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1. [2026·安徽第9题]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=kx-1(k≠0)$的图象分别与$x$轴和$y$轴交于点$A$和$B$,与反比例函数$y=\frac{m}{x}(m≠0)$在第一象限内的图象交于点$P$.若$OP=OB$,$\frac{PA}{AB}=\frac{3}{5}$,则$m=$(
A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{12}{25}$
D.$\frac{25}{12}$
C
)A.$\frac{3}{4}$
B.$\frac{4}{3}$
C.$\frac{12}{25}$
D.$\frac{25}{12}$
答案
1.C
解析
【分析】
首先根据一次函数解析式求出与y轴交点B的坐标，得到OB长度，结合OP=OB确定OP的长度；再过点P作x轴的垂线，构造与△AOB相似的三角形，利用线段比例关系求出P点的纵坐标，之后结合勾股定理求出P点的横坐标，最后将P点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值。
【解析】
1. 求点B坐标及OB长度：
对于一次函数$y=kx-1$，令$x=0$，得$y=-1$，因此$B(0,-1)$，$OB=1$。
由$OP=OB$，可得$OP=1$。
2. 构造相似三角形求P点纵坐标：
过点P作$PC⊥ x$轴于点C，$∠ ACP=∠ AOB=90°$，又$∠ OAB=∠ CAP$，故$△ AOB ∽ △ ACP$。
已知$\frac{PA}{AB}=\frac{3}{5}$，则相似比$\frac{AB}{PA}=\frac{OB}{PC}=\frac{5}{3}$，代入$OB=1$，得$\frac{1}{PC}=\frac{5}{3}$，解得$PC=\frac{3}{5}$，即点P的纵坐标为$\frac{3}{5}$。
3. 求P点横坐标：
设$P(x,\frac{3}{5})$（$x＞0$，P在第一象限），由勾股定理得$x^2+(\frac{3}{5})^2=1^2$，解得$x^2=\frac{16}{25}$，$x=\frac{4}{5}$（负根舍去）。
4. 求m的值：
将$P(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=x· y=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合一次函数、反比例函数的性质，考查相似三角形和勾股定理的应用，解题的核心是通过线段比例关系求出交点P的坐标。
【难度系数】
0.6
首先根据一次函数解析式求出与y轴交点B的坐标，得到OB长度，结合OP=OB确定OP的长度；再过点P作x轴的垂线，构造与△AOB相似的三角形，利用线段比例关系求出P点的纵坐标，之后结合勾股定理求出P点的横坐标，最后将P点坐标代入反比例函数解析式即可求出m的值。
【解析】
1. 求点B坐标及OB长度：
对于一次函数$y=kx-1$，令$x=0$，得$y=-1$，因此$B(0,-1)$，$OB=1$。
由$OP=OB$，可得$OP=1$。
2. 构造相似三角形求P点纵坐标：
过点P作$PC⊥ x$轴于点C，$∠ ACP=∠ AOB=90°$，又$∠ OAB=∠ CAP$，故$△ AOB ∽ △ ACP$。
已知$\frac{PA}{AB}=\frac{3}{5}$，则相似比$\frac{AB}{PA}=\frac{OB}{PC}=\frac{5}{3}$，代入$OB=1$，得$\frac{1}{PC}=\frac{5}{3}$，解得$PC=\frac{3}{5}$，即点P的纵坐标为$\frac{3}{5}$。
3. 求P点横坐标：
设$P(x,\frac{3}{5})$（$x＞0$，P在第一象限），由勾股定理得$x^2+(\frac{3}{5})^2=1^2$，解得$x^2=\frac{16}{25}$，$x=\frac{4}{5}$（负根舍去）。
4. 求m的值：
将$P(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$代入$y=\frac{m}{x}$，得$m=x· y=\frac{4}{5}×\frac{3}{5}=\frac{12}{25}$。
【答案】
C
【知识点】
一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质，勾股定理
【点评】
本题结合一次函数、反比例函数的性质，考查相似三角形和勾股定理的应用，解题的核心是通过线段比例关系求出交点P的坐标。
【难度系数】
0.6
2. [2025·安徽第9题]已知二次函数$y=ax^2+bx+c(a≠0)$的图象如图所示，则（
A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
C
）A.$abc＜0$
B.$2a+b＜0$
C.$2b-c＜0$
D.$a-b+c＜0$
答案
2.C
解析
【分析】
解决这类二次函数图象与系数关系的题目，可按以下思路推导：第一步先根据图象特征确定a、b、c的符号：开口方向定a，对称轴位置结合a的符号定b，与y轴交点定c；第二步结合图象上的特殊点（与x轴交点、x=±1等特殊值对应的函数点）、二次方程根与系数的关系，逐项判断选项正误即可。
【解析】
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
② 对称轴在y轴右侧，即对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得$b＜0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$。
2. 结合x轴交点分析：抛物线与x轴的一个交点为$(2,0)$，另一个交点的横坐标$x_1$满足$-1＜x_1＜0$，逐一判断选项：
选项A：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，因此$abc=正×负×负=正＞0$，A错误；
选项B：对称轴为两根的中点，即$x=\frac{x_1+2}{2}$，因$x_1＜0$，故$\frac{x_1+2}{2}＜\frac{0+2}{2}=1$，代入对称轴公式得$-\frac{b}{2a}＜1$，两边乘$2a$（$a＞0$，不等号方向不变）得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，B错误；
选项C：由根与系数的关系，两根之积$x_1·2=\frac{c}{a}$，得$c=2a x_1$，因$-1＜x_1＜0$，故$-2a＜c＜0$；两根之和$x_1+2=-\frac{b}{a}$，得$b=-a(x_1+2)$，因$1＜x_1+2＜2$，故$-2a＜b＜-a$，因此$2b＜-2a$；结合$c＞-2a$，可得$2b＜c$，即$2b - c＜0$，C正确；
选项D：当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$在左侧交点左侧，开口向上的抛物线在交点左侧函数值为正，因此$a-b+c＞0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的常考题型，需要学生将图象的直观特征和代数公式结合推导，熟练掌握开口方向、对称轴、交点坐标与系数的对应关系是解题核心，同时要学会利用特殊点的函数值辅助判断。
【难度系数】
0.6
解决这类二次函数图象与系数关系的题目，可按以下思路推导：第一步先根据图象特征确定a、b、c的符号：开口方向定a，对称轴位置结合a的符号定b，与y轴交点定c；第二步结合图象上的特殊点（与x轴交点、x=±1等特殊值对应的函数点）、二次方程根与系数的关系，逐项判断选项正误即可。
【解析】
1. 确定a、b、c的符号：
① 抛物线开口向上，因此$a＞0$；
② 对称轴在y轴右侧，即对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}＞0$，结合$a＞0$，可得$b＜0$；
③ 抛物线与y轴交于负半轴，因此$c＜0$。
2. 结合x轴交点分析：抛物线与x轴的一个交点为$(2,0)$，另一个交点的横坐标$x_1$满足$-1＜x_1＜0$，逐一判断选项：
选项A：$a＞0$，$b＜0$，$c＜0$，因此$abc=正×负×负=正＞0$，A错误；
选项B：对称轴为两根的中点，即$x=\frac{x_1+2}{2}$，因$x_1＜0$，故$\frac{x_1+2}{2}＜\frac{0+2}{2}=1$，代入对称轴公式得$-\frac{b}{2a}＜1$，两边乘$2a$（$a＞0$，不等号方向不变）得$-b＜2a$，移项得$2a+b＞0$，B错误；
选项C：由根与系数的关系，两根之积$x_1·2=\frac{c}{a}$，得$c=2a x_1$，因$-1＜x_1＜0$，故$-2a＜c＜0$；两根之和$x_1+2=-\frac{b}{a}$，得$b=-a(x_1+2)$，因$1＜x_1+2＜2$，故$-2a＜b＜-a$，因此$2b＜-2a$；结合$c＞-2a$，可得$2b＜c$，即$2b - c＜0$，C正确；
选项D：当$x=-1$时，函数值$y=a·(-1)^2 +b·(-1)+c=a-b+c$，由图象可知$x=-1$在左侧交点左侧，开口向上的抛物线在交点左侧函数值为正，因此$a-b+c＞0$，D错误。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数关系，二次函数的性质，根与系数的关系
【点评】
本题是二次函数的常考题型，需要学生将图象的直观特征和代数公式结合推导，熟练掌握开口方向、对称轴、交点坐标与系数的对应关系是解题核心，同时要学会利用特殊点的函数值辅助判断。
【难度系数】
0.6
3. [2023·安徽第9题]已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$在第一象限内的图象与一次函数$y=-x+b$的图象如图所示，则函数$y=x^2 -bx +k -1$的图象可能为（
A
）答案
3.A
解析
【分析】
解题时先从已知的反比例函数和一次函数图像中提取参数的信息：首先由反比例函数在第一象限且y=1时对应x＞1，可推出k＞1；再根据两个函数在x=1处相交，代入可得b与k的关系为b=k+1，进而得b＞2。接下来分析待判断的二次函数的性质：先看开口方向、对称轴位置、与y轴交点，排除不符合的选项B、C；再代入x=1计算函数值，根据函数值为负的特征排除D，即可得到正确答案。
【解析】
1. 求k的取值范围：
由反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限，且当$y=1$时，对应的横坐标$x＞1$，将$y=1$代入反比例函数得$1=\frac{k}{x}$，即$k=x＞1$。
2. 推导b与k的关系：
观察图象可知$x=1$是两个函数的交点，将$x=1$分别代入两个函数，得$\frac{k}{1}=-1+b$，整理得$b=k+1$，结合$k＞1$可得$b＞2$。
3. 分析二次函数$y=x^2-bx+k-1$的图象特征：
① 二次项系数为$1＞0$，图象开口向上；
② 对称轴为$x=\frac{b}{2}$，由$b＞2$得$\frac{b}{2}＞1$，即对称轴在直线$x=1$右侧；
③ 当$x=0$时，$y=k-1$，由$k＞1$得$k-1＞0$，即图象与$y$轴交于正半轴，因此可排除与y轴交于负半轴的B、与y轴交于原点的C；
④ 当$x=1$时，代入二次函数得$y=1^2 - b×1 +k -1 =k-b$，将$b=k+1$代入得$y=k-(k+1)=-1＜0$，即$x=1$时函数值小于0，说明$x=1$在二次函数与$x$轴的两个交点之间，D选项中$x=1$时函数值为正，不符合，排除D。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象综合判断题，需要结合三类函数的性质，从已知图象中提取参数的取值范围和关系，再推导目标函数的图象特征，考查了数形结合的思想和综合运用函数知识的能力。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知的反比例函数和一次函数图像中提取参数的信息：首先由反比例函数在第一象限且y=1时对应x＞1，可推出k＞1；再根据两个函数在x=1处相交，代入可得b与k的关系为b=k+1，进而得b＞2。接下来分析待判断的二次函数的性质：先看开口方向、对称轴位置、与y轴交点，排除不符合的选项B、C；再代入x=1计算函数值，根据函数值为负的特征排除D，即可得到正确答案。
【解析】
1. 求k的取值范围：
由反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象在第一象限，且当$y=1$时，对应的横坐标$x＞1$，将$y=1$代入反比例函数得$1=\frac{k}{x}$，即$k=x＞1$。
2. 推导b与k的关系：
观察图象可知$x=1$是两个函数的交点，将$x=1$分别代入两个函数，得$\frac{k}{1}=-1+b$，整理得$b=k+1$，结合$k＞1$可得$b＞2$。
3. 分析二次函数$y=x^2-bx+k-1$的图象特征：
① 二次项系数为$1＞0$，图象开口向上；
② 对称轴为$x=\frac{b}{2}$，由$b＞2$得$\frac{b}{2}＞1$，即对称轴在直线$x=1$右侧；
③ 当$x=0$时，$y=k-1$，由$k＞1$得$k-1＞0$，即图象与$y$轴交于正半轴，因此可排除与y轴交于负半轴的B、与y轴交于原点的C；
④ 当$x=1$时，代入二次函数得$y=1^2 - b×1 +k -1 =k-b$，将$b=k+1$代入得$y=k-(k+1)=-1＜0$，即$x=1$时函数值小于0，说明$x=1$在二次函数与$x$轴的两个交点之间，D选项中$x=1$时函数值为正，不符合，排除D。
综上，符合条件的是A选项。
【答案】
A
【知识点】
反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的图象与性质
【点评】
本题是函数图象综合判断题，需要结合三类函数的性质，从已知图象中提取参数的取值范围和关系，再推导目标函数的图象特征，考查了数形结合的思想和综合运用函数知识的能力。
【难度系数】
0.6
4.[2025·安徽第18题]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,一次函数$y=ax+4(a≠0)$与反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0)$的图象交于A,B两点.
已知点A和B的横坐标分别为6和2.
(1)求$a$与$k$的值;
(2)设直线AB与$x$轴、$y$轴的交点分别为C,D,求$△ COD$的面积.
已知点A和B的横坐标分别为6和2.
(1)求$a$与$k$的值;
(2)设直线AB与$x$轴、$y$轴的交点分别为C,D,求$△ COD$的面积.
答案
(1)$a=-\frac{1}{2},k=6$.
(2)由(1)知直线AB对应的一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+4$.
令$y=0$,得$x=8$,所以$OC=8$;令$x=0$,得$y=4$,所以$OD=4$.
故$△ COD$的面积为$\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×8×4=16$.
(2)由(1)知直线AB对应的一次函数的表达式为$y=-\frac{1}{2}x+4$.
令$y=0$,得$x=8$,所以$OC=8$;令$x=0$,得$y=4$,所以$OD=4$.
故$△ COD$的面积为$\frac{1}{2}OC· OD=\frac{1}{2}×8×4=16$.
解析
【分析】
（1）求解$a$和$k$的核心是利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知A、B两点的横坐标，可分别用含$a$的代数式表示两点的纵坐标，再结合反比例函数中$k=xy$（横纵坐标的乘积为定值）的特征列方程，先求出$a$，再代入计算$k$即可。
（2）$△ COD$是直角在原点的直角三角形，求其面积只需要得到直线AB与x轴交点C的横坐标（即OC的长度）、与y轴交点D的纵坐标（即OD的长度），再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）$\because$ 点A、B是一次函数$y=ax+4$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的交点，A、B的横坐标分别为6和2，
$\therefore$ 把$x=6$代入两个解析式，得点A纵坐标：$6a+4=\frac{k}{6}$；
把$x=2$代入两个解析式，得点B纵坐标：$2a+4=\frac{k}{2}$；
联立等式可得：$6×(6a+4)=2×(2a+4)$，
展开计算：$36a+24=4a+8$，
移项合并同类项：$32a=-16$，
解得：$a=-\frac{1}{2}$，
将$a=-\frac{1}{2}$代入$\frac{k}{2}=2×(-\frac{1}{2})+4=3$，得$k=6$。
（2）由（1）得直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$，
令$y=0$，即$-\frac{1}{2}x+4=0$，解得$x=8$，$\therefore$ 点C坐标为$(8,0)$，$OC=8$；
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore$ 点D坐标为$(0,4)$，$OD=4$；
$\because ∠ COD=90°$，
$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{2}· OC· OD=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1)$a=-\frac{1}{2},k=6$；(2)$16$
【知识点】
1.一次函数与反比例函数综合
2.一次函数与坐标轴交点
3.三角形面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题关键是掌握函数交点的坐标特征，熟练运用一次函数的性质求其与坐标轴的交点，计算量小，属于常规得分题。
【难度系数】
0.7
（1）求解$a$和$k$的核心是利用函数交点的性质：交点坐标同时满足两个函数的解析式。已知A、B两点的横坐标，可分别用含$a$的代数式表示两点的纵坐标，再结合反比例函数中$k=xy$（横纵坐标的乘积为定值）的特征列方程，先求出$a$，再代入计算$k$即可。
（2）$△ COD$是直角在原点的直角三角形，求其面积只需要得到直线AB与x轴交点C的横坐标（即OC的长度）、与y轴交点D的纵坐标（即OD的长度），再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
（1）$\because$ 点A、B是一次函数$y=ax+4$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的交点，A、B的横坐标分别为6和2，
$\therefore$ 把$x=6$代入两个解析式，得点A纵坐标：$6a+4=\frac{k}{6}$；
把$x=2$代入两个解析式，得点B纵坐标：$2a+4=\frac{k}{2}$；
联立等式可得：$6×(6a+4)=2×(2a+4)$，
展开计算：$36a+24=4a+8$，
移项合并同类项：$32a=-16$，
解得：$a=-\frac{1}{2}$，
将$a=-\frac{1}{2}$代入$\frac{k}{2}=2×(-\frac{1}{2})+4=3$，得$k=6$。
（2）由（1）得直线AB的解析式为$y=-\frac{1}{2}x+4$，
令$y=0$，即$-\frac{1}{2}x+4=0$，解得$x=8$，$\therefore$ 点C坐标为$(8,0)$，$OC=8$；
令$x=0$，得$y=4$，$\therefore$ 点D坐标为$(0,4)$，$OD=4$；
$\because ∠ COD=90°$，
$\therefore S_{△ COD}=\frac{1}{2}· OC· OD=\frac{1}{2}×8×4=16$。
【答案】
(1)$a=-\frac{1}{2},k=6$；(2)$16$
【知识点】
1.一次函数与反比例函数综合
2.一次函数与坐标轴交点
3.三角形面积计算
【点评】
本题属于函数基础综合题，解题关键是掌握函数交点的坐标特征，熟练运用一次函数的性质求其与坐标轴的交点，计算量小，属于常规得分题。
【难度系数】
0.7
1. [2025·福建中考]在平面直角坐标系中，二次函数$y=ax^2+bx-2$的图象过点$A(1,t)$，$B(2,t)$。
(1)求$\frac{b}{a}$的值。
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$。
①求该二次函数的表达式；
②若$M(x_1,m)$，$N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$。
(1)求$\frac{b}{a}$的值。
(2)已知二次函数$y=ax^2+bx-2$的最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$。
①求该二次函数的表达式；
②若$M(x_1,m)$，$N(x_2,m)$为该二次函数图象上的不同两点，且$m≠0$，求证：$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$。
答案
(1)$\frac{b}{a}=-3$
(2)①$y=-x^2+3x-2$.
②证明:$\because$点$M(x_1,m)(m≠0)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上,$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2=-(x_1-1)(x_1-2)$.
由①知点$M(x_1,m),N(x_2,m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,不妨设$x_1＜x_2$,则$x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即$x_1+x_2=3$,
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2}{-(x_1-1)(x_1-2)}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{1-x_1}{x_1-2}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{1+2-(x_1+x_2)}{x_1-2}=\frac{3-3}{x_1-2}=0$,
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
(2)①$y=-x^2+3x-2$.
②证明:$\because$点$M(x_1,m)(m≠0)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上,$\therefore m=-x_1^2+3x_1-2=-(x_1-1)(x_1-2)$.
由①知点$M(x_1,m),N(x_2,m)$关于直线$x=\frac{3}{2}$对称,不妨设$x_1＜x_2$,则$x_2-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-x_1$,即$x_1+x_2=3$,
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2}{-(x_1-1)(x_1-2)}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{1-x_1}{x_1-2}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{1+2-(x_1+x_2)}{x_1-2}=\frac{3-3}{x_1-2}=0$,
$\therefore \frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$.
解析
【分析】
(1) 点A(1,t)和B(2,t)纵坐标相同，是二次函数图象上的对称点，先求两点横坐标的中点即抛物线对称轴，再结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，即可推导$\frac{b}{a}$的值。
(2) ① 由(1)得到b与a的等量关系，代入函数解析式，结合函数有最大值可知开口向下（a＜0），用顶点纵坐标公式表示最大值，和已知最大值列方程求解a，即可得到函数表达式。
② M、N纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，可推得$x_1+x_2=3$；再将点M代入解析式，用含$x_1$的式子表示m，代入待证等式两边做差，化简后差为0即可证明等式成立。
【解析】
(1) 解：
∵二次函数图象过A(1,t)、B(2,t)，两点纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，
化简得$\frac{b}{a}=-3$。
(2) ① 解：由(1)知$b=-3a$，代入解析式得$y=ax^2-3ax-2$，
∵函数有最大值，
∴$a＜0$，
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$c=-2$、$b=-3a$得：
$\frac{4a×(-2)-(-3a)^2}{4a}=-2-\frac{9}{4}a$，
结合已知最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$，列方程：
$-2-\frac{9}{4}a=1-\frac{3}{4}a^2$，
整理得$a^2-3a-4=0$，解得$a=4$或$a=-1$，
∵$a＜0$，
∴$a=-1$，$b=-3a=3$，
∴二次函数表达式为$y=-x^2+3x-2$。
② 证明：
∵点$M(x_1,m)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上，
∴$m=-x_1^2+3x_1-2=-(x_1-1)(x_1-2)$，
∵$M(x_1,m)$、$N(x_2,m)$纵坐标相同，
∴两点关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称，
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$，即$x_1+x_2=3$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2}{-(x_1-1)(x_1-2)}-\frac{x_2-2}{x_1-2}$
$=\frac{1-x_1}{x_1-2}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{3-(x_1+x_2)}{x_1-2}$，
将$x_1+x_2=3$代入得$\frac{3-3}{x_1-2}=0$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a}=-3$
(2) ① $y=-x^2+3x-2$；② 证明见上述解析
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；代数式化简
【点评】
本题围绕二次函数核心性质设计，前两问侧重基础应用，难度较低；证明部分需要结合对称性转化坐标关系，再通过代数运算推导结论，能较好地考察逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 点A(1,t)和B(2,t)纵坐标相同，是二次函数图象上的对称点，先求两点横坐标的中点即抛物线对称轴，再结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，即可推导$\frac{b}{a}$的值。
(2) ① 由(1)得到b与a的等量关系，代入函数解析式，结合函数有最大值可知开口向下（a＜0），用顶点纵坐标公式表示最大值，和已知最大值列方程求解a，即可得到函数表达式。
② M、N纵坐标相同，说明两点关于抛物线对称轴对称，可推得$x_1+x_2=3$；再将点M代入解析式，用含$x_1$的式子表示m，代入待证等式两边做差，化简后差为0即可证明等式成立。
【解析】
(1) 解：
∵二次函数图象过A(1,t)、B(2,t)，两点纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线$x=\frac{1+2}{2}=\frac{3}{2}$，
由二次函数对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，
化简得$\frac{b}{a}=-3$。
(2) ① 解：由(1)知$b=-3a$，代入解析式得$y=ax^2-3ax-2$，
∵函数有最大值，
∴$a＜0$，
顶点纵坐标为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，代入$c=-2$、$b=-3a$得：
$\frac{4a×(-2)-(-3a)^2}{4a}=-2-\frac{9}{4}a$，
结合已知最大值为$1-\frac{3}{4}a^2$，列方程：
$-2-\frac{9}{4}a=1-\frac{3}{4}a^2$，
整理得$a^2-3a-4=0$，解得$a=4$或$a=-1$，
∵$a＜0$，
∴$a=-1$，$b=-3a=3$，
∴二次函数表达式为$y=-x^2+3x-2$。
② 证明：
∵点$M(x_1,m)$在函数$y=-x^2+3x-2$的图象上，
∴$m=-x_1^2+3x_1-2=-(x_1-1)(x_1-2)$，
∵$M(x_1,m)$、$N(x_2,m)$纵坐标相同，
∴两点关于对称轴$x=\frac{3}{2}$对称，
∴$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{3}{2}$，即$x_1+x_2=3$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{(x_1-1)^2}{-(x_1-1)(x_1-2)}-\frac{x_2-2}{x_1-2}$
$=\frac{1-x_1}{x_1-2}-\frac{x_2-2}{x_1-2}=\frac{3-(x_1+x_2)}{x_1-2}$，
将$x_1+x_2=3$代入得$\frac{3-3}{x_1-2}=0$，
∴$\frac{(x_1-1)^2}{m}=\frac{x_2-2}{x_1-2}$。
【答案】
(1) $\frac{b}{a}=-3$
(2) ① $y=-x^2+3x-2$；② 证明见上述解析
【知识点】
二次函数的图象与性质；二次函数的对称性；代数式化简
【点评】
本题围绕二次函数核心性质设计，前两问侧重基础应用，难度较低；证明部分需要结合对称性转化坐标关系，再通过代数运算推导结论，能较好地考察逻辑推理和运算能力。
【难度系数】
0.6
