值范围是$1≤m≤3$。
【答案】
$1≤m≤3$
【知识点】
二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数在给定区间内的值域问题，解题时需结合二次函数的图象与增减性分析，通过求解特殊函数值对应的自变量取值确定区间边界，体现了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
4.已知抛物线$y_1=ax^2+bx+c$的顶点A是直线$y_2=2x$与$y_3=-2x+4$的交点，且经过直线$y_3=-2x+4$与$y$轴的交点B.
(1)求点A的坐标；
(2)求抛物线对应的函数表达式；
(3)直接写出当$y_1＞y_3$时，$x$的取值范围.
(1)求点A的坐标；
(2)求抛物线对应的函数表达式；
(3)直接写出当$y_1＞y_3$时，$x$的取值范围.
答案
(1)点 A 的坐标为(1,2)
(2)$y=2x^2 - 4x + 4$
(3)$x＜0$或$x＞1$
(2)$y=2x^2 - 4x + 4$
(3)$x＜0$或$x＞1$
解析
【分析】
(1) 求两条直线的交点坐标，只需联立两条直线的函数表达式，解二元一次方程组即可得到点A的坐标；
(2) 先求出直线$y_3$与y轴交点B的坐标，已知抛物线的顶点坐标，可设二次函数的顶点式，将点B的坐标代入即可求出二次项系数$a$，进而整理得到抛物线的一般式；
(3) 求$y_1＞y_3$时$x$的取值范围，可先求$y_1=y_3$时$x$的解，再结合抛物线的开口方向，根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集。
【解析】
(1) 联立直线$y_2=2x$与$y_3=-2x+4$的表达式，得方程组：
$\begin{cases}y=2x \\ y=-2x+4\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得$2x=-2x+4$，解得$x=1$，把$x=1$代入$y=2x$，得$y=2$，
∴点A的坐标为$(1,2)$。
(2) 求直线$y_3=-2x+4$与y轴的交点B：当$x=0$时，$y=-2×0+4=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
∵抛物线的顶点为$A(1,2)$，
∴设抛物线的顶点式为$y=a(x-1)^2+2$（$a≠0$），
将$B(0,4)$代入顶点式，得$4=a(0-1)^2+2$，解得$a=2$，
∴抛物线的表达式为$y=2(x-1)^2+2$，展开整理得$y=2x^2-4x+4$。
(3) 当$y_1=y_3$时，$2x^2-4x+4=-2x+4$，
移项化简得$2x^2-2x=0$，即$2x(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$，
∵抛物线$y=2x^2-4x+4$的二次项系数$a=2＞0$，开口向上，
∴当$y_1＞y_3$时，$x$的取值范围是$x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) 点A的坐标为(1,2)
(2) $y=2x² - 4x + 4$
(3) $x＜0$或$x＞1$
【知识点】
一次函数交点求解；二次函数解析式求解；二次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是掌握函数交点的求解方法，灵活运用二次函数顶点式简化计算，结合函数图象解不等式更直观高效，能有效巩固函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求两条直线的交点坐标，只需联立两条直线的函数表达式，解二元一次方程组即可得到点A的坐标；
(2) 先求出直线$y_3$与y轴交点B的坐标，已知抛物线的顶点坐标，可设二次函数的顶点式，将点B的坐标代入即可求出二次项系数$a$，进而整理得到抛物线的一般式；
(3) 求$y_1＞y_3$时$x$的取值范围，可先求$y_1=y_3$时$x$的解，再结合抛物线的开口方向，根据函数图象的上下位置关系确定不等式的解集。
【解析】
(1) 联立直线$y_2=2x$与$y_3=-2x+4$的表达式，得方程组：
$\begin{cases}y=2x \\ y=-2x+4\end{cases}$
将第一个方程代入第二个方程，得$2x=-2x+4$，解得$x=1$，把$x=1$代入$y=2x$，得$y=2$，
∴点A的坐标为$(1,2)$。
(2) 求直线$y_3=-2x+4$与y轴的交点B：当$x=0$时，$y=-2×0+4=4$，
∴点B的坐标为$(0,4)$。
∵抛物线的顶点为$A(1,2)$，
∴设抛物线的顶点式为$y=a(x-1)^2+2$（$a≠0$），
将$B(0,4)$代入顶点式，得$4=a(0-1)^2+2$，解得$a=2$，
∴抛物线的表达式为$y=2(x-1)^2+2$，展开整理得$y=2x^2-4x+4$。
(3) 当$y_1=y_3$时，$2x^2-4x+4=-2x+4$，
移项化简得$2x^2-2x=0$，即$2x(x-1)=0$，解得$x=0$或$x=1$，
∵抛物线$y=2x^2-4x+4$的二次项系数$a=2＞0$，开口向上，
∴当$y_1＞y_3$时，$x$的取值范围是$x＜0$或$x＞1$。
【答案】
(1) 点A的坐标为(1,2)
(2) $y=2x² - 4x + 4$
(3) $x＜0$或$x＞1$
【知识点】
一次函数交点求解；二次函数解析式求解；二次函数与不等式
【点评】
本题是一次函数与二次函数的基础综合题，解题核心是掌握函数交点的求解方法，灵活运用二次函数顶点式简化计算，结合函数图象解不等式更直观高效，能有效巩固函数的基础应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的部分图象如图所示，图象经过点$(-1,0)$，对称轴为直线$x=2$。若方程$a(x+1)(x-5)=-3$的两根为$x_1$和$x_2$，且$x_1＜x_2$，则下列结论正确的是（
A.$x_1＜-1＜5＜x_2$
B.$x_1＜-1＜x_2＜5$
C.$-1＜x_1＜5＜x_2$
D.$-1＜x_1＜x_2＜5$
A
）A.$x_1＜-1＜5＜x_2$
B.$x_1＜-1＜x_2＜5$
C.$-1＜x_1＜5＜x_2$
D.$-1＜x_1＜x_2＜5$
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先利用二次函数的对称性求出它与x轴的另一个交点，再把二次函数写成交点式，将所给方程转化为“二次函数取函数值-3时求对应自变量”的问题，最后结合抛物线开口方向和图像的取值范围判断两根的大小关系即可。
1. 利用对称性求交点：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(-1,0)$、对称轴为$x=2$，可算出另一个交点坐标为$(5,0)$，因此二次函数可写为交点式$y=a(x+1)(x-5)$。
2. 转化方程：方程$a(x+1)(x-5)=-3$的根，就是$y=a(x+1)(x-5)$的函数值为-3时对应的x值，即直线$y=-3$与抛物线交点的横坐标。
3. 结合图像判断：抛物线开口向下，在两个交点之间（$-1＜x＜5$）时函数值$y＞0$，在交点外侧（$x＜-1$或$x＞5$）时函数值$y＜0$，$-3＜0$，因此两个根分别在$-1$左侧和$5$右侧。
【解析】
解：$\because$ 二次函数的对称轴为直线$x=2$，且图象过点$(-1,0)$
$\therefore$ 二次函数与x轴的另一个交点横坐标为 $2×2 - (-1)=5$，即另一个交点为$(5,0)$
$\therefore$ 该二次函数的交点式为 $y=a(x+1)(x-5)$
方程$a(x+1)(x-5)=-3$的根，即为函数$y=a(x+1)(x-5)$中$y=-3$时对应的x值。
由图象可知抛物线开口向下，因此：
当$-1＜x＜5$时，函数图象在x轴上方，$y＞0$；
当$x＜-1$或$x＞5$时，函数图象在x轴下方，$y＜0$。
$\because -3＜0$，$\therefore$ 方程$a(x+1)(x-5)=-3$的两个根分别满足$x＜-1$和$x＞5$
又$\because x_1＜x_2$，$\therefore x_1＜-1＜5＜x_2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数对称性、交点式的应用以及二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是将方程根的问题转化为二次函数对应函数值的自变量取值问题，结合图像判断范围，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
解题时先利用二次函数的对称性求出它与x轴的另一个交点，再把二次函数写成交点式，将所给方程转化为“二次函数取函数值-3时求对应自变量”的问题，最后结合抛物线开口方向和图像的取值范围判断两根的大小关系即可。
1. 利用对称性求交点：二次函数与x轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点为$(-1,0)$、对称轴为$x=2$，可算出另一个交点坐标为$(5,0)$，因此二次函数可写为交点式$y=a(x+1)(x-5)$。
2. 转化方程：方程$a(x+1)(x-5)=-3$的根，就是$y=a(x+1)(x-5)$的函数值为-3时对应的x值，即直线$y=-3$与抛物线交点的横坐标。
3. 结合图像判断：抛物线开口向下，在两个交点之间（$-1＜x＜5$）时函数值$y＞0$，在交点外侧（$x＜-1$或$x＞5$）时函数值$y＜0$，$-3＜0$，因此两个根分别在$-1$左侧和$5$右侧。
【解析】
解：$\because$ 二次函数的对称轴为直线$x=2$，且图象过点$(-1,0)$
$\therefore$ 二次函数与x轴的另一个交点横坐标为 $2×2 - (-1)=5$，即另一个交点为$(5,0)$
$\therefore$ 该二次函数的交点式为 $y=a(x+1)(x-5)$
方程$a(x+1)(x-5)=-3$的根，即为函数$y=a(x+1)(x-5)$中$y=-3$时对应的x值。
由图象可知抛物线开口向下，因此：
当$-1＜x＜5$时，函数图象在x轴上方，$y＞0$；
当$x＜-1$或$x＞5$时，函数图象在x轴下方，$y＜0$。
$\because -3＜0$，$\therefore$ 方程$a(x+1)(x-5)=-3$的两个根分别满足$x＜-1$和$x＞5$
又$\because x_1＜x_2$，$\therefore x_1＜-1＜5＜x_2$
故选A
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程
【点评】
本题考查二次函数对称性、交点式的应用以及二次函数与一元二次方程的联系，解题的核心是将方程根的问题转化为二次函数对应函数值的自变量取值问题，结合图像判断范围，体现了数形结合的解题思想。
【难度系数】
0.6
6.已知二次函数$y=x^2-(m+2)x+2m-1$.
(1)求证:不论$m$取何值,该函数图象与$x$轴总有两个公共点.
(2)若该函数的图象与$y$轴交于点$(0,3)$.
①求图象与$x$轴的交点坐标;
②[易错题]当$0＜x＜5$时,$y$的取值范围是
(1)求证:不论$m$取何值,该函数图象与$x$轴总有两个公共点.
(2)若该函数的图象与$y$轴交于点$(0,3)$.
①求图象与$x$轴的交点坐标;
②[易错题]当$0＜x＜5$时,$y$的取值范围是
$-1≤ y＜8$
.答案
(1)证明略.
(2)①图象与 x 轴的交点坐标为(1,0)和(3,0).
②$-1≤ y＜8$
(2)①图象与 x 轴的交点坐标为(1,0)和(3,0).
②$-1≤ y＜8$
解析
【分析】
(1)要证明二次函数图象与x轴总有两个公共点，可转化为证明对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根，即计算判别式Δ，通过配方证明Δ恒大于0即可。
(2)①已知函数图象与y轴交点坐标，将坐标代入函数解析式可求出m的值，得到完整的函数表达式后，令y=0解一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标。
②求指定区间内y的取值范围，先将函数配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，得到函数的最小值，再分别计算区间两端点对应的y值，结合x的取值范围判断端点值是否可取，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1)证明：令$y=0$，可得一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m-1=0$，
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×(2m-1)$
$=m^2+4m+4-8m+4$
$=m^2-4m+8$
$=(m-2)^2 + 4$，
∵无论m取何值，$(m-2)^2≥0$，
∴$\Delta=(m-2)^2 +4≥4＞0$，
∴方程总有两个不相等的实数根，即不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点。
(2)①将点$(0,3)$代入$y=x^2-(m+2)x+2m-1$，得：
$2m-1=3$，解得$m=2$，
∴函数解析式为$y=x^2-4x+3$，
令$y=0$，即$x^2-4x+3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$。
②将$y=x^2-4x+3$配方得$y=(x-2)^2 -1$，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$，
∴当$x=2$时，y取得最小值$-1$，
分别计算区间端点的y值：
当$x=0$时，$y=3$；当$x=5$时，$y=5^2-4×5+3=8$，
∵$0＜x＜5$，x取不到5，因此$y＜8$，
∴当$0＜x＜5$时，y的取值范围是$-1≤ y＜8$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)①$(1,0)$和$(3,0)$；
②$-1≤ y＜8$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，判别式的应用
【点评】
本题围绕二次函数与坐标轴的交点、取值范围问题展开，需要熟练掌握用判别式判断抛物线与x轴交点个数的方法，求区间内函数取值范围时要结合抛物线的开口方向、对称轴，同时注意区间端点是否可取，避免漏判或错判边界值。
【难度系数】
0.7
(1)要证明二次函数图象与x轴总有两个公共点，可转化为证明对应的一元二次方程总有两个不相等的实数根，即计算判别式Δ，通过配方证明Δ恒大于0即可。
(2)①已知函数图象与y轴交点坐标，将坐标代入函数解析式可求出m的值，得到完整的函数表达式后，令y=0解一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标。
②求指定区间内y的取值范围，先将函数配方为顶点式，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，得到函数的最小值，再分别计算区间两端点对应的y值，结合x的取值范围判断端点值是否可取，最终确定y的取值范围。
【解析】
(1)证明：令$y=0$，可得一元二次方程$x^2-(m+2)x+2m-1=0$，
判别式$\Delta = [-(m+2)]^2 - 4×1×(2m-1)$
$=m^2+4m+4-8m+4$
$=m^2-4m+8$
$=(m-2)^2 + 4$，
∵无论m取何值，$(m-2)^2≥0$，
∴$\Delta=(m-2)^2 +4≥4＞0$，
∴方程总有两个不相等的实数根，即不论m取何值，该函数图象与x轴总有两个公共点。
(2)①将点$(0,3)$代入$y=x^2-(m+2)x+2m-1$，得：
$2m-1=3$，解得$m=2$，
∴函数解析式为$y=x^2-4x+3$，
令$y=0$，即$x^2-4x+3=0$，
因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=3$，
∴图象与x轴的交点坐标为$(1,0)$和$(3,0)$。
②将$y=x^2-4x+3$配方得$y=(x-2)^2 -1$，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线$x=2$，顶点坐标为$(2,-1)$，
∴当$x=2$时，y取得最小值$-1$，
分别计算区间端点的y值：
当$x=0$时，$y=3$；当$x=5$时，$y=5^2-4×5+3=8$，
∵$0＜x＜5$，x取不到5，因此$y＜8$，
∴当$0＜x＜5$时，y的取值范围是$-1≤ y＜8$。
【答案】
(1)证明见解析；
(2)①$(1,0)$和$(3,0)$；
②$-1≤ y＜8$
【知识点】
二次函数与一元二次方程，二次函数的图象与性质，判别式的应用
【点评】
本题围绕二次函数与坐标轴的交点、取值范围问题展开，需要熟练掌握用判别式判断抛物线与x轴交点个数的方法，求区间内函数取值范围时要结合抛物线的开口方向、对称轴，同时注意区间端点是否可取，避免漏判或错判边界值。
【难度系数】
0.7
7.[新课标—情境题][2024·白银中考]如图1为一汽车停车棚,其棚顶的横截面可以看作抛物线的一部分.棚顶的竖直高度$y$(单位:m)与距离停车棚支柱$AO$的水平距离$x$(单位:m)近似满足函数关系$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$,其图象如图2所示,点$B(6,2.68)$在图象上.若一辆厢式货车需在停车棚下避雨,货车截面看作长$CD=4$ m,高$DE=1.8$ m的矩形,则可判定货车
能
(填“能”或“不能”)完全停到车棚内.答案
7.能
解析
【分析】
要判断货车能否完全停入车棚，本质是验证是否存在长度为4m的水平区间，使得该区间内棚顶的竖直高度均不低于货车高度1.8m。抛物线开口向下，我们可通过以下思路求解：先找到抛物线对称轴，将4m长的货车水平区间对称放置在对称轴两侧（此时区间两端的高度为该区间内的最小高度），计算两端点对应的棚顶高度，若高度≥1.8m即可停放；也可先求出y=1.8对应的两个x值，计算两个x值的水平差，若差值≥4m则可停放。
【解析】
先求抛物线的对称轴：
对于二次函数$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$，其中$a=-0.02$，$b=0.3$，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0.3}{2×(-0.02)}=7.5\ \mathrm{m}$。
若将货车水平中线对准对称轴停放，货车左右两端对应的水平距离为：
左端：$7.5-4÷2=5.5\ \mathrm{m}$，右端：$7.5+4÷2=9.5\ \mathrm{m}$。
将$x=5.5$代入函数解析式计算对应高度：
$y=-0.02×5.5^2 + 0.3×5.5 + 1.6$
$=-0.02×30.25 + 1.65 + 1.6$
$=-0.605 + 3.25 = 2.645\ \mathrm{m}$
因为抛物线关于对称轴对称，所以$x=9.5$时对应的高度也为2.645m，2.645m＞1.8m，说明货车停放时棚顶高度足够。
【答案】
能
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中停车棚的实际情境设计问题，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是把货车停放需求转化为二次函数的函数值比较问题，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
要判断货车能否完全停入车棚，本质是验证是否存在长度为4m的水平区间，使得该区间内棚顶的竖直高度均不低于货车高度1.8m。抛物线开口向下，我们可通过以下思路求解：先找到抛物线对称轴，将4m长的货车水平区间对称放置在对称轴两侧（此时区间两端的高度为该区间内的最小高度），计算两端点对应的棚顶高度，若高度≥1.8m即可停放；也可先求出y=1.8对应的两个x值，计算两个x值的水平差，若差值≥4m则可停放。
【解析】
先求抛物线的对称轴：
对于二次函数$y=-0.02x^2+0.3x+1.6$，其中$a=-0.02$，$b=0.3$，
对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0.3}{2×(-0.02)}=7.5\ \mathrm{m}$。
若将货车水平中线对准对称轴停放，货车左右两端对应的水平距离为：
左端：$7.5-4÷2=5.5\ \mathrm{m}$，右端：$7.5+4÷2=9.5\ \mathrm{m}$。
将$x=5.5$代入函数解析式计算对应高度：
$y=-0.02×5.5^2 + 0.3×5.5 + 1.6$
$=-0.02×30.25 + 1.65 + 1.6$
$=-0.605 + 3.25 = 2.645\ \mathrm{m}$
因为抛物线关于对称轴对称，所以$x=9.5$时对应的高度也为2.645m，2.645m＞1.8m，说明货车停放时棚顶高度足够。
【答案】
能
【知识点】
二次函数的实际应用；二次函数的图象与性质；一元二次方程的解法
【点评】
本题结合生活中停车棚的实际情境设计问题，考查学生将实际问题转化为数学问题的能力，解题核心是把货车停放需求转化为二次函数的函数值比较问题，能有效考查学生的知识应用能力。
【难度系数】
0.7
