回顾与思考(一) 勾股定理
大单元知识结构图
直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方.
如果用a,b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度,那么①.
定理内容
直角三角形的判定条件
如果三角形三条边的长度a,b,c满足②,那么这个三角形是直角三角形.
当a,b,c是三个正整数时
勾股数
勾股定理
探索勾股定理
拼图验证法
勾股定理的应用

①$a^2+b^2=c^2$ ②$a^2+b^2=c^2$

【分析】
本题考查勾股定理及其逆定理的基础概念。解题时先定位每个空对应的知识点：①对应勾股定理的代数表达式，回忆勾股定理“直角三角形两直角边平方和等于斜边平方”的内容，已知a、b为直角边，c为斜边，即可写出对应式子；②对应直角三角形的判定条件（勾股定理的逆定理），默认c为三角形最长边，结合逆定理内容即可写出对应式子。
【解析】
①根据勾股定理的定义：直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，若a、b为直角边，c为斜边，可得代数表达式为$a^2+b^2=c^2$；
②根据直角三角形的判定规则（勾股定理的逆定理）：若三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足$a^2+b^2=c^2$，则这个三角形是直角三角形，因此此处也填入$a^2+b^2=c^2$。
【答案】
①$a^2+b^2=c^2$ ②$a^2+b^2=c^2$
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，侧重对勾股定理核心内容的记忆与理解，是学习勾股定理相关计算、应用的必备基础知识，熟练掌握定理内容即可快速作答。
【难度系数】
0.9

1.小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别用了6根和8根火柴棒，则他摆完这个直角三角形共用火柴棒（）

A.20根
B.14根
C.24根
D.30根

1.C
解析：两条直角边用了6根、8根火柴棒，由勾股定理得斜边长为$\sqrt{6^2+8^2}=10$，总火柴棒数为$6+8+10=24$根。

【分析】
要解决这道题，首先明确用火柴棒摆边时，每条边所需火柴棒的数量等于该边的长度。题目要求总火柴棒数，本质是求直角三角形的周长，已知两条直角边的火柴棒数，只需要先求出斜边需要的火柴棒数即可。因为图形是直角三角形，可直接用勾股定理计算斜边长度，即斜边的火柴棒数，最后将三边的火柴棒数相加得到总数。
【解析】
解：由题意可知，直角三角形两条直角边的长度对应火柴棒数量，分别为6、8。
根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，可得斜边长为：
$\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$，即斜边需要10根火柴棒。
总火柴棒数为三边火柴棒数之和：$6 + 8 + 10 = 24$（根）。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查勾股定理的实际应用，解题关键是建立火柴棒数量和三角形边长的对应关系，再结合基础公式计算即可，整体计算量小，考查内容较为基础。
【难度系数】
0.8

2. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中,$∠ ACB=90°$,CD是高,$AC=4\ \mathrm{cm}$,$BC=3\ \mathrm{cm}$,则 $CD=$ （）

A.$5\ \mathrm{cm}$
B.$\dfrac{12}{5}\ \mathrm{cm}$
C.$\dfrac{5}{12}\ \mathrm{cm}$
D.$\dfrac{4}{3}\ \mathrm{cm}$

2.B
解析：由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\ \mathrm{cm}$，由三角形面积相等：$\frac{1}{2}× AC× BC=\frac{1}{2}× AB× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$。

【分析】
要求斜边上的高CD，首先可利用勾股定理先求出直角三角形斜边AB的长度；再结合同一个三角形面积固定的特点，分别用“两条直角边乘积的一半”和“斜边乘斜边上高的一半”表示三角形面积，列等式即可求解CD的长度。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=4\ \mathrm{cm}$，$BC=3\ \mathrm{cm}$，根据勾股定理可得斜边长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5\ \mathrm{cm}$
$△ ABC$的面积有两种计算方式：
①用两条直角边计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AC× BC$
②用斜边和斜边上的高CD计算：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CD$
两种方式计算的面积相等，因此可得等式：
$\frac{1}{2}×4×3=\frac{1}{2}×5× CD$
化简求解得：$12=5CD$，即$CD=\frac{12}{5}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；三角形面积计算；等积法求高
【点评】
本题是勾股定理应用的基础典型题，核心是利用等积法建立直角边、斜边与斜边上高的关系，解题思路清晰，掌握该方法可快速解决同类求高的问题。
【难度系数】
0.8

3. 在学习勾股定理时，甲同学用四个相同的直角三角形(直角边长分别为$a,b$,斜边长为$c$)构成如图所示的正方形；乙同学用边长分别为$a,b$的两个正方形和长为$b$,宽为$a$的两个长方形构成如图所示的正方形.甲、乙两位同学给出的构图方案中,可以证明勾股定理的是 ()


A.甲
B.乙
C.甲、乙都可以
D.甲、乙都不可以

3.C
解析：甲、乙两个构图都可以通过不同方式表示大正方形的面积，化简后得到$a^2+b^2=c^2$，都可以证明勾股定理。

【分析】
证明勾股定理的核心思路是面积法，即通过两种不同方式表示同一个图形的面积，根据面积相等建立等式，化简后若能得到$a^2+b^2=c^2$即可完成证明。我们分别对甲、乙的构图逐一验证：首先分别写出两个大正方形的边长，得到面积的直接表达式；再分别将两个大正方形拆分为若干个小图形，用各小图形的面积和表示大正方形的面积，联立两个面积表达式化简，判断是否能推导出勾股定理即可。
【解析】
1. 验证甲的构图：
甲图中大正方形的边长为$a+b$，因此大正方形面积可直接表示为：$S=(a+b)^2$；
同时甲图的大正方形由1个边长为$c$的小正方形和4个全等的直角三角形组成，每个直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，因此大正方形面积也可表示为：
$S = c^2 + 4×\frac{1}{2}ab = c^2 + 2ab$
联立两个面积等式得：$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$
将左边展开得：$a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$，两边同时减去$2ab$，化简得$a^2 + b^2 = c^2$，因此甲的构图可以证明勾股定理。
2. 验证乙的构图：
乙图中大正方形的边长同样为$a+b$，因此大正方形面积可直接表示为：$S=(a+b)^2$；
同时乙图的大正方形由1个边长为$a$的正方形、1个边长为$b$的正方形和2个长为$b$、宽为$a$的长方形组成，因此大正方形面积也可表示为：
$S = a^2 + b^2 + 2ab$
结合甲图推导的$(a+b)^2 = c^2 + 2ab$，可得$a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$，化简后同样得到$a^2 + b^2 = c^2$，因此乙的构图也可以证明勾股定理。
综上，甲、乙的构图都可以证明勾股定理。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理的证明；面积法的应用；完全平方公式
【点评】
本题是勾股定理证明的典型题型，重点考查对面积法的理解与运用，通过两种不同形式表示同一图形的面积建立等量关系，再结合完全平方公式化简即可得到结论，能帮助学生理解勾股定理的推导逻辑。
【难度系数】
0.7

4.如图，$∠ OAB=∠ OBC=∠ OCD=90°$，$AB=BC=CD=1$，$OA=2$，则$OD^2=$。

4.7
解析：依次用勾股定理：$OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=5$，$OC^2=OB^2+BC^2=5+1^2=6$，$OD^2=OC^2+CD^2=6+1^2=7$。

【分析】
本题给出了多个直角三角形以及各直角边的长度，要求$OD^2$，解题时可从已知边长最多的直角三角形出发，依次运用勾股定理逐步推导：首先在$Rt△ OAB$中已知两条直角边$OA$、$AB$的长度，可先求出$OB^2$；再将$OB$作为$Rt△ OBC$的直角边，结合已知的$BC$长度求出$OC^2$；最后将$OC$作为$Rt△ OCD$的直角边，结合已知的$CD$长度即可求出$OD^2$。
【解析】
在$Rt△ OAB$中，$∠ OAB=90°$，根据勾股定理可得：
$OB^2=OA^2+AB^2=2^2+1^2=4+1=5$
在$Rt△ OBC$中，$∠ OBC=90°$，根据勾股定理可得：
$OC^2=OB^2+BC^2=5+1^2=5+1=6$
在$Rt△ OCD$中，$∠ OCD=90°$，根据勾股定理可得：
$OD^2=OC^2+CD^2=6+1^2=6+1=7$
【答案】
$\boxed{7}$
【知识点】
勾股定理
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，核心是利用连续的直角三角形，通过勾股定理逐步推导待求线段的平方值，只要准确识别每个直角三角形的边的对应关系，就能顺利求解。
【难度系数】
0.8

5. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB=90°$，$AB=4\ \mathrm{cm}$，以 $Rt△ ABC$ 的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形，则图中阴影部分的面积为。

5.$8\ \mathrm{cm^2}$
解析：设$Rt△ABC$三边为$a,b,c$，$c=AB=4$，由勾股定理$a^2+b^2=c^2=16$，阴影面积$S=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{1}{2}(16+16)=8\ \mathrm{cm^2}$。

【分析】
要求阴影部分的面积，首先观察阴影是三个分别以$Rt△ ABC$三边为直角边的等腰直角三角形。我们可以先设$Rt△ ABC$的三边$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，先根据等腰直角三角形的面积公式分别表示出三个阴影的面积，再结合勾股定理$a^2+b^2=c^2$，将两条直角边对应的平方和替换为斜边的平方，整体代入计算即可，不需要单独求出$a、b$的具体值。
【解析】
设$Rt△ ABC$中，$BC=a$，$AC=b$，$AB=c$，由题意得$c=AB=4\mathrm{cm}$。
根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，可得：
$a^2+b^2=c^2=4^2=16$
因为阴影部分是三个分别以$a、b、c$为直角边的等腰直角三角形，等腰直角三角形面积为$\frac{1}{2}× \mathrm{直角边}^2$，因此阴影部分总面积：
$S=\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{2}c^2$
提取公因式$\frac{1}{2}$，结合$a^2+b^2=c^2$代入得：
$S=\frac{1}{2}(a^2+b^2+c^2)=\frac{1}{2}(c^2+c^2)=\frac{1}{2}×(16+16)=8\mathrm{cm^2}$
【答案】
$8\ \mathrm{cm^2}$
【知识点】
勾股定理；等腰直角三角形面积计算；整体代入求值
【点评】
本题是勾股定理的典型应用题型，解题关键是掌握等腰直角三角形的面积公式，灵活运用勾股定理对代数式进行整体代换，无需分别求解两条直角边的长度，简化了计算过程。
【难度系数】
0.7

6. 在$6×6$的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫作格点，图1中的线段AB的两个端点都在格点上.
(1)在图1中，线段AB的长为.
(2)在图2中，画一个面积为10的正方形DEFG，且正方形的顶点都在格点上.

6.(1)5
(2) 边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$的正方形，顶点均在格点上，[图1]

【分析】
(1) 求格点线段AB的长度时，可把AB看作直角三角形的斜边，先确定该直角三角形两条直角边的长度（即AB横向、纵向的格数差），再利用勾股定理计算斜边长度即可。
(2) 要画面积为10的格点正方形，首先根据正方形面积公式算出边长为√10，再结合勾股定理可知，直角边为1和3的直角三角形斜边长恰好为√10，以此长度为正方形的边长，依次画出四条等长、相邻互相垂直的格点线段，连接端点就能得到符合要求的正方形。
【解析】
(1) 观察线段AB，将其置于直角三角形中，可得两条直角边的长度分别为3和4，根据勾股定理计算：
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$。
(2) 设正方形边长为$a$，由正方形面积为10可得$a^2=10$，即$a=\sqrt{10}$。
根据勾股定理，直角边分别为1、3的直角三角形的斜边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，因此先画出长度为$\sqrt{10}$的格点线段$DE$，再依次过$D$、$E$作$DE$的垂线，截取长度为$\sqrt{10}$的线段$DG$、$EF$，最后连接$GF$，得到的正方形$DEFG$即为所求，四个顶点均在格点上。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5}$
(2) 画出边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$的正方形，顶点均在格点上即可。
【知识点】
勾股定理；正方形的性质；格点作图
【点评】
本题结合格点背景考查勾股定理的应用，既涉及基础的线段长度计算，又考察动手作图能力，解题的核心是熟练运用勾股定理构造指定长度的格点线段。
【难度系数】
0.8