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8.（教材P194习题T5变式）如图，∠ABD=∠D，BD平分∠ABC.求证:AD//BC.
答案
8. 证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD=∠D,
∴∠CBD=∠D.
∴AD//BC.
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD=∠D,
∴∠CBD=∠D.
∴AD//BC.
解析
【分析】
要证明AD//BC，可根据平行线的判定定理，证明AD、BC被BD所截形成的内错角相等即可。首先利用角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD，再结合已知∠ABD=∠D，通过等量代换就能得到内错角∠CBD=∠D，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D。
∴AD//BC。
【答案】
证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD=∠D,
∴∠CBD=∠D.
∴AD//BC.
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是结合已知条件找到平行判定所需的角的等量关系，能够锻炼学生的基础逻辑推理能力，巩固平行线判定和角平分线相关基础知识点。
【难度系数】
0.9
要证明AD//BC，可根据平行线的判定定理，证明AD、BC被BD所截形成的内错角相等即可。首先利用角平分线的性质可得∠ABD=∠CBD，再结合已知∠ABD=∠D，通过等量代换就能得到内错角∠CBD=∠D，进而推出两直线平行。
【解析】
证明：
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD。
∵∠ABD=∠D，
∴∠CBD=∠D。
∴AD//BC。
【答案】
证明:
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD.
∵∠ABD=∠D,
∴∠CBD=∠D.
∴AD//BC.
【知识点】
角平分线的定义，平行线的判定，等量代换
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是结合已知条件找到平行判定所需的角的等量关系，能够锻炼学生的基础逻辑推理能力，巩固平行线判定和角平分线相关基础知识点。
【难度系数】
0.9
9. 如图,下列条件:①$∠ B + ∠ BCD = 180°$；②$∠ 1 = ∠ 2$；③$∠ 3 = ∠ 4$；④$∠ B = ∠ 5$；⑤$∠ 3 = ∠ 5$.其中能判定$AB // CD$的是 (
A.①②
B.①③④
C.③⑤
D.②④⑤
B
)A.①②
B.①③④
C.③⑤
D.②④⑤
答案
9.B
解析
【分析】
要判断哪些条件能判定$AB// CD$，需结合平行线的判定定理逐个分析条件：先明确每个条件中的角是哪两条直线被哪条直线所截形成的角，再判断该角的关系能否推出$AB$与$CD$平行，最后筛选符合要求的条件匹配选项即可。
【解析】
逐个分析各条件：
①$∠ B + ∠ BCD = 180°$：$∠ B$和$∠ BCD$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截的同旁内角，同旁内角互补，可判定$AB// CD$，符合要求；
②$∠ 1 = ∠ 2$：$∠ 1$和$∠ 2$是直线$AD$、$BC$被直线$AC$所截的内错角，内错角相等可判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$，不符合要求；
③$∠ 3 = ∠ 4$：$∠ 3$和$∠ 4$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截的内错角，内错角相等，可判定$AB// CD$，符合要求；
④$∠ B = ∠ 5$：$∠ B$和$∠ 5$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截的同位角，同位角相等，可判定$AB// CD$，符合要求；
⑤$∠ 3 = ∠ 5$：两角不属于判定$AB$、$CD$平行的三类角，无法判定$AB// CD$，不符合要求。
综上，能判定$AB// CD$的是①③④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 同位角相等，两直线平行
2. 内错角相等，两直线平行
3. 同旁内角互补，两直线平行
【点评】
本题核心考查平行线的判定，解题关键是准确区分角对应的截线和被截直线，避免混淆要判定平行的直线，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要判断哪些条件能判定$AB// CD$，需结合平行线的判定定理逐个分析条件：先明确每个条件中的角是哪两条直线被哪条直线所截形成的角，再判断该角的关系能否推出$AB$与$CD$平行，最后筛选符合要求的条件匹配选项即可。
【解析】
逐个分析各条件：
①$∠ B + ∠ BCD = 180°$：$∠ B$和$∠ BCD$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截的同旁内角，同旁内角互补，可判定$AB// CD$，符合要求；
②$∠ 1 = ∠ 2$：$∠ 1$和$∠ 2$是直线$AD$、$BC$被直线$AC$所截的内错角，内错角相等可判定$AD// BC$，不能判定$AB// CD$，不符合要求；
③$∠ 3 = ∠ 4$：$∠ 3$和$∠ 4$是直线$AB$、$CD$被直线$AC$所截的内错角，内错角相等，可判定$AB// CD$，符合要求；
④$∠ B = ∠ 5$：$∠ B$和$∠ 5$是直线$AB$、$CD$被直线$BE$所截的同位角，同位角相等，可判定$AB// CD$，符合要求；
⑤$∠ 3 = ∠ 5$：两角不属于判定$AB$、$CD$平行的三类角，无法判定$AB// CD$，不符合要求。
综上，能判定$AB// CD$的是①③④，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 同位角相等，两直线平行
2. 内错角相等，两直线平行
3. 同旁内角互补，两直线平行
【点评】
本题核心考查平行线的判定，解题关键是准确区分角对应的截线和被截直线，避免混淆要判定平行的直线，属于基础题型，熟练掌握平行线的判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
10. 如图所示的四种沿AB进行折叠的方法中，不一定能判断纸带两条边a,b互相平行的是（
A.如图1，展开后测得$∠1=∠2$
B.如图2，展开后测得$∠1=∠2$，$∠3=∠4$
C.如图3，测得$∠1=∠2$
D.如图4，展开后测得$∠1+∠2=180°$
C
）A.如图1，展开后测得$∠1=∠2$
B.如图2，展开后测得$∠1=∠2$，$∠3=∠4$
C.如图3，测得$∠1=∠2$
D.如图4，展开后测得$∠1+∠2=180°$
答案
10.C
解析
【分析】
本题考查平行线的判定，解题时先回忆平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均可判定两直线平行。接下来结合折叠的性质，逐一分析每个选项中给出的角的位置关系和数量关系，判断是否满足平行线的判定条件即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：图1中∠1和∠2是直线a、b被AB所截得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当∠1=∠2时，可直接判定a//b，不符合题意；
选项B：图2中，折叠后∠1与∠2为邻补角，即∠1+∠2=180°，结合已知∠1=∠2，可得∠1=∠2=90°，同理可得∠3=∠4=90°，此时∠1=∠4（内错角相等），或∠1+∠3=180°（同旁内角互补），均可判定a//b，不符合题意；
选项C：图3中∠1和∠2不是直线a、b被第三条直线所截形成的同位角或内错角，不存在对应的平行判定依据，因此即使∠1=∠2，也不一定能判定a//b，符合题意；
选项D：图4中∠1和∠2是直线a、b被AB所截得到的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，当∠1+∠2=180°时，可判定a//b，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用类题目，解题的关键是准确识别三线八角中角的位置关系，只有满足同位角、内错角相等，或同旁内角互补时，才能判定两直线平行，避免误认为任意两个角相等都可推出平行。
【难度系数】
0.7
本题考查平行线的判定，解题时先回忆平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，均可判定两直线平行。接下来结合折叠的性质，逐一分析每个选项中给出的角的位置关系和数量关系，判断是否满足平行线的判定条件即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
选项A：图1中∠1和∠2是直线a、b被AB所截得到的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，当∠1=∠2时，可直接判定a//b，不符合题意；
选项B：图2中，折叠后∠1与∠2为邻补角，即∠1+∠2=180°，结合已知∠1=∠2，可得∠1=∠2=90°，同理可得∠3=∠4=90°，此时∠1=∠4（内错角相等），或∠1+∠3=180°（同旁内角互补），均可判定a//b，不符合题意；
选项C：图3中∠1和∠2不是直线a、b被第三条直线所截形成的同位角或内错角，不存在对应的平行判定依据，因此即使∠1=∠2，也不一定能判定a//b，符合题意；
选项D：图4中∠1和∠2是直线a、b被AB所截得到的同旁内角，根据“同旁内角互补，两直线平行”，当∠1+∠2=180°时，可判定a//b，不符合题意。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行线的判定；折叠的性质；平角的定义
【点评】
本题属于平行线判定的基础应用类题目，解题的关键是准确识别三线八角中角的位置关系，只有满足同位角、内错角相等，或同旁内角互补时，才能判定两直线平行，避免误认为任意两个角相等都可推出平行。
【难度系数】
0.7
11.如图,将a,b,c三根木棒钉在一起,∠1=70°,∠2=100°.现将木棒c固定,木棒a,b同时分别以17°/s和2°/s的速度沿顺时针方向旋转.当木棒a旋转一周时,两根木棒同时停止旋转,则旋转
2或14
s后木棒a,b平行.答案
11.2或14
解析
【分析】
要解决旋转后木棒a、b平行的问题，首先回忆平行线的判定规则：同位角相等时两直线平行。由于a的旋转速度比b快，旋转过程中会出现两次a、b平行的情况：第一次是a旋转角度较小时，二者同位角相等平行；第二次是a比b多旋转180°后，二者倾斜程度再次一致平行。我们可以设旋转时间为t秒，分别根据两种平行情况列方程求解，最后结合a旋转一周就停止的限制筛选符合条件的解。
【解析】
设旋转t秒后木棒a、b平行，已知a旋转一周（360°）就停止，因此t≤360÷17≈21.2 s。
t秒后木棒a共旋转17t度，木棒b共旋转2t度，a比b多旋转(17t-2t)度。
情况1：第一次平行时，a比b多转的角度等于初始时∠2与∠1的差，此时同位角相等，两直线平行：
$\begin{aligned}17t - 2t &= 100° - 70°\\15t &= 30\\t&=2\end{aligned}$
t=2小于21.2，符合要求。
情况2：第二次平行时，a比b多转的角度为初始角度差加180°（此时两直线倾斜角相差180°，仍属于平行）：
$\begin{aligned}17t - 2t &= 100° - 70° + 180°\\15t &= 210\\t&=14\end{aligned}$
t=14小于21.2，符合要求。
若再下一次平行需多转390°，解得t=26＞21.2，不符合旋转限制，舍去。
【答案】
2或14
【知识点】
平行线的判定；旋转的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于动态几何类基础题，易错点是容易遗漏第二种平行的情况，解题时要结合旋转的特点，考虑到直线相差180°时也平行的情况，最后还要注意根据旋转的最大时间对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
要解决旋转后木棒a、b平行的问题，首先回忆平行线的判定规则：同位角相等时两直线平行。由于a的旋转速度比b快，旋转过程中会出现两次a、b平行的情况：第一次是a旋转角度较小时，二者同位角相等平行；第二次是a比b多旋转180°后，二者倾斜程度再次一致平行。我们可以设旋转时间为t秒，分别根据两种平行情况列方程求解，最后结合a旋转一周就停止的限制筛选符合条件的解。
【解析】
设旋转t秒后木棒a、b平行，已知a旋转一周（360°）就停止，因此t≤360÷17≈21.2 s。
t秒后木棒a共旋转17t度，木棒b共旋转2t度，a比b多旋转(17t-2t)度。
情况1：第一次平行时，a比b多转的角度等于初始时∠2与∠1的差，此时同位角相等，两直线平行：
$\begin{aligned}17t - 2t &= 100° - 70°\\15t &= 30\\t&=2\end{aligned}$
t=2小于21.2，符合要求。
情况2：第二次平行时，a比b多转的角度为初始角度差加180°（此时两直线倾斜角相差180°，仍属于平行）：
$\begin{aligned}17t - 2t &= 100° - 70° + 180°\\15t &= 210\\t&=14\end{aligned}$
t=14小于21.2，符合要求。
若再下一次平行需多转390°，解得t=26＞21.2，不符合旋转限制，舍去。
【答案】
2或14
【知识点】
平行线的判定；旋转的性质；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于动态几何类基础题，易错点是容易遗漏第二种平行的情况，解题时要结合旋转的特点，考虑到直线相差180°时也平行的情况，最后还要注意根据旋转的最大时间对解进行取舍。
【难度系数】
0.6
12.求证:在同一平面内,如果两条直线垂直于同一条直线,那么这两条直线平行.
答案
12. 解:已知:如图,AB⊥EF,垂足为B,CD⊥EF,垂足为D. 求证:AB//CD.
证明:
∵AB⊥EF,CD⊥EF,
∴∠ABD=∠CDF=90°.
∴AB//CD.
解析
【分析】
要证明该文字命题，首先要把命题转化为几何语言，先明确已知条件和待证结论：已知同一平面内AB、CD均垂直于EF，求证AB//CD。结合学过的平行线判定规则，两条直线垂直于同一直线时会产生一对相等的90°同位角，因此可通过“同位角相等，两直线平行”完成证明。
【解析】
首先根据命题内容写出已知和求证：
已知：如图，在同一平面内，AB⊥EF，垂足为B，CD⊥EF，垂足为D。
求证：AB//CD。
证明过程：
∵AB⊥EF，CD⊥EF（已知），
∴∠ABD=∠CDF=90°（垂直的定义），
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
已知:如图,AB⊥EF,垂足为B,CD⊥EF,垂足为D. 求证:AB//CD.
证明:
∵AB⊥EF,CD⊥EF,
∴∠ABD=∠CDF=90°.
∴AB//CD.
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，考查文字命题的证明逻辑，需要掌握将文字表述转化为几何已知、求证的方法，牢记垂直的定义和平行线的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要证明该文字命题，首先要把命题转化为几何语言，先明确已知条件和待证结论：已知同一平面内AB、CD均垂直于EF，求证AB//CD。结合学过的平行线判定规则，两条直线垂直于同一直线时会产生一对相等的90°同位角，因此可通过“同位角相等，两直线平行”完成证明。
【解析】
首先根据命题内容写出已知和求证：
已知：如图，在同一平面内，AB⊥EF，垂足为B，CD⊥EF，垂足为D。
求证：AB//CD。
证明过程：
∵AB⊥EF，CD⊥EF（已知），
∴∠ABD=∠CDF=90°（垂直的定义），
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
已知:如图,AB⊥EF,垂足为B,CD⊥EF,垂足为D. 求证:AB//CD.
证明:
∵AB⊥EF,CD⊥EF,
∴∠ABD=∠CDF=90°.
∴AB//CD.
【知识点】
垂直的定义；平行线的判定
【点评】
本题是平行线判定的基础题型，考查文字命题的证明逻辑，需要掌握将文字表述转化为几何已知、求证的方法，牢记垂直的定义和平行线的判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.9
