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1. 下列函数中，是正比例函数的是（
A.$y=-8x$
B.$y=\dfrac{8}{x}$
C.$y=8x^2$
D.$y=8x-4$
A
）A.$y=-8x$
B.$y=\dfrac{8}{x}$
C.$y=8x^2$
D.$y=8x-4$
答案
1.A
解析
【分析】
要判断哪个是正比例函数，首先需明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数。解题时只需将每个选项的函数形式与定义逐一比对，排除不符合定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的判定条件：①函数可化为$y=kx$的形式；②$k$是不为0的常数；③$x$的次数为1，且无常数项。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=-8x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=-8≠0$，$x$的次数为1，无常数项，是正比例函数；
选项B：$y=\dfrac{8}{x}$，$x$在分母位置，次数为$-1$，属于反比例函数，不符合正比例函数定义；
选项C：$y=8x^2$，$x$的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数定义；
选项D：$y=8x-4$，含有常数项$-4$，是一次函数但不是正比例函数，不符合定义。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握正比例函数的形式特征，注意区分正比例函数与其他常见函数的差异，避免概念混淆即可快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是正比例函数，首先需明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数。解题时只需将每个选项的函数形式与定义逐一比对，排除不符合定义的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确正比例函数的判定条件：①函数可化为$y=kx$的形式；②$k$是不为0的常数；③$x$的次数为1，且无常数项。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=-8x$，符合$y=kx$的形式，其中$k=-8≠0$，$x$的次数为1，无常数项，是正比例函数；
选项B：$y=\dfrac{8}{x}$，$x$在分母位置，次数为$-1$，属于反比例函数，不符合正比例函数定义；
选项C：$y=8x^2$，$x$的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数定义；
选项D：$y=8x-4$，含有常数项$-4$，是一次函数但不是正比例函数，不符合定义。
综上，只有选项A符合要求。
【答案】
A
【知识点】
正比例函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是准确掌握正比例函数的形式特征，注意区分正比例函数与其他常见函数的差异，避免概念混淆即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 给出下列函数:①$x+y=0$;②$y=x+2$;③$y=2x^2+1$;④$y=\frac{3}{x}+2$;⑤$y=kx+3$. 其中$y$一定是$x$的一次函数的有 (
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
A
)A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
2.A
解析
【分析】
要判断y是否是x的一次函数，首先要明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$）的函数是一次函数，需同时满足三个条件：①表达式是关于x的整式；②x的最高次数为1；③x的系数k不能为0。解题时先把每个函数变形为y关于x的表达式，再对照上述三个条件逐一判断即可。
【解析】
首先回忆一次函数的定义：一般地，形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠ 0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k≠ 0$）是正比例函数，属于特殊的一次函数。
我们逐个分析所给函数：
①对$x+y=0$变形可得$y=-x$，满足$k=-1≠ 0$，$b=0$，符合一次函数定义，是一次函数；
②$y=x+2$，满足$k=1≠ 0$，$b=2$，符合一次函数定义，是一次函数；
③$y=2x^2+1$中$x$的最高次数是2，属于二次函数，不符合一次函数定义；
④$y=\frac{3}{x}+2$中$\frac{3}{x}$是分式，$x$的次数为$-1$，不是整式函数，不符合一次函数定义；
⑤$y=kx+3$未说明$k≠ 0$，若$k=0$，则$y=3$是常数函数，不是一次函数，因此不一定是一次函数。
综上，是一次函数的有①②，共2个。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 正比例函数与一次函数的关系
【点评】
本题考查一次函数的判定，解题的核心是牢记一次函数的三个判定条件，尤其要注意含参数的一次函数表达式必须明确一次项系数不为0，才能确定为一次函数，避免因忽略参数限制条件出错。
【难度系数】
0.7
要判断y是否是x的一次函数，首先要明确一次函数的判定标准：形如$y=kx+b$（k、b为常数，且$k≠0$）的函数是一次函数，需同时满足三个条件：①表达式是关于x的整式；②x的最高次数为1；③x的系数k不能为0。解题时先把每个函数变形为y关于x的表达式，再对照上述三个条件逐一判断即可。
【解析】
首先回忆一次函数的定义：一般地，形如$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠ 0$）的函数叫做一次函数，当$b=0$时，$y=kx$（$k≠ 0$）是正比例函数，属于特殊的一次函数。
我们逐个分析所给函数：
①对$x+y=0$变形可得$y=-x$，满足$k=-1≠ 0$，$b=0$，符合一次函数定义，是一次函数；
②$y=x+2$，满足$k=1≠ 0$，$b=2$，符合一次函数定义，是一次函数；
③$y=2x^2+1$中$x$的最高次数是2，属于二次函数，不符合一次函数定义；
④$y=\frac{3}{x}+2$中$\frac{3}{x}$是分式，$x$的次数为$-1$，不是整式函数，不符合一次函数定义；
⑤$y=kx+3$未说明$k≠ 0$，若$k=0$，则$y=3$是常数函数，不是一次函数，因此不一定是一次函数。
综上，是一次函数的有①②，共2个。
【答案】
A
【知识点】
1. 一次函数的定义
2. 正比例函数与一次函数的关系
【点评】
本题考查一次函数的判定，解题的核心是牢记一次函数的三个判定条件，尤其要注意含参数的一次函数表达式必须明确一次项系数不为0，才能确定为一次函数，避免因忽略参数限制条件出错。
【难度系数】
0.7
3. 函数、一次函数和正比例函数之间的包含关系是（
A
）答案
3.A
解析
【分析】
要判断三类函数的包含关系，首先明确各自的定义和范围：首先函数是所有满足对应关系的式子的统称，范围最广；其次一次函数是函数的一类，有固定的形式；最后正比例函数是特殊的一次函数，是一次函数中常数项为0的情况，因此范围最小。据此判断三者的包含层级，匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确三类函数的从属关系：
1. 函数是最大的类别，包含一次函数、正比例函数、二次函数等所有类型的函数，因此最外层应为函数；
2. 一次函数的一般形式为$ y=kx+b $（$ k,b $为常数，且$ k≠0 $），属于函数的一种，范围小于函数；
3. 当一次函数中的$ b=0 $时，函数变为$ y=kx $（$ k≠0 $），即正比例函数，因此正比例函数是特殊的一次函数，范围小于一次函数。
综上三者包含关系为：函数包含一次函数，一次函数包含正比例函数，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数的概念；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查三类函数的从属关系，解题的关键是牢记正比例函数是特殊的一次函数，二者都属于函数的范畴，熟练掌握相关定义就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
要判断三类函数的包含关系，首先明确各自的定义和范围：首先函数是所有满足对应关系的式子的统称，范围最广；其次一次函数是函数的一类，有固定的形式；最后正比例函数是特殊的一次函数，是一次函数中常数项为0的情况，因此范围最小。据此判断三者的包含层级，匹配对应选项即可。
【解析】
首先明确三类函数的从属关系：
1. 函数是最大的类别，包含一次函数、正比例函数、二次函数等所有类型的函数，因此最外层应为函数；
2. 一次函数的一般形式为$ y=kx+b $（$ k,b $为常数，且$ k≠0 $），属于函数的一种，范围小于函数；
3. 当一次函数中的$ b=0 $时，函数变为$ y=kx $（$ k≠0 $），即正比例函数，因此正比例函数是特殊的一次函数，范围小于一次函数。
综上三者包含关系为：函数包含一次函数，一次函数包含正比例函数，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
函数的概念；一次函数的定义；正比例函数的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查三类函数的从属关系，解题的关键是牢记正比例函数是特殊的一次函数，二者都属于函数的范畴，熟练掌握相关定义就能快速选出正确答案。
【难度系数】
0.8
4.对于函数$y=(k-3)x+k+3$，当k______时，它是关于x的正比例函数；当k______时，它是关于x的一次函数。
答案
4.=-3 ≠3
解析
【分析】
解题前先明确正比例函数和一次函数的定义：1. 正比例函数需满足两个条件：自变量x的系数不为0，且常数项为0；2. 一次函数只需满足自变量x的系数不为0即可（正比例函数是特殊的一次函数）。我们分别根据两个定义列关于k的不等式或方程求解即可。
【解析】
1. 若函数是关于x的正比例函数：
根据正比例函数定义，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数是正比例函数，因此可得：
$\begin{cases}k+3=0 \\ k-3\ne 0\end{cases}$
解$k+3=0$得$k=-3$，此时$k-3=-6\ne 0$，满足条件，故$k=-3$时为正比例函数。
2. 若函数是关于x的一次函数：
根据一次函数定义，形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne 0$）的函数是一次函数，因此只需满足x的系数不为0，即：
$k-3\ne 0$
解得$k\ne 3$，故$k\ne 3$时为一次函数。
【答案】
$=-3$；$\ne 3$
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是一次函数和正比例函数定义的基础应用题型，解题时需注意不要忽略“函数自变量的系数不为0”这个隐含限制条件，避免出现漏判或错判的情况。
【难度系数】
0.8
解题前先明确正比例函数和一次函数的定义：1. 正比例函数需满足两个条件：自变量x的系数不为0，且常数项为0；2. 一次函数只需满足自变量x的系数不为0即可（正比例函数是特殊的一次函数）。我们分别根据两个定义列关于k的不等式或方程求解即可。
【解析】
1. 若函数是关于x的正比例函数：
根据正比例函数定义，形如$y=kx$（$k$为常数，$k\ne 0$）的函数是正比例函数，因此可得：
$\begin{cases}k+3=0 \\ k-3\ne 0\end{cases}$
解$k+3=0$得$k=-3$，此时$k-3=-6\ne 0$，满足条件，故$k=-3$时为正比例函数。
2. 若函数是关于x的一次函数：
根据一次函数定义，形如$y=kx+b$（$k,b$为常数，$k\ne 0$）的函数是一次函数，因此只需满足x的系数不为0，即：
$k-3\ne 0$
解得$k\ne 3$，故$k\ne 3$时为一次函数。
【答案】
$=-3$；$\ne 3$
【知识点】
正比例函数的定义；一次函数的定义
【点评】
本题是一次函数和正比例函数定义的基础应用题型，解题时需注意不要忽略“函数自变量的系数不为0”这个隐含限制条件，避免出现漏判或错判的情况。
【难度系数】
0.8
5. 我们要节约用水，平时要关好水龙头. 据测试，若没有关好水龙头，水龙头每分钟滴60滴水，每滴水约0.05毫升. 如果小名忘记关水龙头，那么小名浪费的水$y$(毫升)与时间$x$(分)之间的关系式是 (
A.$y=60x$
B.$y=3x$
C.$y=0.05x$
D.$y=0.05x+60$
B
)A.$y=60x$
B.$y=3x$
C.$y=0.05x$
D.$y=0.05x+60$
答案
5.B
解析
【分析】
要确定浪费的水量y与时间x的函数关系式，首先需要先计算出每分钟浪费的水量，再根据“总浪费水量=每分钟浪费水量×时间”的数量关系列式推导即可。
【解析】
首先计算每分钟浪费的水量：已知每分钟滴60滴水，每滴水约0.05毫升，因此每分钟浪费的水量为 $60×0.05=3$ 毫升。
总浪费水量y等于每分钟浪费水量乘以时间x，因此可得关系式：$y=3x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列实际问题的函数关系式；正比例函数的应用
【点评】
本题是结合生活节水场景的基础题，核心考查学生对实际问题中数量关系的梳理能力，只要明确总水量、单位时间出水量、时间三者的对应关系，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要确定浪费的水量y与时间x的函数关系式，首先需要先计算出每分钟浪费的水量，再根据“总浪费水量=每分钟浪费水量×时间”的数量关系列式推导即可。
【解析】
首先计算每分钟浪费的水量：已知每分钟滴60滴水，每滴水约0.05毫升，因此每分钟浪费的水量为 $60×0.05=3$ 毫升。
总浪费水量y等于每分钟浪费水量乘以时间x，因此可得关系式：$y=3x$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
列实际问题的函数关系式；正比例函数的应用
【点评】
本题是结合生活节水场景的基础题，核心考查学生对实际问题中数量关系的梳理能力，只要明确总水量、单位时间出水量、时间三者的对应关系，就能快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
6.某电器进价为250元/台，售价为400元/台，若售出x台的总利润为y元，则y与x之间的关系式为
$y=150x$
.答案
6.$y=150x$
解析
【分析】
解决本题首先要明确利润问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×销售数量。第一步先计算每台电器的单件利润，用售价减去进价即可得到；第二步将单件利润、销售数量x代入等量关系，就能推导出y与x的函数关系式。
【解析】
首先计算单台电器的利润：
单台利润 = 售价 - 进价 = 400 - 250 = 150（元）
再根据总利润的计算公式：总利润 = 单台利润 × 销售台数，已知售出x台，总利润为y元，代入可得：
y = 150x（x为非负整数）
【答案】
y=150x
【知识点】
利润的计算；列函数关系式；正比例函数
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，主要考查对经济类问题数量关系的掌握，难度较低，熟练掌握常见的数量关系公式是解决这类题的关键，也为后续学习复杂的一次函数实际应用打下基础。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要明确利润问题的核心等量关系：总利润=单件商品的利润×销售数量。第一步先计算每台电器的单件利润，用售价减去进价即可得到；第二步将单件利润、销售数量x代入等量关系，就能推导出y与x的函数关系式。
【解析】
首先计算单台电器的利润：
单台利润 = 售价 - 进价 = 400 - 250 = 150（元）
再根据总利润的计算公式：总利润 = 单台利润 × 销售台数，已知售出x台，总利润为y元，代入可得：
y = 150x（x为非负整数）
【答案】
y=150x
【知识点】
利润的计算；列函数关系式；正比例函数
【点评】
本题是函数实际应用的基础题型，主要考查对经济类问题数量关系的掌握，难度较低，熟练掌握常见的数量关系公式是解决这类题的关键，也为后续学习复杂的一次函数实际应用打下基础。
【难度系数】
0.9
7.在登山过程中，海拔每升高1 km，气温下降6 ℃.已知某登山大本营所在位置的气温是2 ℃，登山队员从大本营出发登山，当海拔升高x km时，所在位置的气温是y ℃，那么y与x之间的关系式是
$y=-6x+2$
.答案
7.$y=-6x+2$
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的数量关系：首先明确初始值，当海拔升高量x=0（即大本营位置）时，气温y=2℃；其次明确变化规律，海拔每升高1km，气温下降6℃，即升高x km时，总降温为6x℃。最终的气温等于大本营的初始气温减去升高海拔对应的总降温，据此即可推导y与x的函数关系式。
【解析】
解：由题意得，海拔升高x km时，气温总共下降的度数为$6x$℃。
已知大本营的气温为2℃，因此所在位置的气温$y=$初始气温$-$下降的气温，代入数值可得：
$y = 2 - 6x$，整理为标准一次函数形式为：$y = -6x + 2$（$x≥0$）。
【答案】
$y=-6x+2$
【知识点】
1. 列实际问题的函数关系式
2. 一次函数的应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题，解题关键是找准气温与海拔之间的数量变化关系，注意“气温下降”对应的是负的变化率，避免符号写反即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目中的数量关系：首先明确初始值，当海拔升高量x=0（即大本营位置）时，气温y=2℃；其次明确变化规律，海拔每升高1km，气温下降6℃，即升高x km时，总降温为6x℃。最终的气温等于大本营的初始气温减去升高海拔对应的总降温，据此即可推导y与x的函数关系式。
【解析】
解：由题意得，海拔升高x km时，气温总共下降的度数为$6x$℃。
已知大本营的气温为2℃，因此所在位置的气温$y=$初始气温$-$下降的气温，代入数值可得：
$y = 2 - 6x$，整理为标准一次函数形式为：$y = -6x + 2$（$x≥0$）。
【答案】
$y=-6x+2$
【知识点】
1. 列实际问题的函数关系式
2. 一次函数的应用
【点评】
本题是一次函数实际应用的基础题，解题关键是找准气温与海拔之间的数量变化关系，注意“气温下降”对应的是负的变化率，避免符号写反即可得分。
【难度系数】
0.9
8.（教材P81例1变式）写出下列各题中两变量之间的关系式，并判断：它们是否为一次函数关系？是否为正比例函数？
(1)某小区的物业费是按房屋面积每平方米3元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y(元)与房屋面积x(m²)之间的关系.
(2)正方体的体积V(cm³)与它的边长a(cm)之间的关系.
(3)某影院共有50排座位，第一排有30个座位，后面每排比前一排多1个座位，某排的座位数m与这排的排数n之间的关系.
(1)某小区的物业费是按房屋面积每平方米3元/月来收取的，该小区业主每个月应缴的物业费y(元)与房屋面积x(m²)之间的关系.
(2)正方体的体积V(cm³)与它的边长a(cm)之间的关系.
(3)某影院共有50排座位，第一排有30个座位，后面每排比前一排多1个座位，某排的座位数m与这排的排数n之间的关系.
答案
8.解:(1)$y=3x$，$y$是$x$的一次函数，也是$x$的正比例函数.
(2)由正方体的体积公式，得$V=a^3$，$V$不是$a$的正比例函数，也不是$a$的一次函数.
(3)$m=n+29$，$m$是$n$的一次函数，但不是$n$的正比例函数.
(2)由正方体的体积公式，得$V=a^3$，$V$不是$a$的正比例函数，也不是$a$的一次函数.
(3)$m=n+29$，$m$是$n$的一次函数，但不是$n$的正比例函数.
解析
【分析】
解题的核心是先明确一次函数和正比例函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数；当$b=0$时，形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。解题时先结合每个小问的实际情境找到等量关系，列出两个变量的关系式，再对照定义判断函数类型即可。
【解析】
首先明确一次函数、正比例函数的判定标准：
1. 一次函数需满足：变量最高次数为1，且$x$的系数不为0；
2. 正比例函数需满足：在一次函数的基础上，常数项$b=0$。
(1) 每月物业费=每平方米月收费×房屋面积，已知每平方米每月收3元，因此列式得$y=3x$。该式符合$y=kx$（$k=3≠0$，$b=0$）的形式，因此$y$是$x$的一次函数，也是正比例函数。
(2) 根据正方体体积公式，体积=边长的三次方，因此列式得$V=a^3$。该式中$a$的最高次数为3，不符合一次函数的形式，因此$V$既不是$a$的一次函数，也不是正比例函数。
(3) 第一排有30个座位，每往后一排多1个座位，因此第$n$排的座位数=第一排座位数+$(n-1)×1$，整理得$m=30+(n-1)=n+29$（$1≤n≤50$，$n$为正整数）。该式符合$y=kx+b$（$k=1≠0$，$b=29≠0$）的形式，因此$m$是$n$的一次函数，但不是正比例函数。
【答案】
(1)$y=3x$，$y$是$x$的一次函数，也是$x$的正比例函数。
(2)由正方体的体积公式，得$V=a^3$，$V$不是$a$的正比例函数，也不是$a$的一次函数。
(3)$m=n+29$，$m$是$n$的一次函数，但不是$n$的正比例函数。
【知识点】
列函数关系式，一次函数的判定，正比例函数的判定
【点评】
本题考查结合实际情境列函数关系式，以及一次函数和正比例函数的区分，解题关键是熟记两类函数的定义，明确正比例函数是常数项为0的特殊一次函数。
【难度系数】
0.8
解题的核心是先明确一次函数和正比例函数的定义：形如$y=kx+b$（$k$、$b$为常数，$k≠0$）的函数是一次函数；当$b=0$时，形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数是正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。解题时先结合每个小问的实际情境找到等量关系，列出两个变量的关系式，再对照定义判断函数类型即可。
【解析】
首先明确一次函数、正比例函数的判定标准：
1. 一次函数需满足：变量最高次数为1，且$x$的系数不为0；
2. 正比例函数需满足：在一次函数的基础上，常数项$b=0$。
(1) 每月物业费=每平方米月收费×房屋面积，已知每平方米每月收3元，因此列式得$y=3x$。该式符合$y=kx$（$k=3≠0$，$b=0$）的形式，因此$y$是$x$的一次函数，也是正比例函数。
(2) 根据正方体体积公式，体积=边长的三次方，因此列式得$V=a^3$。该式中$a$的最高次数为3，不符合一次函数的形式，因此$V$既不是$a$的一次函数，也不是正比例函数。
(3) 第一排有30个座位，每往后一排多1个座位，因此第$n$排的座位数=第一排座位数+$(n-1)×1$，整理得$m=30+(n-1)=n+29$（$1≤n≤50$，$n$为正整数）。该式符合$y=kx+b$（$k=1≠0$，$b=29≠0$）的形式，因此$m$是$n$的一次函数，但不是正比例函数。
【答案】
(1)$y=3x$，$y$是$x$的一次函数，也是$x$的正比例函数。
(2)由正方体的体积公式，得$V=a^3$，$V$不是$a$的正比例函数，也不是$a$的一次函数。
(3)$m=n+29$，$m$是$n$的一次函数，但不是$n$的正比例函数。
【知识点】
列函数关系式，一次函数的判定，正比例函数的判定
【点评】
本题考查结合实际情境列函数关系式，以及一次函数和正比例函数的区分，解题关键是熟记两类函数的定义，明确正比例函数是常数项为0的特殊一次函数。
【难度系数】
0.8
