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1. 如图，直线$a // b$，$∠ 1 = 40°$，则$∠ 2 = \boldsymbol{（ ）}$
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先提取已知条件：直线a//b，∠1=40°，目标是求∠2的度数。第一步先判断∠1和∠2的位置关系：两个角是两条平行线a、b被同一条截线所截形成的同位角；第二步回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等，因此可直接通过∠1的度数求出∠2的度数。
【解析】
观察图形可知，∠1和∠2是直线a、b被第三条直线所截得到的同位角。
∵ a//b，根据“两直线平行，同位角相等”的性质，
∴ ∠2 = ∠1，
又
∵ ∠1=40°，
∴ ∠2=40°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；同位角的识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平行线性质的理解与应用，只要能准确识别同位角的位置关系，结合平行线的性质即可快速得出答案，是对平行线基础知识点的典型考查。
【难度系数】
0.9
解题时首先提取已知条件：直线a//b，∠1=40°，目标是求∠2的度数。第一步先判断∠1和∠2的位置关系：两个角是两条平行线a、b被同一条截线所截形成的同位角；第二步回忆平行线的性质：两直线平行，同位角相等，因此可直接通过∠1的度数求出∠2的度数。
【解析】
观察图形可知，∠1和∠2是直线a、b被第三条直线所截得到的同位角。
∵ a//b，根据“两直线平行，同位角相等”的性质，
∴ ∠2 = ∠1，
又
∵ ∠1=40°，
∴ ∠2=40°，故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；同位角的识别
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对平行线性质的理解与应用，只要能准确识别同位角的位置关系，结合平行线的性质即可快速得出答案，是对平行线基础知识点的典型考查。
【难度系数】
0.9
2.(2024·河南)如图,乙地在甲地的北偏东$50°$方向上,则$∠ 1$的度数为 (
A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
B
)A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征：图中两条标注“北”的虚线都指向正北方向，所有正北方向的直线互相平行，因此这两条虚线是平行关系；其次判断角的位置关系：甲乙两地的连线是截线，∠1和甲地处的50°角是两条平行线被截形成的内错角；最后结合平行线的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
解：由方向角的定义可知，图中两条指向正北的虚线互相平行。
∠1与甲地的50°角是两条平行直线被甲乙连线所截得到的内错角，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，可得∠1=50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；方向角的识别
【点评】
本题结合实际方向判断的场景考查平行线的性质，解题核心是抓住正北方向直线互相平行的隐含条件，找到对应角的位置关系即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征：图中两条标注“北”的虚线都指向正北方向，所有正北方向的直线互相平行，因此这两条虚线是平行关系；其次判断角的位置关系：甲乙两地的连线是截线，∠1和甲地处的50°角是两条平行线被截形成的内错角；最后结合平行线的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
解：由方向角的定义可知，图中两条指向正北的虚线互相平行。
∠1与甲地的50°角是两条平行直线被甲乙连线所截得到的内错角，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，可得∠1=50°。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；方向角的识别
【点评】
本题结合实际方向判断的场景考查平行线的性质，解题核心是抓住正北方向直线互相平行的隐含条件，找到对应角的位置关系即可快速求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
3. 一把直尺和一个含$30°$角的直角三角板按如图所示的方式放置.若$∠1=20°$,则$∠2=$ (
A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
B
)A.$30°$
B.$40°$
C.$50°$
D.$60°$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先明确直尺的上下对边为平行关系，可运用平行线的性质得到相等的内错角；再回忆含30°角的直角三角板的角度特点，其较大锐角为60°，观察图形可知这个60°的角由∠1的内错角和∠2共同组成，最后代入∠1的度数计算即可得到∠2的度数。
【解析】
∵直尺的上下对边互相平行
∴∠1的内错角=∠1=20°（两直线平行，内错角相等）
又
∵含30°角的直角三角板的较大锐角为60°，且该角为∠1的内错角与∠2的和
∴∠2=60°-20°=40°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角板的角度特征
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将平行线的性质和三角板的固定角度结合考查，解题关键是准确识别平行关系对应的等角，以及三角板对应角的度数。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确直尺的上下对边为平行关系，可运用平行线的性质得到相等的内错角；再回忆含30°角的直角三角板的角度特点，其较大锐角为60°，观察图形可知这个60°的角由∠1的内错角和∠2共同组成，最后代入∠1的度数计算即可得到∠2的度数。
【解析】
∵直尺的上下对边互相平行
∴∠1的内错角=∠1=20°（两直线平行，内错角相等）
又
∵含30°角的直角三角板的较大锐角为60°，且该角为∠1的内错角与∠2的和
∴∠2=60°-20°=40°
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，直角三角板的角度特征
【点评】
本题是角度计算的基础题型，将平行线的性质和三角板的固定角度结合考查，解题关键是准确识别平行关系对应的等角，以及三角板对应角的度数。
【难度系数】
0.8
4.(2024·淄博)如图,已知$AD// BC$,BD平分$∠ ABC$.若$∠ A=110°$,则$∠ D$的度数是 (
A.$40°$
B.$36°$
C.$35°$
D.$30°$
C
)A.$40°$
B.$36°$
C.$35°$
D.$30°$
答案
4.C
解析
【分析】
解题时先利用平行线的性质，由AD//BC可得同旁内角∠A与∠ABC互补，先计算出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数；最后再次利用平行线的性质，两直线平行内错角相等，得到∠D与∠DBC相等，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ A + ∠ ABC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵$∠ A=110°$，
∴$∠ ABC = 180° - 110° = 70°$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×70° = 35°$，
又
∵$AD// BC$，
∴$∠ D = ∠ DBC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ D = 35°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查平行线性质和角平分线定义的综合应用，解题的关键是熟练掌握平行线的角关系，通过中间角建立待求角和已知角的关联。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行线的性质，由AD//BC可得同旁内角∠A与∠ABC互补，先计算出∠ABC的度数；再根据角平分线的定义求出∠DBC的度数；最后再次利用平行线的性质，两直线平行内错角相等，得到∠D与∠DBC相等，即可求出∠D的度数。
【解析】
解：
∵$AD// BC$，
∴$∠ A + ∠ ABC = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
∵$∠ A=110°$，
∴$∠ ABC = 180° - 110° = 70°$，
∵BD平分$∠ ABC$，
∴$∠ DBC = \frac{1}{2}∠ ABC = \frac{1}{2}×70° = 35°$，
又
∵$AD// BC$，
∴$∠ D = ∠ DBC$（两直线平行，内错角相等），
∴$∠ D = 35°$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题属于基础几何计算题，主要考查平行线性质和角平分线定义的综合应用，解题的关键是熟练掌握平行线的角关系，通过中间角建立待求角和已知角的关联。
【难度系数】
0.8
5.如图，AB//CD，BC//ED，∠B=80°，则∠D=
100°
。答案
5.100°
解析
【分析】
解题时先从已知的平行关系入手：首先由AB//CD，利用平行线的内错角相等性质，可得出∠C与已知角∠B相等，得到∠C的度数；再结合BC//ED的条件，利用平行线的同旁内角互补性质，可知∠C与∠D之和为180°，代入∠C的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠B=80°（已知），
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠C=∠B=80°，
又
∵BC//ED（已知），
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠C=180°-80°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题，核心是通过两组平行关系逐步推导未知角和已知角的数量关系，解题时要准确识别平行线所截形成的角的位置关系，避免混淆内错角、同旁内角的对应性质。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的平行关系入手：首先由AB//CD，利用平行线的内错角相等性质，可得出∠C与已知角∠B相等，得到∠C的度数；再结合BC//ED的条件，利用平行线的同旁内角互补性质，可知∠C与∠D之和为180°，代入∠C的度数即可求出∠D的大小。
【解析】
解：
∵AB//CD，∠B=80°（已知），
根据“两直线平行，内错角相等”，可得：
∠C=∠B=80°，
又
∵BC//ED（已知），
根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得：
∠C+∠D=180°，
∴∠D=180°-∠C=180°-80°=100°。
【答案】
100°
【知识点】
两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题，核心是通过两组平行关系逐步推导未知角和已知角的数量关系，解题时要准确识别平行线所截形成的角的位置关系，避免混淆内错角、同旁内角的对应性质。
【难度系数】
0.8
6.(教材 P194 习题 T6 变式)如图,已知 AB//CD,AD//BC,则∠B 与∠D 相等吗? 请说明理由.
答案
6.解:$∠ B=∠ D$. 理由如下:$\because AB// CD,\therefore ∠ D+∠ A=180°$.$\because AD// BC,\therefore ∠ B+∠ A=180°.\therefore ∠ B=∠ D$.
解析
【分析】
要判断∠B与∠D是否相等，可结合已知的两组平行关系，利用平行线的性质推导角的数量关系：首先根据AB//CD，可得∠D与∠A互补；再根据AD//BC，可得∠B与∠A互补。此时∠B和∠D都是∠A的补角，根据同角的补角相等，即可得出∠B与∠D的大小关系。
【解析】
解：∠B=∠D，理由如下：
∵ AB//CD，
∴ ∠D + ∠A = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ AD//BC，
∴ ∠B + ∠A = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ ∠B = ∠D（同角的补角相等）。
【答案】
∠B=∠D
【知识点】
平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题，解题核心是借助公共角∠A搭建∠B和∠D的数量关系，需要熟练掌握平行线的同旁内角性质以及补角的相关性质，为后续复杂的几何角度推导打下基础。
【难度系数】
0.9
要判断∠B与∠D是否相等，可结合已知的两组平行关系，利用平行线的性质推导角的数量关系：首先根据AB//CD，可得∠D与∠A互补；再根据AD//BC，可得∠B与∠A互补。此时∠B和∠D都是∠A的补角，根据同角的补角相等，即可得出∠B与∠D的大小关系。
【解析】
解：∠B=∠D，理由如下：
∵ AB//CD，
∴ ∠D + ∠A = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∵ AD//BC，
∴ ∠B + ∠A = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
∴ ∠B = ∠D（同角的补角相等）。
【答案】
∠B=∠D
【知识点】
平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题，解题核心是借助公共角∠A搭建∠B和∠D的数量关系，需要熟练掌握平行线的同旁内角性质以及补角的相关性质，为后续复杂的几何角度推导打下基础。
【难度系数】
0.9
7. 如图，AB与CD相交于点O.若∠A=∠B=30°,∠C=50°,则∠D=（
A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
D
）A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
答案
7.D
解析
【分析】
解题时先观察角的位置关系：已知∠A=∠B，二者是直线AC、BD被AB所截形成的内错角，根据内错角相等可判定AC//BD；再结合平行线的性质，两直线平行内错角相等，∠C和∠D是AC、BD被CD所截的内错角，即可推出∠D=∠C，代入已知角度即可得结果。也可利用对顶角相等结合三角形内角和定理推导，两种方法均可快速求解。
【解析】
方法1（利用平行线知识求解）：
∵∠A=∠B=30°（已知），
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠C=50°（已知），
∴∠D=50°。
方法2（利用三角形内角和求解）：
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形内角和为180°），
在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和为180°），
又
∵∠A=∠B，
∴∠D=∠C=50°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，考查平行线的判定、性质的应用，也可通过三角形内角和结合对顶角性质求解，解题关键是准确识别角的位置关系，灵活选择简便的解题方法。
【难度系数】
0.8
解题时先观察角的位置关系：已知∠A=∠B，二者是直线AC、BD被AB所截形成的内错角，根据内错角相等可判定AC//BD；再结合平行线的性质，两直线平行内错角相等，∠C和∠D是AC、BD被CD所截的内错角，即可推出∠D=∠C，代入已知角度即可得结果。也可利用对顶角相等结合三角形内角和定理推导，两种方法均可快速求解。
【解析】
方法1（利用平行线知识求解）：
∵∠A=∠B=30°（已知），
∴AC//BD（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠C（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠C=50°（已知），
∴∠D=50°。
方法2（利用三角形内角和求解）：
∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD（对顶角相等）。
在△AOC中，∠A+∠C+∠AOC=180°（三角形内角和为180°），
在△BOD中，∠B+∠D+∠BOD=180°（三角形内角和为180°），
又
∵∠A=∠B，
∴∠D=∠C=50°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定与性质；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何题，考查平行线的判定、性质的应用，也可通过三角形内角和结合对顶角性质求解，解题关键是准确识别角的位置关系，灵活选择简便的解题方法。
【难度系数】
0.8
8. 如图，若$∠ A + ∠ ABC = 180°$，则下列结论正确的是（
A.$∠1=∠2$
B.$∠2=∠3$
C.$∠1=∠3$
D.$∠2=∠4$
D
）A.$∠1=∠2$
B.$∠2=∠3$
C.$∠1=∠3$
D.$∠2=∠4$
答案
8.D
解析
【分析】
解题首先从已知条件$∠ A + ∠ ABC = 180°$入手，回忆平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，可判定$AD$和$BC$平行。接下来$AD// BC$时，$BD$是两条平行线的截线，$∠ 2$和$∠ 4$是$AD$、$BC$被$BD$所截形成的内错角，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到$∠ 2=∠ 4$。其余选项的角关系没有对应的平行条件支撑，即可排除。
【解析】
解：$\because ∠ A + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
又$\because BD$是截线，$∠ 2$与$∠ 4$是$AD$、$BC$被$BD$所截的内错角，
$\therefore ∠ 2=∠ 4$（两直线平行，内错角相等）。
A选项：$∠ 1=∠ 2$需$AB// CD$才能推出，题目无该条件，错误；
B、C选项：$∠ 2$与$∠ 3$、$∠ 1$与$∠ 3$的等量关系无推导依据，错误。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角
【点评】
本题是平行线判定和性质的基础应用题，解题的核心是先根据已知角的关系判定平行，再由平行推导对应角的关系，要注意准确区分不同平行线对应的截线和角的位置，不要混淆不同组平行的角的性质。
【难度系数】
0.8
解题首先从已知条件$∠ A + ∠ ABC = 180°$入手，回忆平行线的判定定理：同旁内角互补，两直线平行，可判定$AD$和$BC$平行。接下来$AD// BC$时，$BD$是两条平行线的截线，$∠ 2$和$∠ 4$是$AD$、$BC$被$BD$所截形成的内错角，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，即可得到$∠ 2=∠ 4$。其余选项的角关系没有对应的平行条件支撑，即可排除。
【解析】
解：$\because ∠ A + ∠ ABC = 180°$，
$\therefore AD// BC$（同旁内角互补，两直线平行），
又$\because BD$是截线，$∠ 2$与$∠ 4$是$AD$、$BC$被$BD$所截的内错角，
$\therefore ∠ 2=∠ 4$（两直线平行，内错角相等）。
A选项：$∠ 1=∠ 2$需$AB// CD$才能推出，题目无该条件，错误；
B、C选项：$∠ 2$与$∠ 3$、$∠ 1$与$∠ 3$的等量关系无推导依据，错误。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；内错角
【点评】
本题是平行线判定和性质的基础应用题，解题的核心是先根据已知角的关系判定平行，再由平行推导对应角的关系，要注意准确区分不同平行线对应的截线和角的位置，不要混淆不同组平行的角的性质。
【难度系数】
0.8
