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6.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉在一定温度范围内，蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：
若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为112次，则该地当时的气温约为
若这种蟋蟀每分钟鸣叫次数为112次，则该地当时的气温约为
19
℃.答案
6.19
解析
【分析】
本题中蟋蟀鸣叫次数随气温“均匀”变化，说明两个变量满足一次函数关系。解题思路如下：第一步，设气温为自变量x，蟋蟀每分钟鸣叫次数为因变量y，设出一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；第二步，从表格中选取两组对应的x、y数值，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，求解得到k和b的值，确定函数解析式；第三步，将y=112代入已求出的函数解析式，解一元一次方程得到x的值，即为所求的气温。
【解析】
设该地当时的气温为x℃，这种蟋蟀每分钟鸣叫的次数为y次。
由“均匀”变化可知，y与x是一次函数关系，设解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
选取表格中两组对应值（如$ x=12,y=63 $和$ x=13,y=70 $）代入解析式，得：
$\begin{cases}12k + b = 63 \\13k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$ k=7 $。
将$ k=7 $代入$ 12k + b = 63 $，得$ 12×7 + b = 63 $，解得$ b=-21 $。
所以函数解析式为$ y = 7x - 21 $。
当$ y=112 $时，代入解析式得：
$ 112 = 7x - 21 $
移项得$ 7x = 112 + 21 = 133 $
解得$ x=19 $。
【答案】
19
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的有趣现象考查函数知识，解题的核心是理解“均匀变化”对应的函数类型，熟练运用待定系数法确定函数关系后，代入数值求解即可，整体难度不高，能很好地体现数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
本题中蟋蟀鸣叫次数随气温“均匀”变化，说明两个变量满足一次函数关系。解题思路如下：第一步，设气温为自变量x，蟋蟀每分钟鸣叫次数为因变量y，设出一次函数的一般形式y=kx+b（k≠0）；第二步，从表格中选取两组对应的x、y数值，代入解析式得到关于k、b的二元一次方程组，求解得到k和b的值，确定函数解析式；第三步，将y=112代入已求出的函数解析式，解一元一次方程得到x的值，即为所求的气温。
【解析】
设该地当时的气温为x℃，这种蟋蟀每分钟鸣叫的次数为y次。
由“均匀”变化可知，y与x是一次函数关系，设解析式为$ y = kx + b $（$ k ≠ 0 $）。
选取表格中两组对应值（如$ x=12,y=63 $和$ x=13,y=70 $）代入解析式，得：
$\begin{cases}12k + b = 63 \\13k + b = 70\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，解得$ k=7 $。
将$ k=7 $代入$ 12k + b = 63 $，得$ 12×7 + b = 63 $，解得$ b=-21 $。
所以函数解析式为$ y = 7x - 21 $。
当$ y=112 $时，代入解析式得：
$ 112 = 7x - 21 $
移项得$ 7x = 112 + 21 = 133 $
解得$ x=19 $。
【答案】
19
【知识点】
一次函数的应用，待定系数法求解析式
【点评】
本题结合生活中的有趣现象考查函数知识，解题的核心是理解“均匀变化”对应的函数类型，熟练运用待定系数法确定函数关系后，代入数值求解即可，整体难度不高，能很好地体现数学在生活中的实用性。
【难度系数】
0.7
7. 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨.下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度,其中t表示时间,y表示水位高度.
| t/h | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y/m | 3 | 3.3 | 3.6 | 3.9 | 4.2 | 4.5 |
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,由此你能发现水位变化有什么规律吗?
(2)据估计这种上涨规律还会持续2 h,预测再过2 h水位高度将达到多少米.
(3)试写出水位高度y与时间t之间的关系式.
| t/h | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| y/m | 3 | 3.3 | 3.6 | 3.9 | 4.2 | 4.5 |
(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,由此你能发现水位变化有什么规律吗?
(2)据估计这种上涨规律还会持续2 h,预测再过2 h水位高度将达到多少米.
(3)试写出水位高度y与时间t之间的关系式.
答案
7.解:(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点,图略. 由此可知,这些点在同一条直线上.水位变化的规律:每经过1 h,水位上涨0.3 m. (2)若这种上涨规律还会持续2 h,则$t=7$,当$t=7$时,$y=0.3×7+3=5.1$,$\therefore$再过2 h水位高度将达到5.1 m. (3)水位高度$y$与时间$t$之间的关系式为$y=0.3t+3$.
解析
【分析】
(1) 先根据表格中t与y的对应值，在坐标系中逐一找到对应坐标的点完成描点，观察点的分布特征，再计算相邻时间点的水位高度差，即可总结水位变化规律。
(2) 已知上涨规律保持不变，先算出再过2h对应的时间t的取值，结合得到的水位上涨规律，代入计算即可得到对应的水位高度。
(3) 水位匀速上涨属于均匀变化，因此y与t满足一次函数关系，设解析式为y=kt+b，代入两组t、y的对应值即可求出参数，得到函数关系式。
【解析】
(1) 依次描出点$(0,3)$、$(1,3.3)$、$(2,3.6)$、$(3,3.9)$、$(4,4.2)$、$(5,4.5)$，观察可得所有点在同一条直线上。计算相邻1h的水位差：$3.3-3=0.3\ \mathrm{m}$，$3.6-3.3=0.3\ \mathrm{m}$，同理其余相邻时间水位差均为0.3m，因此水位变化规律为：每经过1h，水位上涨0.3m。
(2) 由题意，当前时间为$t=5\ \mathrm{h}$，再过2h对应的时间为$t=5+2=7\ \mathrm{h}$，因上涨规律不变，将$t=7$代入水位变化关系式得$y=0.3×7+3=5.1\ \mathrm{m}$。
(3) 因水位匀速上涨，y是t的一次函数，设解析式为$y=kt+b\ (k≠0)$。将$t=0,y=3$代入得$b=3$；再将$t=1,y=3.3$代入得$3.3=k+3$，解得$k=0.3$，因此y与t的关系式为$y=0.3t+3$。
【答案】
(1) 描点略，这些点在同一条直线上，水位每小时上涨0.3m；
(2) $\boldsymbol{5.1\ \mathrm{m}}$；
(3) $\boldsymbol{y=0.3t+3}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；均匀变化规律分析
【点评】
本题结合水位上涨的实际场景，考查了对均匀变化规律的识别、一次函数解析式求解以及利用函数规律做预测的能力，解题核心是从数据中发现水位匀速上涨的特征，属于基础的函数应用类题目。
【难度系数】
0.8
(1) 先根据表格中t与y的对应值，在坐标系中逐一找到对应坐标的点完成描点，观察点的分布特征，再计算相邻时间点的水位高度差，即可总结水位变化规律。
(2) 已知上涨规律保持不变，先算出再过2h对应的时间t的取值，结合得到的水位上涨规律，代入计算即可得到对应的水位高度。
(3) 水位匀速上涨属于均匀变化，因此y与t满足一次函数关系，设解析式为y=kt+b，代入两组t、y的对应值即可求出参数，得到函数关系式。
【解析】
(1) 依次描出点$(0,3)$、$(1,3.3)$、$(2,3.6)$、$(3,3.9)$、$(4,4.2)$、$(5,4.5)$，观察可得所有点在同一条直线上。计算相邻1h的水位差：$3.3-3=0.3\ \mathrm{m}$，$3.6-3.3=0.3\ \mathrm{m}$，同理其余相邻时间水位差均为0.3m，因此水位变化规律为：每经过1h，水位上涨0.3m。
(2) 由题意，当前时间为$t=5\ \mathrm{h}$，再过2h对应的时间为$t=5+2=7\ \mathrm{h}$，因上涨规律不变，将$t=7$代入水位变化关系式得$y=0.3×7+3=5.1\ \mathrm{m}$。
(3) 因水位匀速上涨，y是t的一次函数，设解析式为$y=kt+b\ (k≠0)$。将$t=0,y=3$代入得$b=3$；再将$t=1,y=3.3$代入得$3.3=k+3$，解得$k=0.3$，因此y与t的关系式为$y=0.3t+3$。
【答案】
(1) 描点略，这些点在同一条直线上，水位每小时上涨0.3m；
(2) $\boldsymbol{5.1\ \mathrm{m}}$；
(3) $\boldsymbol{y=0.3t+3}$
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求解析式；均匀变化规律分析
【点评】
本题结合水位上涨的实际场景，考查了对均匀变化规律的识别、一次函数解析式求解以及利用函数规律做预测的能力，解题核心是从数据中发现水位匀速上涨的特征，属于基础的函数应用类题目。
【难度系数】
0.8
8. 阅读理解:设 $ y $ 是 $ x $ 的函数，$ x_1 $，$ x_2 $ 是自变量 $ x $ 的取值范围内的两个值，当 $ x $ 由 $ x_1 $ 变化到 $ x_2 $ 时，对应的 $ y $ 值由 $ y_1 $ 变化到 $ y_2 $，我们称比值 $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ 为 $ y $ 在 $ x_1 $ 与 $ x_2 $ 之间的平均变化速度. 某兴趣小组调查了解到某型号汽车紧急刹车后车速每秒减少 $ a(\mathrm{m/s}) $，该型号汽车刹车前初始速度为 $ v_0(\mathrm{m/s}) $，刹车后速度 $ v(\mathrm{m/s}) $ 与时间 $ t(\mathrm{s}) $ 之间的关系如下表:
| $ t $ | … | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | … |
| $ v $ | … | 15 |
| 10 | 7.5 | … |
(1)该汽车刹车前初始速度 $ v_0 = \_\_\_\_\_\_ $ m/s，求刹车时的平均变化速度.
(2)写出刹车后速度 $ v $ 与时间 $ t $ 的关系式.
| $ t $ | … | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | … |
| $ v $ | … | 15 |
| 10 | 7.5 | … |(1)该汽车刹车前初始速度 $ v_0 = \_\_\_\_\_\_ $ m/s，求刹车时的平均变化速度.
(2)写出刹车后速度 $ v $ 与时间 $ t $ 的关系式.
答案
8.解:(1)20 由题意可知,刹车时的平均变化速度为$\frac{10-15}{2-1}=-5(\mathrm{m/s})$. (2)$v=20-5t$.
解析
【分析】
解答本题需先理解题目给出的“平均变化速度”新定义，结合表格中速度均匀变化的特征逐步求解：
1. 求解第一问：先任选表格中两组t、v的对应值，代入平均变化速度公式算出结果，再根据速度每秒减少的量，倒推t=0（刹车前初始时刻）的初始速度$v_0$；
2. 求解第二问：刹车后速度均匀减少，符合一次函数的变化规律，以初始速度为常数项、平均变化速度为一次项系数，即可写出v与t的关系式。
【解析】
(1) 选取表格中$t_1=1, v_1=15$和$t_2=2, v_2=10$两组数据，根据平均变化速度的定义计算：
平均变化速度$=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{10-15}{2-1}=-5(\mathrm{m/s})$
由结果可知刹车后车速每秒减少5m/s，因此刹车前初始速度（t=0时的速度）为：
$v_0=15+5×1=20(\mathrm{m/s})$
(2) 刹车后速度均匀减少，t秒后的速度等于初始速度减去t秒内减少的速度，因此关系式为：
$v=20-5t$
【答案】
(1) $20$，刹车时的平均变化速度为$-5\mathrm{m/s}$；
(2) $v=20-5t$
【知识点】
平均变化率计算，一次函数的应用，函数关系式确定
【点评】
本题结合新定义和生活中的刹车场景，考查对均匀变化规律的理解与应用，解题核心是读懂新定义的运算规则，结合表格数据计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
解答本题需先理解题目给出的“平均变化速度”新定义，结合表格中速度均匀变化的特征逐步求解：
1. 求解第一问：先任选表格中两组t、v的对应值，代入平均变化速度公式算出结果，再根据速度每秒减少的量，倒推t=0（刹车前初始时刻）的初始速度$v_0$；
2. 求解第二问：刹车后速度均匀减少，符合一次函数的变化规律，以初始速度为常数项、平均变化速度为一次项系数，即可写出v与t的关系式。
【解析】
(1) 选取表格中$t_1=1, v_1=15$和$t_2=2, v_2=10$两组数据，根据平均变化速度的定义计算：
平均变化速度$=\frac{v_2-v_1}{t_2-t_1}=\frac{10-15}{2-1}=-5(\mathrm{m/s})$
由结果可知刹车后车速每秒减少5m/s，因此刹车前初始速度（t=0时的速度）为：
$v_0=15+5×1=20(\mathrm{m/s})$
(2) 刹车后速度均匀减少，t秒后的速度等于初始速度减去t秒内减少的速度，因此关系式为：
$v=20-5t$
【答案】
(1) $20$，刹车时的平均变化速度为$-5\mathrm{m/s}$；
(2) $v=20-5t$
【知识点】
平均变化率计算，一次函数的应用，函数关系式确定
【点评】
本题结合新定义和生活中的刹车场景，考查对均匀变化规律的理解与应用，解题核心是读懂新定义的运算规则，结合表格数据计算即可，属于基础应用题。
【难度系数】
0.8
