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13.如图,一架长2.5 m的梯子AB靠在一竖直的墙上,这时梯子的底端A到墙根O的距离为0.7 m.如果梯子的顶端B下滑0.4 m至B',那么梯子底端将滑动 (
A.0.6 m
B.0.7 m
C.0.8 m
D.0.9 m
C
)A.0.6 m
B.0.7 m
C.0.8 m
D.0.9 m
答案
13.C
解析：初始状态下$OB=\sqrt{2.5^2-0.7^2}=2.4\ \mathrm{m}$，下滑后$OB'=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$，此时底端到墙根距离$OC=\sqrt{2.5^2-2^2}=1.5\ \mathrm{m}$，滑动距离为$1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$。
解析：初始状态下$OB=\sqrt{2.5^2-0.7^2}=2.4\ \mathrm{m}$，下滑后$OB'=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$，此时底端到墙根距离$OC=\sqrt{2.5^2-2^2}=1.5\ \mathrm{m}$，滑动距离为$1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
解题时首先明确梯子长度始终不变，且墙和地面垂直，因此两次放置梯子分别和墙、地面构成两个直角三角形。第一步先在初始的Rt△AOB中运用勾股定理求出墙高OB的长度；第二步结合顶端下滑的距离算出下滑后墙高OB'的长度；第三步在新的Rt△A'OB'中再次运用勾股定理求出此时梯子底端到墙根的距离OA'；最后用OA'减去原来的OA即可得到梯子底端滑动的距离。
【解析】
解：由题意可知，∠O=90°，梯子长度不变，即$AB=A'B'=2.5\ \mathrm{m}$，初始时$OA=0.7\ \mathrm{m}$，顶端下滑距离$BB'=0.4\ \mathrm{m}$。
①在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{2.5^2-0.7^2}=\sqrt{6.25-0.49}=\sqrt{5.76}=2.4\ \mathrm{m}$
②下滑后OB'的长度为：
$OB'=OB-BB'=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$
③在Rt△A'OB'中，根据勾股定理：
$OA'=\sqrt{A'B'^2-OB'^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=\sqrt{6.25-4}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
④梯子底端滑动的距离为：
$AA'=OA'-OA=1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题型，解题核心是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，通过两次构造直角三角形、两次运用勾股定理计算对应边长即可求解，解题时注意区分各边对应的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先明确梯子长度始终不变，且墙和地面垂直，因此两次放置梯子分别和墙、地面构成两个直角三角形。第一步先在初始的Rt△AOB中运用勾股定理求出墙高OB的长度；第二步结合顶端下滑的距离算出下滑后墙高OB'的长度；第三步在新的Rt△A'OB'中再次运用勾股定理求出此时梯子底端到墙根的距离OA'；最后用OA'减去原来的OA即可得到梯子底端滑动的距离。
【解析】
解：由题意可知，∠O=90°，梯子长度不变，即$AB=A'B'=2.5\ \mathrm{m}$，初始时$OA=0.7\ \mathrm{m}$，顶端下滑距离$BB'=0.4\ \mathrm{m}$。
①在Rt△AOB中，根据勾股定理：
$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{2.5^2-0.7^2}=\sqrt{6.25-0.49}=\sqrt{5.76}=2.4\ \mathrm{m}$
②下滑后OB'的长度为：
$OB'=OB-BB'=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$
③在Rt△A'OB'中，根据勾股定理：
$OA'=\sqrt{A'B'^2-OB'^2}=\sqrt{2.5^2-2^2}=\sqrt{6.25-4}=\sqrt{2.25}=1.5\ \mathrm{m}$
④梯子底端滑动的距离为：
$AA'=OA'-OA=1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；勾股定理的实际应用
【点评】
本题是勾股定理在实际生活中的典型应用题型，解题核心是抓住“梯子长度不变”这一隐含条件，通过两次构造直角三角形、两次运用勾股定理计算对应边长即可求解，解题时注意区分各边对应的数量关系，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
14.如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD，测得AB=9 m，BC=12 m，CD=8 m，AD=17 m，且∠ABC=90°，则这块菜地的面积是（
$A. 48 m^2 B. 114 m^2 C. 122 m^2 D. 158 m^2$
B
）$A. 48 m^2 B. 114 m^2 C. 122 m^2 D. 158 m^2$
答案
14.B
解析：连接AC，$AC=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{m}$，由$15^2+8^2=17^2$得$△ACD$也是直角三角形，总面积$S=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8=54+60=114\ \mathrm{m^2}$。
解析：连接AC，$AC=\sqrt{9^2+12^2}=15\ \mathrm{m}$，由$15^2+8^2=17^2$得$△ACD$也是直角三角形，总面积$S=\frac{1}{2}×9×12+\frac{1}{2}×15×8=54+60=114\ \mathrm{m^2}$。
解析
【分析】
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过作辅助线将其转化为规则三角形的面积和求解。首先已知∠ABC=90°，且AB、BC的长度已知，因此先连接AC，利用勾股定理求出AC的长度；再结合给出的AD、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，若为直角三角形，即可分别计算两个直角三角形的面积，求和得到菜地的总面积。
【解析】
解：连接AC，
∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=9 m，BC=12 m，
∴ 根据勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$，
在△ACD中，AC=15 m，CD=8 m，AD=17 m，
∵ $AC^2+CD^2=15^2+8^2=289$，$AD^2=17^2=289$，
∴ $AC^2+CD^2=AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴ 菜地总面积$S=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC + \frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×9×12 + \frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ \mathrm{m^2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，通过连接对角线将四边形拆分为两个三角形，结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状后即可计算面积，解题的关键是合理作出辅助线，熟练掌握勾股定理及逆定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
要求不规则四边形ABCD的面积，可通过作辅助线将其转化为规则三角形的面积和求解。首先已知∠ABC=90°，且AB、BC的长度已知，因此先连接AC，利用勾股定理求出AC的长度；再结合给出的AD、CD的长度，用勾股定理的逆定理判断△ACD的形状，若为直角三角形，即可分别计算两个直角三角形的面积，求和得到菜地的总面积。
【解析】
解：连接AC，
∵ 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=9 m，BC=12 m，
∴ 根据勾股定理可得：$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\ \mathrm{m}$，
在△ACD中，AC=15 m，CD=8 m，AD=17 m，
∵ $AC^2+CD^2=15^2+8^2=289$，$AD^2=17^2=289$，
∴ $AC^2+CD^2=AD^2$，
∴ △ACD是直角三角形，且∠ACD=90°，
∴ 菜地总面积$S=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
$=\frac{1}{2}× AB× BC + \frac{1}{2}× AC× CD$
$=\frac{1}{2}×9×12 + \frac{1}{2}×15×8$
$=54+60=114\ \mathrm{m^2}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形面积计算
【点评】
本题是不规则图形面积计算的典型题型，通过连接对角线将四边形拆分为两个三角形，结合勾股定理及其逆定理判断三角形形状后即可计算面积，解题的关键是合理作出辅助线，熟练掌握勾股定理及逆定理的应用条件。
【难度系数】
0.7
15. 对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边形”，现有如图所示的“垂美四边形”ABCD，对角线AC，BD交于点O。若AD=2，BC=4，则$AB^2 + CD^2 =$
20
。答案
15.20
解析：由勾股定理：$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，故$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=2^2+4^2=20$。
解析：由勾股定理：$AB^2+CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$，$AD^2+BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$，故$AB^2+CD^2=AD^2+BC^2=2^2+4^2=20$。
解析
【分析】
首先理解“垂美四边形”的核心性质是对角线互相垂直，由此可得对角线分割出的4个三角形均为直角三角形。要求$AB^2 + CD^2$，我们可以利用勾股定理分别把$AB^2$、$CD^2$用对角线分成的线段的平方和表示，再观察已知条件给出的AD、BC长度，同样用勾股定理表示$AD^2+BC^2$，会发现二者相等，从而通过等量代换代入数值计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是“垂美四边形”，
∴ $AC⊥ BD$，即$∠ AOB=∠ AOD=∠ BOC=∠ COD=90°$。
根据勾股定理可得：
$AB^2=AO^2+BO^2$，$CD^2=CO^2+DO^2$，
两式相加得：$AB^2 + CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$ ①；
同理，$AD^2=AO^2+DO^2$，$BC^2=BO^2+CO^2$，
两式相加得：$AD^2 + BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$ ②；
对比①②可得：$AB^2 + CD^2=AD^2 + BC^2$。
把$AD=2$，$BC=4$代入得：
$AB^2 + CD^2=2^2+4^2=4+16=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；新定义问题
【点评】
本题是新定义类题型，解题的关键是结合“垂美四边形”对角线垂直的性质，灵活运用勾股定理表示各边的平方，通过等量代换简化计算，考查了学生对新知识的理解能力和对勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
首先理解“垂美四边形”的核心性质是对角线互相垂直，由此可得对角线分割出的4个三角形均为直角三角形。要求$AB^2 + CD^2$，我们可以利用勾股定理分别把$AB^2$、$CD^2$用对角线分成的线段的平方和表示，再观察已知条件给出的AD、BC长度，同样用勾股定理表示$AD^2+BC^2$，会发现二者相等，从而通过等量代换代入数值计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是“垂美四边形”，
∴ $AC⊥ BD$，即$∠ AOB=∠ AOD=∠ BOC=∠ COD=90°$。
根据勾股定理可得：
$AB^2=AO^2+BO^2$，$CD^2=CO^2+DO^2$，
两式相加得：$AB^2 + CD^2=AO^2+BO^2+CO^2+DO^2$ ①；
同理，$AD^2=AO^2+DO^2$，$BC^2=BO^2+CO^2$，
两式相加得：$AD^2 + BC^2=AO^2+DO^2+BO^2+CO^2$ ②；
对比①②可得：$AB^2 + CD^2=AD^2 + BC^2$。
把$AD=2$，$BC=4$代入得：
$AB^2 + CD^2=2^2+4^2=4+16=20$。
【答案】
20
【知识点】
勾股定理；新定义问题
【点评】
本题是新定义类题型，解题的关键是结合“垂美四边形”对角线垂直的性质，灵活运用勾股定理表示各边的平方，通过等量代换简化计算，考查了学生对新知识的理解能力和对勾股定理的应用能力。
【难度系数】
0.7
16. 如图,在一个长为22米,宽为10米的长方形草地上堆放着一根正三棱柱的木块,它的侧棱长平行且大于场地宽AD,从正面看木块是边长为2米的等边三角形,则一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是
26
米.答案
16.26
解析：将木块侧面展开，水平方向总长度为$22-2+2×1.5=24$米，竖直方向为10米，最短路程为$\sqrt{24^2+10^2}=26$米。
解析：将木块侧面展开，水平方向总长度为$22-2+2×1.5=24$米，竖直方向为10米，最短路程为$\sqrt{24^2+10^2}=26$米。
解析
【分析】
解决立体图形上的最短路径问题，核心是用“化曲为直”的思想，将立体表面展开为同一平面，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径，最后利用勾股定理计算路径长度。本题中，蚂蚁需要爬过正三棱柱的侧面，我们先把三棱柱的侧面和草地平面展开到同一平面，再分别计算展开后A、C两点的水平、竖直方向距离，代入勾股定理求解即可。
【解析】
1. 将正三棱柱的两个侧面与长方形草地展开到同一平面，此时A到C的线段长度就是最短爬行路程。
2. 计算展开后水平方向（沿AB方向）的总长度：草地原长为22米，正三棱柱底面等边三角形的边长为2米，原本AB方向上被三棱柱底面占据的长度为2米，展开后蚂蚁爬过三棱柱的两个侧面，对应长度为等边三角形的两条边长之和，即$2×2=4$米，因此水平总长度为：$22 - 2 + 4 = 24$米。
3. 展开后竖直方向（沿AD方向）的长度就是草地的宽，为10米。
4. 根据勾股定理，最短路径长度为：$\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$米。
【答案】
26
【知识点】
最短路径问题；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题考查立体图形最短路径的计算，解题的关键是正确完成立体到平面的转化，准确计算展开后对应边的长度，再结合勾股定理求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
解决立体图形上的最短路径问题，核心是用“化曲为直”的思想，将立体表面展开为同一平面，再根据“两点之间线段最短”确定最短路径，最后利用勾股定理计算路径长度。本题中，蚂蚁需要爬过正三棱柱的侧面，我们先把三棱柱的侧面和草地平面展开到同一平面，再分别计算展开后A、C两点的水平、竖直方向距离，代入勾股定理求解即可。
【解析】
1. 将正三棱柱的两个侧面与长方形草地展开到同一平面，此时A到C的线段长度就是最短爬行路程。
2. 计算展开后水平方向（沿AB方向）的总长度：草地原长为22米，正三棱柱底面等边三角形的边长为2米，原本AB方向上被三棱柱底面占据的长度为2米，展开后蚂蚁爬过三棱柱的两个侧面，对应长度为等边三角形的两条边长之和，即$2×2=4$米，因此水平总长度为：$22 - 2 + 4 = 24$米。
3. 展开后竖直方向（沿AD方向）的长度就是草地的宽，为10米。
4. 根据勾股定理，最短路径长度为：$\sqrt{24^2 + 10^2} = \sqrt{576 + 100} = \sqrt{676} = 26$米。
【答案】
26
【知识点】
最短路径问题；勾股定理；立体图形展开
【点评】
本题考查立体图形最短路径的计算，解题的关键是正确完成立体到平面的转化，准确计算展开后对应边的长度，再结合勾股定理求解，体现了转化思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
0.6
17.(教材P21复习题T8变式)《九章算术》卷九“勾股”中记载:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”大意:如图,水池底面的宽AB=1丈,芦苇OC生长在AB的中点O处,高出水面的部分CD=1尺.将芦苇向池岸牵引,尖端达到岸边时恰好与水面平齐,即
OC=OE,求水池的深度和芦苇的长度.(1丈=10尺).
(1)求水池的深度OD.
(2)我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽AB=2a,芦苇高出水面的部分CD=n(n＜a),则水池的深度OD(OD=b)可以通过公式$b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$计算得到.请说明刘徽解法的正确性.
OC=OE,求水池的深度和芦苇的长度.(1丈=10尺).
(1)求水池的深度OD.
(2)我国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时,更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现代符号语言可以表示为:若已知水池宽AB=2a,芦苇高出水面的部分CD=n(n＜a),则水池的深度OD(OD=b)可以通过公式$b=\frac{a^2 - n^2}{2n}$计算得到.请说明刘徽解法的正确性.
答案
17.(1) 解：设水深$OD=x$尺，则芦苇长为$(x+1)$尺，$OA=5$尺，在$Rt△ODE$中，$x^2+5^2=(x+1)^2$，解得$x=12$，即水池深度OD为12尺，芦苇长为13尺。
(2) 证明：设水池宽一半为$a$，水深为$b$，芦苇高出水面$n$，则芦苇长为$b+n$，在$Rt△ODE$中，$b^2+a^2=(b+n)^2$，展开得$b^2+a^2=b^2+2bn+n^2$，整理得$a^2-n^2=2bn$，因此$b=\frac{a^2-n^2}{2n}$，刘徽解法正确。
(2) 证明：设水池宽一半为$a$，水深为$b$，芦苇高出水面$n$，则芦苇长为$b+n$，在$Rt△ODE$中，$b^2+a^2=(b+n)^2$，展开得$b^2+a^2=b^2+2bn+n^2$，整理得$a^2-n^2=2bn$，因此$b=\frac{a^2-n^2}{2n}$，刘徽解法正确。
解析
【分析】
（1）第一问属于勾股定理的实际应用问题，首先统一单位，明确O是AB中点可得水池半宽为5尺；设水深OD为x尺，芦苇长度就为(x+1)尺，且OE和芦苇长度相等，在Rt△ODE中，两条直角边分别是OD和水池半宽，斜边是OE，代入勾股定理列一元一次方程即可求解。
（2）第二问是从特殊到一般的公式推导，只需将第一问的具体数值替换为对应的字母a、b、n，同样依据勾股定理列出等式，再通过整式运算化简，若能得到题目给出的公式即可证明刘徽解法正确。
【解析】
(1) 解：1丈=10尺，因为O是AB的中点，所以$ED=\frac{1}{2}AB=5$尺。
设水深$OD=x$尺，由$CD=1$尺得芦苇长度$OC=OE=(x+1)$尺。
在$Rt△ ODE$中，根据勾股定理：
$OD^2 + ED^2 = OE^2$
代入得：$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$x^2 +25 = x^2 +2x +1$
解得：$x=12$
即水池深度OD为12尺，芦苇长为$12+1=13$尺。
(2) 证明：已知水池宽$AB=2a$，则半宽$ED=a$；设水深$OD=b$，芦苇高出水面$CD=n$，则芦苇长$OE=OC=b+n$。
在$Rt△ ODE$中，根据勾股定理：
$OD^2 + ED^2 = OE^2$
代入得：$b^2 + a^2 = (b+n)^2$
展开整理得：$b^2 +a^2 = b^2 + 2bn +n^2$
消去$b^2$后移项得：$a^2 -n^2 =2bn$
两边同除以$2n$（$n≠0$）得：$b=\frac{a^2 -n^2}{2n}$，与刘徽给出的公式一致，因此解法正确。
【答案】
(1) 水池的深度OD为12尺；
(2) 刘徽的解法正确，推导过程如上。
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，整式化简
【点评】
本题结合传统数学典籍的实际场景考查勾股定理的应用，既需要掌握利用方程思想结合勾股定理解实际问题的方法，也需要具备从特殊数值到一般字母的推导能力，能很好地体现数学的实用性。
【难度系数】
0.7
（1）第一问属于勾股定理的实际应用问题，首先统一单位，明确O是AB中点可得水池半宽为5尺；设水深OD为x尺，芦苇长度就为(x+1)尺，且OE和芦苇长度相等，在Rt△ODE中，两条直角边分别是OD和水池半宽，斜边是OE，代入勾股定理列一元一次方程即可求解。
（2）第二问是从特殊到一般的公式推导，只需将第一问的具体数值替换为对应的字母a、b、n，同样依据勾股定理列出等式，再通过整式运算化简，若能得到题目给出的公式即可证明刘徽解法正确。
【解析】
(1) 解：1丈=10尺，因为O是AB的中点，所以$ED=\frac{1}{2}AB=5$尺。
设水深$OD=x$尺，由$CD=1$尺得芦苇长度$OC=OE=(x+1)$尺。
在$Rt△ ODE$中，根据勾股定理：
$OD^2 + ED^2 = OE^2$
代入得：$x^2 + 5^2 = (x+1)^2$
展开整理得：$x^2 +25 = x^2 +2x +1$
解得：$x=12$
即水池深度OD为12尺，芦苇长为$12+1=13$尺。
(2) 证明：已知水池宽$AB=2a$，则半宽$ED=a$；设水深$OD=b$，芦苇高出水面$CD=n$，则芦苇长$OE=OC=b+n$。
在$Rt△ ODE$中，根据勾股定理：
$OD^2 + ED^2 = OE^2$
代入得：$b^2 + a^2 = (b+n)^2$
展开整理得：$b^2 +a^2 = b^2 + 2bn +n^2$
消去$b^2$后移项得：$a^2 -n^2 =2bn$
两边同除以$2n$（$n≠0$）得：$b=\frac{a^2 -n^2}{2n}$，与刘徽给出的公式一致，因此解法正确。
【答案】
(1) 水池的深度OD为12尺；
(2) 刘徽的解法正确，推导过程如上。
【知识点】
勾股定理，一元一次方程应用，整式化简
【点评】
本题结合传统数学典籍的实际场景考查勾股定理的应用，既需要掌握利用方程思想结合勾股定理解实际问题的方法，也需要具备从特殊数值到一般字母的推导能力，能很好地体现数学的实用性。
【难度系数】
0.7
18. NEW 数学文化·《九章算术》《九章算术》是我国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意：如图1、图2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺=10寸），则AB的长是（
A.104寸
B.101寸
C.52寸
D.50.5寸
B
）A.104寸
B.101寸
C.52寸
D.50.5寸
答案
18.B
解析
【分析】
本题是勾股定理结合古代数学文化的实际应用题，解题思路如下：①先统一单位，将1尺换算为10寸；②设单扇门的长度为r寸，可知双门总宽度AB为2r寸，单扇门长度AD=OA=r；③由CD间隙为2寸，可得D点距离AB中点O的水平距离为1寸，因此D点到A点的水平距离为(r-1)寸，垂直距离为10寸，斜边AD长为r寸，构成直角三角形；④利用勾股定理列方程求解r，再计算2r即可得到AB的长度。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸。
设单扇门的长度为r寸，则AD=OA=OB=r，AB的总长度为2r寸。
由题意得：点D到AB的垂直距离为10寸，CD=2寸，因此D到AB中点O的水平距离为2÷2=1寸，即直角三角形的两条直角边分别为(r-1)寸、10寸，斜边为r寸。
根据勾股定理列方程：
$(r-1)^2 + 10^2 = r^2$
展开整理：
$r^2 - 2r + 1 + 100 = r^2$
$-2r + 101 = 0$
解得$r=50.5$。
因此AB的长度为$2r=2×50.5=101$寸。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，单位换算，一元一次方程
【点评】
本题结合我国古代数学典籍中的问题，考查勾股定理的实际应用，解题的核心是将实际问题抽象为直角三角形模型，找到三边的数量关系列方程求解，兼顾了数学文化素养与知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
本题是勾股定理结合古代数学文化的实际应用题，解题思路如下：①先统一单位，将1尺换算为10寸；②设单扇门的长度为r寸，可知双门总宽度AB为2r寸，单扇门长度AD=OA=r；③由CD间隙为2寸，可得D点距离AB中点O的水平距离为1寸，因此D点到A点的水平距离为(r-1)寸，垂直距离为10寸，斜边AD长为r寸，构成直角三角形；④利用勾股定理列方程求解r，再计算2r即可得到AB的长度。
【解析】
首先进行单位换算：1尺=10寸。
设单扇门的长度为r寸，则AD=OA=OB=r，AB的总长度为2r寸。
由题意得：点D到AB的垂直距离为10寸，CD=2寸，因此D到AB中点O的水平距离为2÷2=1寸，即直角三角形的两条直角边分别为(r-1)寸、10寸，斜边为r寸。
根据勾股定理列方程：
$(r-1)^2 + 10^2 = r^2$
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$r^2 - 2r + 1 + 100 = r^2$
$-2r + 101 = 0$
解得$r=50.5$。
因此AB的长度为$2r=2×50.5=101$寸。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理，单位换算，一元一次方程
【点评】
本题结合我国古代数学典籍中的问题，考查勾股定理的实际应用，解题的核心是将实际问题抽象为直角三角形模型，找到三边的数量关系列方程求解，兼顾了数学文化素养与知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.6
