登录
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$M$是$BC$的中点,$MD⊥ AB$于点$D$,试说明:$AD^2=AC^2+BD^2$.
答案
7.证明：连接AM，
∵ $∠C=90°$，
∴ $AM^2=AC^2+CM^2$，
∵ $MD⊥AB$，
∴ $AM^2=AD^2+MD^2$，$BM^2=BD^2+MD^2$，
∵ M是BC中点，
∴ $CM=BM$，
代入得：$AC^2+BM^2=AD^2+MD^2$，将$BM^2=BD^2+MD^2$代入，
得$AC^2+BD^2+MD^2=AD^2+MD^2$，消去$MD^2$，即得$AD^2=AC^2+BD^2$。
∵ $∠C=90°$，
∴ $AM^2=AC^2+CM^2$，
∵ $MD⊥AB$，
∴ $AM^2=AD^2+MD^2$，$BM^2=BD^2+MD^2$，
∵ M是BC中点，
∴ $CM=BM$，
代入得：$AC^2+BM^2=AD^2+MD^2$，将$BM^2=BD^2+MD^2$代入，
得$AC^2+BD^2+MD^2=AD^2+MD^2$，消去$MD^2$，即得$AD^2=AC^2+BD^2$。
解析
【分析】
要证明线段平方之间的等量关系，优先考虑勾股定理。观察待证式中的线段AD、AC、BD不在同一个直角三角形中，因此需要添加辅助线构造直角三角形，把分散的线段联系起来：连接AM后，可得到Rt△ACM、Rt△AMD、Rt△BMD三个直角三角形，分别用勾股定理写出各边平方的表达式，再结合M是BC中点（CM=BM）的条件，通过等量代换消去公共的中间量，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：连接AM，
∵ $∠C=90°$，
∴ 在Rt△ACM中，由勾股定理得：$AM^2=AC^2+CM^2$，
∵ $MD⊥AB$，
∴ 在Rt△AMD中，由勾股定理得：$AM^2=AD^2+MD^2$，
在Rt△BMD中，由勾股定理得：$BM^2=BD^2+MD^2$，
∵ M是BC的中点，
∴ $CM=BM$，
将$CM=BM$代入$AM^2=AC^2+CM^2$，可得$AC^2+BM^2=AD^2+MD^2$，
再把$BM^2=BD^2+MD^2$代入上式得：
$AC^2+BD^2+MD^2=AD^2+MD^2$，
等式两边同时减去$MD^2$，即可得到$AD^2=AC^2+BD^2$。
【答案】
$AD^2=AC^2+BD^2$
【知识点】
勾股定理；线段中点的定义；等量代换
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题的核心是合理添加辅助线构造直角三角形，将分散的线段平方关系通过勾股定理建立关联，再借助等量代换消去中间量得到结论，能够有效考查对勾股定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
要证明线段平方之间的等量关系，优先考虑勾股定理。观察待证式中的线段AD、AC、BD不在同一个直角三角形中，因此需要添加辅助线构造直角三角形，把分散的线段联系起来：连接AM后，可得到Rt△ACM、Rt△AMD、Rt△BMD三个直角三角形，分别用勾股定理写出各边平方的表达式，再结合M是BC中点（CM=BM）的条件，通过等量代换消去公共的中间量，即可推导出要证明的结论。
【解析】
证明：连接AM，
∵ $∠C=90°$，
∴ 在Rt△ACM中，由勾股定理得：$AM^2=AC^2+CM^2$，
∵ $MD⊥AB$，
∴ 在Rt△AMD中，由勾股定理得：$AM^2=AD^2+MD^2$，
在Rt△BMD中，由勾股定理得：$BM^2=BD^2+MD^2$，
∵ M是BC的中点，
∴ $CM=BM$，
将$CM=BM$代入$AM^2=AC^2+CM^2$，可得$AC^2+BM^2=AD^2+MD^2$，
再把$BM^2=BD^2+MD^2$代入上式得：
$AC^2+BD^2+MD^2=AD^2+MD^2$，
等式两边同时减去$MD^2$，即可得到$AD^2=AC^2+BD^2$。
【答案】
$AD^2=AC^2+BD^2$
【知识点】
勾股定理；线段中点的定义；等量代换
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题的核心是合理添加辅助线构造直角三角形，将分散的线段平方关系通过勾股定理建立关联，再借助等量代换消去中间量得到结论，能够有效考查对勾股定理的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
8. 如图，正方形网格中是直角三角形的是（
A.①
B.②
C.③
D.①②
A
）A.①
B.②
C.③
D.①②
答案
8.A
解析
【分析】要判断网格中的三角形是否为直角三角形，我们可以先设每个小正方形的边长为1，借助勾股定理分别算出三个三角形各条边长度的平方，再根据勾股定理的逆定理，验证是否存在两边的平方和等于第三边的平方，满足该条件的就是直角三角形。
【解析】设每个小正方形的边长为1，分别计算三个三角形各边的平方：
1. 对于三角形①：三条边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$2^2=4$，$3^2=9$，因为$4+5=9$，符合勾股定理的逆定理，所以①是直角三角形；
2. 对于三角形②：三条边的平方分别为$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，$3^2+4^2=25$，$10+13=23≠25$，不符合勾股定理的逆定理，所以②不是直角三角形；
3. 对于三角形③：三条边的平方分别为$1^2+1^2=2$，$3^2=9$，$2^2+3^2=13$，$2+9=11≠13$，不符合勾股定理的逆定理，所以③不是直角三角形。
综上，只有①是直角三角形。
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的核心是准确计算网格中三角形各边的平方，再通过逆定理判断三角形形状，属于基础类的几何判断题。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1，分别计算三个三角形各边的平方：
1. 对于三角形①：三条边的平方分别为$1^2+2^2=5$，$2^2=4$，$3^2=9$，因为$4+5=9$，符合勾股定理的逆定理，所以①是直角三角形；
2. 对于三角形②：三条边的平方分别为$1^2+3^2=10$，$2^2+3^2=13$，$3^2+4^2=25$，$10+13=23≠25$，不符合勾股定理的逆定理，所以②不是直角三角形；
3. 对于三角形③：三条边的平方分别为$1^2+1^2=2$，$3^2=9$，$2^2+3^2=13$，$2+9=11≠13$，不符合勾股定理的逆定理，所以③不是直角三角形。
综上，只有①是直角三角形。
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的核心是准确计算网格中三角形各边的平方，再通过逆定理判断三角形形状，属于基础类的几何判断题。
【难度系数】0.7
9. A教材经典方法·古埃及绳结法 如图，古埃及人用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第5个结和第10个结，拉紧绳子就可得到一个直角三角形。其中蕴含的数学原理是（
A.两角互余的三角形是直角三角形
B.有一个角是直角的三角形是直角三角形
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D.如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
D
）A.两角互余的三角形是直角三角形
B.有一个角是直角的三角形是直角三角形
C.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方
D.如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
答案
9.D
解析：得到的三角形三边长为3、4、5，满足$3^2+4^2=5^2$，依据勾股定理逆定理判定为直角三角形。
解析：得到的三角形三边长为3、4、5，满足$3^2+4^2=5^2$，依据勾股定理逆定理判定为直角三角形。
解析
【分析】
解题时首先确定拉紧后三角形的三边长度：绳子被13个结分成12等份，可设每等份长度为1，通过计算三个握住的结之间的段数得到三边长；接着计算三边的平方，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方；最后结合选项判断对应原理，注意区分勾股定理和其逆定理的逻辑：勾股定理是已知直角三角形得到边的平方关系，本题是先知道边的平方关系，判定三角形是直角三角形，对应勾股定理的逆定理。
【解析】
设相邻两个结之间的绳子长度为1：
1. 计算三角形三边长：
第1个结到第5个结的长度：$5-1=4$
第5个结到第10个结的长度：$10-5=5$
第10个结到第13个结的长度：$13-10=3$
可得三角形三边长为3、4、5。
2. 验证三边平方关系：
计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，因此满足$3^2+4^2=5^2$。
3. 逐一分析选项：
A选项：本题未涉及两个锐角互余的推导，不符合；
B选项：本题事先不知道三角形有直角，是通过边的关系推导得到直角，不符合；
C选项：该表述是勾股定理，属于直角三角形的性质，前提为已知三角形是直角三角形，与本题逻辑相反，不符合；
D选项：该表述是勾股定理的逆定理，符合本题通过边的平方关系判定三角形为直角三角形的逻辑，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题以古埃及绳结法为背景，考查勾股定理逆定理的实际应用，解题关键是准确计算三角形三边长，同时要明确区分勾股定理（性质）和其逆定理（判定）的适用场景，避免二者混淆。
【难度系数】
0.7
解题时首先确定拉紧后三角形的三边长度：绳子被13个结分成12等份，可设每等份长度为1，通过计算三个握住的结之间的段数得到三边长；接着计算三边的平方，验证两条短边的平方和是否等于最长边的平方；最后结合选项判断对应原理，注意区分勾股定理和其逆定理的逻辑：勾股定理是已知直角三角形得到边的平方关系，本题是先知道边的平方关系，判定三角形是直角三角形，对应勾股定理的逆定理。
【解析】
设相邻两个结之间的绳子长度为1：
1. 计算三角形三边长：
第1个结到第5个结的长度：$5-1=4$
第5个结到第10个结的长度：$10-5=5$
第10个结到第13个结的长度：$13-10=3$
可得三角形三边长为3、4、5。
2. 验证三边平方关系：
计算得$3^2+4^2=9+16=25$，$5^2=25$，因此满足$3^2+4^2=5^2$。
3. 逐一分析选项：
A选项：本题未涉及两个锐角互余的推导，不符合；
B选项：本题事先不知道三角形有直角，是通过边的关系推导得到直角，不符合；
C选项：该表述是勾股定理，属于直角三角形的性质，前提为已知三角形是直角三角形，与本题逻辑相反，不符合；
D选项：该表述是勾股定理的逆定理，符合本题通过边的平方关系判定三角形为直角三角形的逻辑，符合要求。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形的判定；勾股定理
【点评】
本题以古埃及绳结法为背景，考查勾股定理逆定理的实际应用，解题关键是准确计算三角形三边长，同时要明确区分勾股定理（性质）和其逆定理（判定）的适用场景，避免二者混淆。
【难度系数】
0.7
10. 新考向·开放性问题 将勾股数3,4,5扩大到原来的2倍、3倍、4倍……可以得到勾股数6,8,10;9,12,15;12,16,20,…,我们把3,4,5这样的勾股数称为基本勾股数,请你写出两组不同于以上所给出的基本勾股数:
5,12,13；7,24,25（答案不唯一）
.答案
10.5,12,13；7,24,25（答案不唯一）
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确基本勾股数的两个核心要求：一是三个数均为正整数，且满足勾股定理（较小两数的平方和等于最大数的平方）；二是不能是题目所给3,4,5的整数倍，即无法通过放大已知基本勾股数得到。我们可以回忆常见的满足条件的勾股数，或自行推导验证：先选一个不是3的倍数的正整数作为最小边，再寻找另外两个正整数满足平方和关系，且三个数没有公共的大于1的因数即可。
【解析】
首先明确基本勾股数的定义：满足勾股定理，且三个数的最大公因数为1的正整数组。
1. 第一组选取5,12,13：验证得$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足勾股定理，且三个数不是3,4,5的整数倍，符合要求；
2. 第二组选取7,24,25：验证得$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，满足勾股定理，且三个数不是3,4,5的整数倍，符合要求。
（答案不唯一，8,15,17等也符合要求）
【答案】
5,12,13；7,24,25（答案不唯一）
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对基本勾股数概念的理解，只要熟练掌握勾股定理和勾股数的特征，结合常见的勾股数积累即可正确作答，解题时注意不要写出3,4,5的整数倍的勾股数即可。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确基本勾股数的两个核心要求：一是三个数均为正整数，且满足勾股定理（较小两数的平方和等于最大数的平方）；二是不能是题目所给3,4,5的整数倍，即无法通过放大已知基本勾股数得到。我们可以回忆常见的满足条件的勾股数，或自行推导验证：先选一个不是3的倍数的正整数作为最小边，再寻找另外两个正整数满足平方和关系，且三个数没有公共的大于1的因数即可。
【解析】
首先明确基本勾股数的定义：满足勾股定理，且三个数的最大公因数为1的正整数组。
1. 第一组选取5,12,13：验证得$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，满足勾股定理，且三个数不是3,4,5的整数倍，符合要求；
2. 第二组选取7,24,25：验证得$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$，满足勾股定理，且三个数不是3,4,5的整数倍，符合要求。
（答案不唯一，8,15,17等也符合要求）
【答案】
5,12,13；7,24,25（答案不唯一）
【知识点】
勾股数的定义；勾股定理的应用
【点评】
本题为开放性基础题，主要考查对基本勾股数概念的理解，只要熟练掌握勾股定理和勾股数的特征，结合常见的勾股数积累即可正确作答，解题时注意不要写出3,4,5的整数倍的勾股数即可。
【难度系数】
0.8
11.如图，$∠ BAC=90°$，$AB=4$，$AC=4$，$BD=7$，$DC=9$，则$∠ DBA=$
$135°$
.答案
11.$135°$
解析：在$Rt△BAC$中，$BC^2=4^2+4^2=32$，$BD^2=49$，$BC^2+BD^2=32+49=81=9^2=DC^2$，故$∠CBD=90°$，又$∠ABC=45°$，因此$∠DBA=90°+45°=135°$。
解析：在$Rt△BAC$中，$BC^2=4^2+4^2=32$，$BD^2=49$，$BC^2+BD^2=32+49=81=9^2=DC^2$，故$∠CBD=90°$，又$∠ABC=45°$，因此$∠DBA=90°+45°=135°$。
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先观察已知的Rt△BAC，已知两条直角边长度，可通过勾股定理先计算出斜边BC的平方；第二步，结合给出的BD、DC长度，用勾股定理的逆定理判断△DBC是否为直角三角形，得到∠CBD的度数；第三步，先求出等腰直角△BAC中∠ABC的度数，再将两个角相加即可得到∠DBA的度数。
【解析】
在$Rt△ BAC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=4$，根据勾股定理：
$BC^2=AB^2+AC^2=4^2+4^2=32$
已知$BD=7$，$DC=9$，则$BD^2=7^2=49$，$DC^2=9^2=81$，可得：
$BC^2+BD^2=32+49=81=DC^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ DBC$是直角三角形，且$∠ CBD=90°$。
又$\because Rt△ BAC$中$AB=AC$，$\therefore △ BAC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=45°$。
因此$∠ DBA=∠ CBD+∠ ABC=90°+45°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础综合题，解题关键是先通过勾股定理求出BC的边长平方，再借助逆定理判定直角三角形得到90°角，最后结合等腰直角三角形的特殊角度求和即可。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先观察已知的Rt△BAC，已知两条直角边长度，可通过勾股定理先计算出斜边BC的平方；第二步，结合给出的BD、DC长度，用勾股定理的逆定理判断△DBC是否为直角三角形，得到∠CBD的度数；第三步，先求出等腰直角△BAC中∠ABC的度数，再将两个角相加即可得到∠DBA的度数。
【解析】
在$Rt△ BAC$中，$∠ BAC=90°$，$AB=AC=4$，根据勾股定理：
$BC^2=AB^2+AC^2=4^2+4^2=32$
已知$BD=7$，$DC=9$，则$BD^2=7^2=49$，$DC^2=9^2=81$，可得：
$BC^2+BD^2=32+49=81=DC^2$
根据勾股定理的逆定理，可知$△ DBC$是直角三角形，且$∠ CBD=90°$。
又$\because Rt△ BAC$中$AB=AC$，$\therefore △ BAC$是等腰直角三角形，$∠ ABC=45°$。
因此$∠ DBA=∠ CBD+∠ ABC=90°+45°=135°$。
【答案】
$135°$
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于勾股定理相关的基础综合题，解题关键是先通过勾股定理求出BC的边长平方，再借助逆定理判定直角三角形得到90°角，最后结合等腰直角三角形的特殊角度求和即可。
【难度系数】
0.7
12. 为了减少能源消耗和碳排放，推广新能源汽车、推动清洁能源的普及，对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义. 如图，某社区新建新能源汽车充电桩，CD为充电桩，BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离.
已知:在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，$AC=20$，$BC=15$，$CD=12$.
试说明:$△ ABC$是直角三角形.
已知:在$△ ABC$中，$CD ⊥ AB$于点$D$，$AC=20$，$BC=15$，$CD=12$.
试说明:$△ ABC$是直角三角形.
答案
12.证明：
∵ $CD⊥AB$，
∴ $△ACD$和$△BCD$都是直角三角形，
由勾股定理：$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=256$，得$AD=16$，
$BD^2=BC^2-CD^2=15^2-12^2=81$，得$BD=9$，
∴ $AB=AD+BD=16+9=25$，
∵ $AC^2+BC^2=20^2+15^2=625=25^2=AB^2$，
由勾股定理逆定理可得$△ABC$是直角三角形。
∵ $CD⊥AB$，
∴ $△ACD$和$△BCD$都是直角三角形，
由勾股定理：$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=256$，得$AD=16$，
$BD^2=BC^2-CD^2=15^2-12^2=81$，得$BD=9$，
∴ $AB=AD+BD=16+9=25$，
∵ $AC^2+BC^2=20^2+15^2=625=25^2=AB^2$，
由勾股定理逆定理可得$△ABC$是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。已知AC、BC的长度，因此需要先求出AB的长度。由CD⊥AB可知△ACD和△BCD均为直角三角形，可先在两个小直角三角形中用勾股定理分别求出AD、BD的长度，相加得到AB的长，再验证AC²+BC²与AB²的关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $CD⊥AB$，
∴ $△ACD$和$△BCD$都是直角三角形，
由勾股定理可得：
$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=400-144=256$，解得$AD=16$（线段长度为正数，舍去负解），
$BD^2=BC^2-CD^2=15^2-12^2=225-144=81$，解得$BD=9$（线段长度为正数，舍去负解），
∴ $AB=AD+BD=16+9=25$，
∵ $AC^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AB^2=25^2=625$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ABC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合新能源汽车充电的生活场景命题，考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题核心是先通过勾股定理求出AB的长度，再利用逆定理判定三角形的形状，属于基础应用类题型，注重对核心定理的理解和运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC是直角三角形，可利用勾股定理的逆定理：若三角形两条边的平方和等于第三边的平方，则该三角形为直角三角形。已知AC、BC的长度，因此需要先求出AB的长度。由CD⊥AB可知△ACD和△BCD均为直角三角形，可先在两个小直角三角形中用勾股定理分别求出AD、BD的长度，相加得到AB的长，再验证AC²+BC²与AB²的关系即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $CD⊥AB$，
∴ $△ACD$和$△BCD$都是直角三角形，
由勾股定理可得：
$AD^2=AC^2-CD^2=20^2-12^2=400-144=256$，解得$AD=16$（线段长度为正数，舍去负解），
$BD^2=BC^2-CD^2=15^2-12^2=225-144=81$，解得$BD=9$（线段长度为正数，舍去负解），
∴ $AB=AD+BD=16+9=25$，
∵ $AC^2+BC^2=20^2+15^2=400+225=625$，$AB^2=25^2=625$，
∴ $AC^2+BC^2=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，可得$△ABC$是直角三角形。
【答案】
$△ABC$是直角三角形。
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题结合新能源汽车充电的生活场景命题，考查勾股定理及其逆定理的综合应用，解题核心是先通过勾股定理求出AB的长度，再利用逆定理判定三角形的形状，属于基础应用类题型，注重对核心定理的理解和运用能力的考查。
【难度系数】
0.8
