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7. 两个正数的和是24,求它们积的最大值.你有哪些解决问题的方法?
解:(方法一)面积法(借助赵爽弦图).
设这两个正数分别为$x,y$,如图,用8个全等的直角边长分别为$x,y$的直角三角形拼成“弦图”.
由图可知$AE=DH=BF=CG=x$,
$DE=AF=BG=CH=y$.
由题意,得$x+y=\_\_\_\_\_\_$.
8个直角三角形的面积为$4xy=\_\_\_\_\_\_-S_{\mathrm{正方形}KLMN}=\_\_\_\_\_\_-S_{\mathrm{正方形}KLMN}$,
$\therefore xy=\_\_\_\_\_\_-\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}KLMN}$.
$\therefore$求$xy$的最大值,即求$S_{\mathrm{正方形}KLMN}$的最小值.
又$\because S_{\mathrm{正方形}KLMN}$最小值为________,
$\therefore xy$的最大值为________.
(方法二)利用平方差公式求解.
设这两个正数分别为$12-n$,________.
则它们的乘积为$(12-n)·\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_-n^2$.
$\therefore$求它们积的最大值,即求$n^2$的最小值.
又$\because n^2$的最小值为________,
$\therefore$它们积的最大值为________.
解:(方法一)面积法(借助赵爽弦图).
设这两个正数分别为$x,y$,如图,用8个全等的直角边长分别为$x,y$的直角三角形拼成“弦图”.
由图可知$AE=DH=BF=CG=x$,
$DE=AF=BG=CH=y$.
由题意,得$x+y=\_\_\_\_\_\_$.
8个直角三角形的面积为$4xy=\_\_\_\_\_\_-S_{\mathrm{正方形}KLMN}=\_\_\_\_\_\_-S_{\mathrm{正方形}KLMN}$,
$\therefore xy=\_\_\_\_\_\_-\dfrac{1}{4}S_{\mathrm{正方形}KLMN}$.
$\therefore$求$xy$的最大值,即求$S_{\mathrm{正方形}KLMN}$的最小值.
又$\because S_{\mathrm{正方形}KLMN}$最小值为________,
$\therefore xy$的最大值为________.
(方法二)利用平方差公式求解.
设这两个正数分别为$12-n$,________.
则它们的乘积为$(12-n)·\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_-n^2$.
$\therefore$求它们积的最大值,即求$n^2$的最小值.
又$\because n^2$的最小值为________,
$\therefore$它们积的最大值为________.
答案
7. 24 $S_{正方形ABCD}$ 576 144 0 144 $12+n$ $(12+n)$ 144 0 144
解析
【分析】
本题是求解和为定值的两个正数的乘积最大值，可从两个角度思考：①几何面积法：借助赵爽弦图，将两个正数对应直角三角形的两条直角边，大正方形边长为两数之和，8个直角三角形的总面积等于大正方形面积减去中间小正方形面积，要使两数乘积最大，只需让中间小正方形面积取最小值即可；②代数公式法：利用两数和为定值的特点，将两数设为关于和的一半对称的形式，通过平方差公式展开乘积，乘积的最大值由非负平方项的最小值决定。
【解析】
方法一：面积法
设两个正数分别为$x,y$，由题意两数和为24，得$x+y=24$。
观察弦图可知，大正方形$ABCD$的边长为$x+y=24$，因此大正方形面积$S_{正方形ABCD}=24^2=576$。
8个全等直角三角形的总面积为$8×\frac{1}{2}xy=4xy$，由图形面积关系可得：$4xy=S_{正方形ABCD}-S_{正方形KLMN}=576-S_{正方形KLMN}$，
两边同时除以4得：$xy=144-\frac{1}{4}S_{正方形KLMN}$。
要使$xy$最大，需$S_{正方形KLMN}$取最小值，正方形面积的最小值为0（当$x=y$时，中间小正方形边长为0），因此$xy$的最大值为144。
方法二：平方差公式法
已知两数和为24，因此设两个正数分别为$12-n$、$12+n$，
它们的乘积为：$(12-n)(12+n)=12^2-n^2=144-n^2$。
要使乘积最大，需$n^2$取最小值，$n^2$为非负数，最小值为0，因此乘积的最大值为144。
【答案】
24；$S_{正方形ABCD}$；576；144；0；144；$12+n$；$(12+n)$；144；0；144
【知识点】
最值问题；平方差公式；面积计算
【点评】
本题通过几何、代数两种方法求解和定积最大问题，体现了数形结合的思想，既可以借助图形直观理解最值的含义，也可以通过代数公式快速推导结果，有助于拓展解题思路。
【难度系数】
0.7
本题是求解和为定值的两个正数的乘积最大值，可从两个角度思考：①几何面积法：借助赵爽弦图，将两个正数对应直角三角形的两条直角边，大正方形边长为两数之和，8个直角三角形的总面积等于大正方形面积减去中间小正方形面积，要使两数乘积最大，只需让中间小正方形面积取最小值即可；②代数公式法：利用两数和为定值的特点，将两数设为关于和的一半对称的形式，通过平方差公式展开乘积，乘积的最大值由非负平方项的最小值决定。
【解析】
方法一：面积法
设两个正数分别为$x,y$，由题意两数和为24，得$x+y=24$。
观察弦图可知，大正方形$ABCD$的边长为$x+y=24$，因此大正方形面积$S_{正方形ABCD}=24^2=576$。
8个全等直角三角形的总面积为$8×\frac{1}{2}xy=4xy$，由图形面积关系可得：$4xy=S_{正方形ABCD}-S_{正方形KLMN}=576-S_{正方形KLMN}$，
两边同时除以4得：$xy=144-\frac{1}{4}S_{正方形KLMN}$。
要使$xy$最大，需$S_{正方形KLMN}$取最小值，正方形面积的最小值为0（当$x=y$时，中间小正方形边长为0），因此$xy$的最大值为144。
方法二：平方差公式法
已知两数和为24，因此设两个正数分别为$12-n$、$12+n$，
它们的乘积为：$(12-n)(12+n)=12^2-n^2=144-n^2$。
要使乘积最大，需$n^2$取最小值，$n^2$为非负数，最小值为0，因此乘积的最大值为144。
【答案】
24；$S_{正方形ABCD}$；576；144；0；144；$12+n$；$(12+n)$；144；0；144
【知识点】
最值问题；平方差公式；面积计算
【点评】
本题通过几何、代数两种方法求解和定积最大问题，体现了数形结合的思想，既可以借助图形直观理解最值的含义，也可以通过代数公式快速推导结果，有助于拓展解题思路。
【难度系数】
0.7
8.追本溯源:题(1)来自课本中的习题改编,请你完成解答,提炼方法并完成题(2).
(1)如图1,一个长方体盒子,它的长、宽、高分别为8 cm,8 cm,12 cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少?
(2)如图2,长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B在棱CD上,CB=5 cm,一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?
(1)如图1,一个长方体盒子,它的长、宽、高分别为8 cm,8 cm,12 cm,一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B,你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗?蚂蚁要爬行的最短路程是多少?
(2)如图2,长方体的长为15 cm,宽为10 cm,高为20 cm,点B在棱CD上,CB=5 cm,一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是多少?
答案
8.解:(1)如图1,由勾股定理,得$AB^{2}=12^{2}+(8+8)^{2}=400$.
如图2,由勾股定理,得$AB^{2}=8^{2}+(8+12)^{2}=464. \because 464＞400$,$\therefore$蚂蚁爬行的最短路线为$A-P-B$($P$为$CD$的中点),最短路程是 20 cm.
(2)将长方体按下列三种方案展开:①如图3,一直角边长为 10 cm,另外一直角边长为$20+5=25$(cm),根据勾股定理,得$AB^{2}=10^{2}+25^{2}=725$;②如图4,一直角边长为20 cm,另外一直角边长为$10+5=15$(cm),根据勾股定理,得$AB^{2}=20^{2}+15^{2}=625$;③如图5,$AC=20+10=30$(cm),$BC=5$ cm,根据勾股定理,得$AB^{2}=30^{2}+5^{2}=925. \because 625＜725＜925,625=25^{2}$,$\therefore$一只蚂蚁要沿长方体的表面从点 A 爬到点 B,需要爬行的最短路程是 25 cm.
解析
【分析】
解决长方体表面最短爬行路径问题，需利用“两点之间线段最短”的原理，将长方体相邻的面展开到同一平面，把立体路径转化为平面上两点间的线段长度，再通过勾股定理计算不同展开方式下的线段长度，比较后取最小值即为最短路程。
（1）第一问的长方体长宽均为8cm、高为12cm，共有2种不同的面展开方式，分别计算两种方式下AB的长度再比较即可得到结果。
（2）第二问的长方体长宽高各不相同，且点B不在顶点处，共有3种不同的面展开方式，分别计算三种方式下AB的长度，比较后得到最小值即可。
【解析】
(1) 分两种情况展开长方体表面：
① 如图1，将包含A、B的两个相邻面展开，此时直角三角形两条直角边分别为12cm、$8+8=16$cm，由勾股定理得：$AB^2=12^2+(8+8)^2=400$；
② 如图2，换一种展开方式，此时直角三角形两条直角边分别为8cm、$8+12=20$cm，由勾股定理得：$AB^2=8^2+(8+12)^2=464$。
$\because 464＞400$，$\therefore$蚂蚁爬行的最短路程为$\sqrt{400}=20$cm，对应路线为$A-P-B$（$P$为对应棱的中点）。
(2) 分三种情况展开长方体表面：
① 如图3，展开后直角三角形一条直角边长为10cm，另一条直角边长为$20+5=25$cm，由勾股定理得：$AB^2=10^2+25^2=725$；
② 如图4，展开后直角三角形一条直角边长为20cm，另一条直角边长为$10+5=15$cm，由勾股定理得：$AB^2=20^2+15^2=625$；
③ 如图5，展开后直角三角形一条直角边长为$20+10=30$cm，另一条直角边长为5cm，由勾股定理得：$AB^2=30^2+5^2=925$。
$\because 625＜725＜925$，$625=25^2$，$\therefore$蚂蚁爬行的最短路程为25cm。
【答案】
(1) 蚂蚁爬行的最短路线为$A-P-B$($P$为$CD$的中点)，最短路程是 20 cm。
(2) 蚂蚁要沿长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短路程是 25 cm。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题的核心解题思路是将立体图形的表面路径问题转化为平面图形的线段长度问题，需要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免漏算导致结果错误，再结合勾股定理计算不同路径的长度，比较后即可得到最短路径。
【难度系数】
0.6
解决长方体表面最短爬行路径问题，需利用“两点之间线段最短”的原理，将长方体相邻的面展开到同一平面，把立体路径转化为平面上两点间的线段长度，再通过勾股定理计算不同展开方式下的线段长度，比较后取最小值即为最短路程。
（1）第一问的长方体长宽均为8cm、高为12cm，共有2种不同的面展开方式，分别计算两种方式下AB的长度再比较即可得到结果。
（2）第二问的长方体长宽高各不相同，且点B不在顶点处，共有3种不同的面展开方式，分别计算三种方式下AB的长度，比较后得到最小值即可。
【解析】
(1) 分两种情况展开长方体表面：
① 如图1，将包含A、B的两个相邻面展开，此时直角三角形两条直角边分别为12cm、$8+8=16$cm，由勾股定理得：$AB^2=12^2+(8+8)^2=400$；
② 如图2，换一种展开方式，此时直角三角形两条直角边分别为8cm、$8+12=20$cm，由勾股定理得：$AB^2=8^2+(8+12)^2=464$。
$\because 464＞400$，$\therefore$蚂蚁爬行的最短路程为$\sqrt{400}=20$cm，对应路线为$A-P-B$（$P$为对应棱的中点）。
(2) 分三种情况展开长方体表面：
① 如图3，展开后直角三角形一条直角边长为10cm，另一条直角边长为$20+5=25$cm，由勾股定理得：$AB^2=10^2+25^2=725$；
② 如图4，展开后直角三角形一条直角边长为20cm，另一条直角边长为$10+5=15$cm，由勾股定理得：$AB^2=20^2+15^2=625$；
③ 如图5，展开后直角三角形一条直角边长为$20+10=30$cm，另一条直角边长为5cm，由勾股定理得：$AB^2=30^2+5^2=925$。
$\because 625＜725＜925$，$625=25^2$，$\therefore$蚂蚁爬行的最短路程为25cm。
【答案】
(1) 蚂蚁爬行的最短路线为$A-P-B$($P$为$CD$的中点)，最短路程是 20 cm。
(2) 蚂蚁要沿长方体的表面从点 A 爬到点 B，需要爬行的最短路程是 25 cm。
【知识点】
最短路径问题，勾股定理，立体图形展开
【点评】
本题的核心解题思路是将立体图形的表面路径问题转化为平面图形的线段长度问题，需要注意分类讨论所有可能的展开方式，避免漏算导致结果错误，再结合勾股定理计算不同路径的长度，比较后即可得到最短路径。
【难度系数】
0.6
