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9.补全求解过程,并在括号内填写根据.
如图,AB//CD,∠1=∠2,∠3=60°,求∠A的度数.
解:∵∠1=∠2(已知),
∴CD//EF(
∵AB//CD(已知),
∴
∴∠A=∠3(
∵∠3=60°(已知),
∴∠A=60°(等量代换).
如图,AB//CD,∠1=∠2,∠3=60°,求∠A的度数.
解:∵∠1=∠2(已知),
∴CD//EF(
内错角相等,两直线平行
).∵AB//CD(已知),
∴
$AB// EF$
(平行于同一条直线的两条直线平行).∴∠A=∠3(
两直线平行,同位角相等
).∵∠3=60°(已知),
∴∠A=60°(等量代换).
答案
9.内错角相等,两直线平行 $AB// EF$ 两直线平行,同位角相等
解析
【分析】
解题时先从已知条件∠1=∠2入手，∠1和∠2是直线CD、EF被DF所截形成的内错角，根据平行线的判定定理可推出CD//EF；再结合已知AB//CD，依据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB和EF平行；最后∠A和∠3是直线AB、EF被AE所截形成的同位角，根据平行线的性质可得∠A=∠3，代入∠3的度数即可求出∠A的数值。
【解析】
解:
∵∠1=∠2(已知),
∴CD//EF(内错角相等,两直线平行).
∵AB//CD(已知),
∴ $\boldsymbol{AB// EF}$ (平行于同一条直线的两条直线平行).
∴∠A=∠3(两直线平行,同位角相等).
∵∠3=60°(已知),
∴∠A=60°(等量代换).
【答案】
内错角相等,两直线平行；$AB// EF$；两直线平行,同位角相等
【知识点】
平行线的判定；平行线的传递性；平行线的性质
【点评】
本题是平行线相关定理的基础应用题型，解题时需要准确区分平行线的判定和性质的适用场景，能正确识别内错角、同位角等特殊位置关系的角是顺利解题的前提。
【难度系数】
0.9
解题时先从已知条件∠1=∠2入手，∠1和∠2是直线CD、EF被DF所截形成的内错角，根据平行线的判定定理可推出CD//EF；再结合已知AB//CD，依据平行于同一条直线的两条直线平行，可得AB和EF平行；最后∠A和∠3是直线AB、EF被AE所截形成的同位角，根据平行线的性质可得∠A=∠3，代入∠3的度数即可求出∠A的数值。
【解析】
解:
∵∠1=∠2(已知),
∴CD//EF(内错角相等,两直线平行).
∵AB//CD(已知),
∴ $\boldsymbol{AB// EF}$ (平行于同一条直线的两条直线平行).
∴∠A=∠3(两直线平行,同位角相等).
∵∠3=60°(已知),
∴∠A=60°(等量代换).
【答案】
内错角相等,两直线平行；$AB// EF$；两直线平行,同位角相等
【知识点】
平行线的判定；平行线的传递性；平行线的性质
【点评】
本题是平行线相关定理的基础应用题型，解题时需要准确区分平行线的判定和性质的适用场景，能正确识别内错角、同位角等特殊位置关系的角是顺利解题的前提。
【难度系数】
0.9
10.已知两个角有一条边在同一条直线上，且另一边互相平行.若其中一个角的度数为$60°$，则另外一个角的度数为
$60°或120°$
.答案
10.$60°或120°$
解析
【分析】
遇到无明确图形的几何位置关系题，首先要分类讨论所有可能的位置情况。本题已知两个角一边共线、另一边互相平行，结合平行线的性质，存在两种位置关系：一种是两个角为同位角/内错角，此时两角相等；另一种是两个角为同旁内角，此时两角互补，分别计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当两个角的位置为同位角或内错角时，根据“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”，可得另一个角的度数与已知角相等，即$60°$；
2. 当两个角的位置为同旁内角时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得另一个角的度数为$180° - 60° = 120°$。
综上，另一个角的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略其中一种位置关系导致漏解，做无图几何题时要主动考虑所有符合条件的位置情况，结合相关性质完整求解。
【难度系数】
0.7
遇到无明确图形的几何位置关系题，首先要分类讨论所有可能的位置情况。本题已知两个角一边共线、另一边互相平行，结合平行线的性质，存在两种位置关系：一种是两个角为同位角/内错角，此时两角相等；另一种是两个角为同旁内角，此时两角互补，分别计算即可得到结果。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当两个角的位置为同位角或内错角时，根据“两直线平行，同位角相等”“两直线平行，内错角相等”，可得另一个角的度数与已知角相等，即$60°$；
2. 当两个角的位置为同旁内角时，根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得另一个角的度数为$180° - 60° = 120°$。
综上，另一个角的度数为$60°$或$120°$。
【答案】
$60°$或$120°$
【知识点】
平行线的性质；分类讨论思想
【点评】
本题是易错题，解题时容易忽略其中一种位置关系导致漏解，做无图几何题时要主动考虑所有符合条件的位置情况，结合相关性质完整求解。
【难度系数】
0.7
11.当光从一种介质射向另一种介质时，光线会发生折射，不同介质的折射率不同.如图，水平放置的水槽中装有适量水，空气中两条平行光线射入水中，两条折射光线也互相平行.若∠1=110°，则∠2的度数为 （
A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
A
）A.70°
B.60°
C.50°
D.40°
答案
11.A
解析
【分析】
解决本题需要先提取题目中的平行条件：入射光线互相平行、折射光线互相平行，水平放置的水槽水面和底部也互相平行。首先计算∠1的邻补角得到入射光线与水面在水下形成的锐角，再结合平行线的性质，即可推导出∠2的度数。
【解析】
已知∠1=110°，根据邻补角的和为180°，可得入射光线与水面在水下一侧的夹角为：$180°-110°=70°$。
由题意得：两条入射光线平行，两条折射光线平行，且水槽水平放置，水面与水槽底部互相平行。根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可得折射光线与水面的夹角和折射光线与槽底的夹角∠2相等，因此$∠ 2=70°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题结合光的折射情景考查平行线的性质，需要学生从题干和图形中提取平行的已知条件，再结合角度的基本运算求解，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
解决本题需要先提取题目中的平行条件：入射光线互相平行、折射光线互相平行，水平放置的水槽水面和底部也互相平行。首先计算∠1的邻补角得到入射光线与水面在水下形成的锐角，再结合平行线的性质，即可推导出∠2的度数。
【解析】
已知∠1=110°，根据邻补角的和为180°，可得入射光线与水面在水下一侧的夹角为：$180°-110°=70°$。
由题意得：两条入射光线平行，两条折射光线平行，且水槽水平放置，水面与水槽底部互相平行。根据平行线“两直线平行，同位角相等”的性质，可得折射光线与水面的夹角和折射光线与槽底的夹角∠2相等，因此$∠ 2=70°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，邻补角的定义
【点评】
本题结合光的折射情景考查平行线的性质，需要学生从题干和图形中提取平行的已知条件，再结合角度的基本运算求解，注重对基础性质的应用考查。
【难度系数】
0.8
12.如图，$l// AB$，$∠ A=2∠ B$.若$∠1=108°$，则$∠2$的度数为 （
A.$36°$
B.$46°$
C.$72°$
D.$82°$
A
）A.$36°$
B.$46°$
C.$72°$
D.$82°$
答案
12.A
解析
【分析】
解题思路可分三步展开：第一步，由直线$l$平行于$AB$，结合平行线同旁内角互补的性质，可建立$∠ 1$与$∠ A$的和为$180°$的关系，代入$∠ 1$的度数就能求出$∠ A$的大小；第二步，根据已知$∠ A=2∠ B$的数量关系，代入$∠ A$的度数即可算出$∠ B$的大小；第三步，再次利用平行线的性质，判断出$∠ 2$与$∠ B$是内错角，两直线平行内错角相等，即可得到$∠ 2$的度数。
【解析】
解：$\because l// AB$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ A = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ 1=108°$，
$\therefore ∠ A = 180° - 108° = 72°$，
又$\because ∠ A = 2∠ B$，
$\therefore ∠ B = ∠ A ÷ 2 = 72° ÷ 2 = 36°$，
$\because l// AB$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ B$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 2 = 36°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，解题时需要准确识别平行线被截线所形成的同旁内角、内错角等特殊位置关系的角，结合已知角度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
解题思路可分三步展开：第一步，由直线$l$平行于$AB$，结合平行线同旁内角互补的性质，可建立$∠ 1$与$∠ A$的和为$180°$的关系，代入$∠ 1$的度数就能求出$∠ A$的大小；第二步，根据已知$∠ A=2∠ B$的数量关系，代入$∠ A$的度数即可算出$∠ B$的大小；第三步，再次利用平行线的性质，判断出$∠ 2$与$∠ B$是内错角，两直线平行内错角相等，即可得到$∠ 2$的度数。
【解析】
解：$\because l// AB$，
$\therefore ∠ 1 + ∠ A = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ 1=108°$，
$\therefore ∠ A = 180° - 108° = 72°$，
又$\because ∠ A = 2∠ B$，
$\therefore ∠ B = ∠ A ÷ 2 = 72° ÷ 2 = 36°$，
$\because l// AB$，
$\therefore ∠ 2 = ∠ B$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠ 2 = 36°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，角的和差计算
【点评】
本题是平行线性质的基础应用题，解题时需要准确识别平行线被截线所形成的同旁内角、内错角等特殊位置关系的角，结合已知角度关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
13.(教材P197复习题T7变式)如图,直线CD,EF被直线OA,OB所截,$∠ 1 + ∠ 2 = 180°$.若$∠ 3 = 100°$,则$∠ 4$的度数为
$100°$
.答案
13.$100°$
解析
【分析】
解题时首先从已知条件∠1+∠2=180°入手，结合邻补角和为180°的性质，可推出与∠1同位的角和∠1相等，从而依据“同位角相等，两直线平行”判定CD//EF；再观察∠3和∠4的位置，二者是直线CD、EF被OB所截形成的同位角，根据平行线的性质即可得到∠4和∠3的等量关系，代入∠3的度数即可求解。
【解析】
解：
∵∠2与它在OA下方、EF左侧的邻补角互补，
∴∠2 + 该邻补角 = 180°，
又
∵∠1 + ∠2 = 180°，
∴∠1 = 该邻补角（同角的补角相等），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），
∵CD//EF，∠3和∠4是CD、EF被OB所截得的同位角，
∴∠4 = ∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠3 = 100°，
∴∠4 = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，需要准确识别同位角的位置，区分平行线判定和性质的使用场景：由角的关系推平行用判定定理，由平行推角的关系用性质定理。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件∠1+∠2=180°入手，结合邻补角和为180°的性质，可推出与∠1同位的角和∠1相等，从而依据“同位角相等，两直线平行”判定CD//EF；再观察∠3和∠4的位置，二者是直线CD、EF被OB所截形成的同位角，根据平行线的性质即可得到∠4和∠3的等量关系，代入∠3的度数即可求解。
【解析】
解：
∵∠2与它在OA下方、EF左侧的邻补角互补，
∴∠2 + 该邻补角 = 180°，
又
∵∠1 + ∠2 = 180°，
∴∠1 = 该邻补角（同角的补角相等），
∴CD//EF（同位角相等，两直线平行），
∵CD//EF，∠3和∠4是CD、EF被OB所截得的同位角，
∴∠4 = ∠3（两直线平行，同位角相等），
∵∠3 = 100°，
∴∠4 = 100°。
【答案】
100°
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；补角的性质
【点评】
本题是平行线判定与性质的基础综合题，需要准确识别同位角的位置，区分平行线判定和性质的使用场景：由角的关系推平行用判定定理，由平行推角的关系用性质定理。
【难度系数】
0.8
14.用一张等宽的纸条折成如图所示的图案.若$∠ 1=20°$,则$∠ 2$的度数为
$140°$
. 答案
14.$140°$
解析
【分析】
解决这道题首先要抓住两个核心条件：一是等宽纸条的对边互相平行，二是折叠前后对应角相等。我们先根据平行线的性质得到相等的角，再结合折叠的性质，找到与∠2共顶点的几个角的数量关系，利用平角为180°的性质即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 等宽纸条的对边互相平行，结合折叠的性质可知，折叠后与∠1相等的角共有2个，且这两个角与∠2共同组成一个平角，
∴ ∠2 + 2∠1 = 180°，
已知∠1=20°，代入得：
∠2 = 180° - 2×20° = 180° - 40° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题的关键是明确折叠前后对应角相等，结合平行线的性质梳理清楚各个角之间的数量关系，属于角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要抓住两个核心条件：一是等宽纸条的对边互相平行，二是折叠前后对应角相等。我们先根据平行线的性质得到相等的角，再结合折叠的性质，找到与∠2共顶点的几个角的数量关系，利用平角为180°的性质即可求出∠2的度数。
【解析】
∵ 等宽纸条的对边互相平行，结合折叠的性质可知，折叠后与∠1相等的角共有2个，且这两个角与∠2共同组成一个平角，
∴ ∠2 + 2∠1 = 180°，
已知∠1=20°，代入得：
∠2 = 180° - 2×20° = 180° - 40° = 140°。
【答案】
140°
【知识点】
平行线的性质，折叠的性质，平角的定义
【点评】
本题是折叠类角度计算的典型题型，解题的关键是明确折叠前后对应角相等，结合平行线的性质梳理清楚各个角之间的数量关系，属于角度计算的常考题型。
【难度系数】
0.7
15. 图1是汝窑天蓝釉刻花鹅颈瓶，图2是抽象出来的外部轮廓图，AB//EF.若AH//FG，∠A=80°,则∠F的度数为
$100°$
.答案
15.$100°$
解析
【分析】
本题已知两组平行线和∠A的度数，要求∠F的度数，解题的关键是通过构造辅助线将已知角和未知角利用平行线的性质建立关联。首先我们可以延长AH与EF相交，构造出内错角和同旁内角，再结合平行线“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”的性质，逐步推导得到∠F的度数。
【解析】
解：延长AH交EF于点M。
∵ AB//EF（已知），
∴ ∠A = ∠AMF = 80°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ AH//FG（已知），即AM//FG，
∴ ∠AMF + ∠F = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
代入∠AMF=80°得：
∠F = 180° - 80° = 100°。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；内错角相等；同旁内角互补
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题型，通过构造辅助线将折线问题转化为常规的平行线截线问题，是解决这类折线类平行线问题的常用思路，需要熟练掌握平行线的性质并灵活运用辅助线构造角的数量关系。
【难度系数】
0.7
本题已知两组平行线和∠A的度数，要求∠F的度数，解题的关键是通过构造辅助线将已知角和未知角利用平行线的性质建立关联。首先我们可以延长AH与EF相交，构造出内错角和同旁内角，再结合平行线“两直线平行，内错角相等”“两直线平行，同旁内角互补”的性质，逐步推导得到∠F的度数。
【解析】
解：延长AH交EF于点M。
∵ AB//EF（已知），
∴ ∠A = ∠AMF = 80°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ AH//FG（已知），即AM//FG，
∴ ∠AMF + ∠F = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
代入∠AMF=80°得：
∠F = 180° - 80° = 100°。
【答案】
$100°$
【知识点】
平行线的性质；内错角相等；同旁内角互补
【点评】
本题属于平行线性质的基础应用题型，通过构造辅助线将折线问题转化为常规的平行线截线问题，是解决这类折线类平行线问题的常用思路，需要熟练掌握平行线的性质并灵活运用辅助线构造角的数量关系。
【难度系数】
0.7
16.如图,在$△ ABC$中,$∠ AGF=∠ ABC$,$∠ 1+∠ 2=180°$.
(1)求证:$DE// BF$.
(2)若$BF$平分$∠ ABC$,$DE⊥ AC$于点$E$,$∠ AGF=84°$,求$∠ AFG$的度数.
(1)求证:$DE// BF$.
(2)若$BF$平分$∠ ABC$,$DE⊥ AC$于点$E$,$∠ AGF=84°$,求$∠ AFG$的度数.
答案
16.解:(1)证明:$\because ∠ AGF=∠ ABC,\therefore FG// BC.\therefore ∠ 1=∠ DBF$.$\because ∠ 1+∠ 2=180°,\therefore ∠ DBF+∠ 2=180°.\therefore DE// BF$.(2)由(1)知,$DE// BF$,$∠ 1=∠ DBF$.$\because DE⊥ AC,\therefore ∠ AFB=∠ AED=90°$.$\because ∠ AGF=∠ ABC=84°$,$BF$平分$∠ ABC$,$\therefore ∠ DBF=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2}×84°=42°$.$\therefore ∠ 1=42°$.$\therefore ∠ AFG=∠ AFB-∠ 1=90°-42°=48°$.
解析
【分析】
(1) 要证明$DE// BF$，先由已知$∠AGF=∠ABC$，根据同位角相等两直线平行可推出$FG// BC$，得到$∠1=∠DBF$；再结合$∠1+∠2=180°$，等量代换得$∠DBF+∠2=180°$，根据同旁内角互补两直线平行即可得证。
(2) 求$∠AFG$的度数，首先由$DE⊥AC$和(1)的结论$DE// BF$，可推出$BF⊥AC$，即$∠AFB=90°$；再结合$BF$平分$∠ABC$、$∠AGF=∠ABC=84°$，求出$∠DBF$的度数，由(1)知$∠1=∠DBF$，最后用$∠AFB$减去$∠1$即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠AGF=∠ABC$，
$\therefore FG// BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠1=∠DBF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠1+∠2=180°$，
$\therefore ∠DBF+∠2=180°$（等量代换），
$\therefore DE// BF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：
由(1)知$DE// BF$，$∠1=∠DBF$，
$\because DE⊥AC$，
$\therefore ∠AED=90°$，
$\therefore ∠AFB=∠AED=90°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠AGF=∠ABC=84°$，$BF$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠DBF=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×84°=42°$，
$\therefore ∠1=42°$，
$\therefore ∠AFG=∠AFB-∠1=90°-42°=48°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{48°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的性质
【点评】
本题是平行线相关知识的基础综合题，解题关键是灵活运用平行线的判定定理和性质推导边角关系，第二问需结合第一问的结论逐步推导角度，能很好地巩固平行线的核心知识点。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明$DE// BF$，先由已知$∠AGF=∠ABC$，根据同位角相等两直线平行可推出$FG// BC$，得到$∠1=∠DBF$；再结合$∠1+∠2=180°$，等量代换得$∠DBF+∠2=180°$，根据同旁内角互补两直线平行即可得证。
(2) 求$∠AFG$的度数，首先由$DE⊥AC$和(1)的结论$DE// BF$，可推出$BF⊥AC$，即$∠AFB=90°$；再结合$BF$平分$∠ABC$、$∠AGF=∠ABC=84°$，求出$∠DBF$的度数，由(1)知$∠1=∠DBF$，最后用$∠AFB$减去$∠1$即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
$\because ∠AGF=∠ABC$，
$\therefore FG// BC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠1=∠DBF$（两直线平行，内错角相等）。
$\because ∠1+∠2=180°$，
$\therefore ∠DBF+∠2=180°$（等量代换），
$\therefore DE// BF$（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 解：
由(1)知$DE// BF$，$∠1=∠DBF$，
$\because DE⊥AC$，
$\therefore ∠AED=90°$，
$\therefore ∠AFB=∠AED=90°$（两直线平行，同位角相等）。
$\because ∠AGF=∠ABC=84°$，$BF$平分$∠ABC$，
$\therefore ∠DBF=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2}×84°=42°$，
$\therefore ∠1=42°$，
$\therefore ∠AFG=∠AFB-∠1=90°-42°=48°$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{48°}$
【知识点】
平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂线的性质
【点评】
本题是平行线相关知识的基础综合题，解题关键是灵活运用平行线的判定定理和性质推导边角关系，第二问需结合第一问的结论逐步推导角度，能很好地巩固平行线的核心知识点。
【难度系数】
0.7
