13. 如图,已知BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,且∠1与∠2互余.求证:AB//CD.

13. 证明:
∵∠1与∠2互余,
∴∠1+∠2=90°.
∵BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,
∴∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.
∴∠ABD+∠CDB=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180°.
∴AB//CD.

【分析】要证明AB//CD，可利用“同旁内角互补，两直线平行”的判定定理，即需要证明∠ABD+∠CDB=180°。首先根据互余的定义，由∠1与∠2互余可得∠1+∠2=90°；再结合角平分线的定义，可推出∠ABD是∠1的2倍、∠CDB是∠2的2倍，由此计算∠ABD与∠CDB的和，即可得到两直线平行的判定条件。
【解析】
证明:
∵∠1与∠2互余,
∴∠1+∠2=90°.
∵BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,
∴∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.
∴∠ABD+∠CDB=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180°.
∴AB//CD.
【答案】
证明:
∵∠1与∠2互余,
∴∠1+∠2=90°.
∵BE平分∠ABD,DE平分∠CDB,
∴∠ABD=2∠1,∠CDB=2∠2.
∴∠ABD+∠CDB=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2)=180°.
∴AB//CD.
【知识点】
角平分线的定义；余角的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用类题目，核心是结合角平分线、互余的性质推导得到同旁内角互补，能够帮助学生巩固基础概念，掌握几何证明的基本逻辑。
【难度系数】
0.8

14.如图,台球运动中,母球 P 击中桌边上的点A,经桌边反弹后击中相邻桌边上的点 B,再次反弹(提示:$∠ PAD=∠ BAE,∠ ABE=∠ CBF,∠ AEB=90°$).
(1)若$∠ PAD=25°$,求$∠ PAB$的度数.
(2)母球 P 经过的路线 BC 与 PA 一定平行吗？请说明理由.

14. 解:(1)
∵∠PAD=25°,∠PAD=∠BAE,∠PAD+∠PAB+∠BAE=180°,
∴∠PAB=180°-25°-25°=130°.
(2)BC//PA. 理由如下:
∵∠PAD=∠BAE,∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE,
∴∠PAB=180°-2∠BAE. 同理,∠ABC=180°-2∠ABE.
∵∠BAE+∠ABE=90°,
∴∠PAB+∠ABC=360°-2(∠BAE+∠ABE)=360°-2×90°=180°.
∴BC//PA.

【分析】
(1) 解题思路：首先根据题目给出的反弹角相等的条件，可知∠PAD=∠BAE，再观察∠PAD、∠PAB、∠BAE三个角共同构成平角，和为180°，代入已知∠PAD的度数，即可求出∠PAB的度数。
(2) 解题思路：要判断BC与PA是否平行，可依据平行线的判定定理，证明两条直线被AB所截形成的同旁内角互补即可。先参照第一问的方法分别用∠BAE、∠ABE表示出∠PAB和∠ABC，再结合直角中两锐角和为90°的性质，推导∠PAB与∠ABC的和为180°，即可证明两直线平行。
【解析】
(1)
∵∠PAD=25°，∠PAD=∠BAE，∠PAD+∠PAB+∠BAE=180°，
∴∠PAB=180°-25°-25°=130°。
(2) BC//PA，理由如下：
∵∠PAD=∠BAE，∠PAB=180°-∠PAD-∠BAE，
∴∠PAB=180°-2∠BAE。
同理，∠ABC=180°-2∠ABE。
∵∠AEB=90°，
∴∠BAE+∠ABE=90°，
∴∠PAB+∠ABC=360°-2(∠BAE+∠ABE)=360°-2×90°=180°，
∴BC//PA。
【答案】
(1) ∠PAB=130°；
(2) BC与PA一定平行，理由见解析。
【知识点】
平角的定义、平行线的判定、直角的性质
【点评】
本题结合生活中的台球反弹场景考查角度计算和平行线的判定，解题关键是利用题目给出的反弹角相等的条件，结合平角、直角的性质完成角的等量转化，熟练掌握平行线的判定定理是解决第二问的核心。
【难度系数】
0.7