登录
1. [2026 六安期末]下列各式中，$y$是$x$的二次函数的是（
A.$y=3x-1$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=3x^2+x-1$
D.$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$
C
）A.$y=3x-1$
B.$y=\dfrac{1}{x^2}$
C.$y=3x^2+x-1$
D.$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断y是否是x的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式（分母、根号中不含自变量x）；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们可以用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数，需同时满足三个判定条件：是整式函数、x的最高次数为2、二次项系数不为0。
逐一分析选项：
A选项：$y=3x-1$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含自变量x，属于分式函数，不是整式，不符合要求；
C选项：$y=3x^2+x-1$是整式，x的最高次数为2，且二次项系数$3≠ 0$，完全符合二次函数的定义；
D选项：$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$的分母含自变量x，属于分式函数，不是整式，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数的基础识别题，解题的核心是牢记二次函数的判定条件，尤其要注意区分整式函数和分式函数，分母含自变量的函数一定不是二次函数，避免因忽略整式要求出错。
【难度系数】
0.8
要判断y是否是x的二次函数，首先要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式（分母、根号中不含自变量x）；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们可以用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠ 0$）的函数叫做二次函数，需同时满足三个判定条件：是整式函数、x的最高次数为2、二次项系数不为0。
逐一分析选项：
A选项：$y=3x-1$中x的最高次数是1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
B选项：$y=\dfrac{1}{x^2}$的分母含自变量x，属于分式函数，不是整式，不符合要求；
C选项：$y=3x^2+x-1$是整式，x的最高次数为2，且二次项系数$3≠ 0$，完全符合二次函数的定义；
D选项：$y=2x^2+\dfrac{1}{x}$的分母含自变量x，属于分式函数，不是整式，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数的定义
【点评】
本题是二次函数的基础识别题，解题的核心是牢记二次函数的判定条件，尤其要注意区分整式函数和分式函数，分母含自变量的函数一定不是二次函数，避免因忽略整式要求出错。
【难度系数】
0.8
2. [2026 蚌埠期末]将抛物线$y=2x^2$向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到新的抛物线对应的函数解析式为（
A.$y=2(x-3)^2 -5$
B.$y=2(x-3)^2 +5$
C.$y=2(x+3)^2 +5$
D.$y=2(x+3)^2 -5$
B
）A.$y=2(x-3)^2 -5$
B.$y=2(x-3)^2 +5$
C.$y=2(x+3)^2 +5$
D.$y=2(x+3)^2 -5$
答案
2.B
解析
【分析】
本题考查二次函数图象的平移，解题思路如下：首先回忆二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”，要注意：“左加右减”是针对自变量$x$单独进行的操作，即向左平移$m$个单位就把$x$替换为$x+m$，向右平移$m$个单位就把$x$替换为$x-m$；“上加下减”是针对函数整体的操作，即向上平移$n$个单位就在表达式末尾加$n$，向下平移$n$个单位就在表达式末尾减$n$。我们先处理向右平移3个单位的变换，再处理向上平移5个单位的变换，就能得到最终的解析式，对应正确选项。
【解析】
根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律解题：
1. 第一步：将抛物线$y=2x^2$向右平移3个单位长度，根据“右减”原则，将自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式为$y=2(x-3)^2$；
2. 第二步：将得到的抛物线再向上平移5个单位长度，根据“上加”原则，在表达式末尾加5，得到最终的解析式为$y=2(x-3)^2 +5$。
对比选项，可知B选项符合。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是准确掌握“左加右减、上加下减”的适用规则，尤其要注意水平平移是对自变量$x$单独操作，不要混淆加减方向即可快速得分。
【难度系数】
0.8
本题考查二次函数图象的平移，解题思路如下：首先回忆二次函数图象平移的核心规律“左加右减，上加下减”，要注意：“左加右减”是针对自变量$x$单独进行的操作，即向左平移$m$个单位就把$x$替换为$x+m$，向右平移$m$个单位就把$x$替换为$x-m$；“上加下减”是针对函数整体的操作，即向上平移$n$个单位就在表达式末尾加$n$，向下平移$n$个单位就在表达式末尾减$n$。我们先处理向右平移3个单位的变换，再处理向上平移5个单位的变换，就能得到最终的解析式，对应正确选项。
【解析】
根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”规律解题：
1. 第一步：将抛物线$y=2x^2$向右平移3个单位长度，根据“右减”原则，将自变量$x$替换为$x-3$，得到平移后的解析式为$y=2(x-3)^2$；
2. 第二步：将得到的抛物线再向上平移5个单位长度，根据“上加”原则，在表达式末尾加5，得到最终的解析式为$y=2(x-3)^2 +5$。
对比选项，可知B选项符合。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象平移规律、二次函数解析式确定
【点评】
本题是二次函数平移的基础题型，核心是准确掌握“左加右减、上加下减”的适用规则，尤其要注意水平平移是对自变量$x$单独操作，不要混淆加减方向即可快速得分。
【难度系数】
0.8
3.对于二次函数$y=-3(x-1)^2+2$的图象，下列说法正确的是 （
A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-1$
C.最小值是 2
D.顶点坐标是$(1,2)$
D
）A.开口向上
B.对称轴是直线$x=-1$
C.最小值是 2
D.顶点坐标是$(1,2)$
答案
3.D
解析
【分析】
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时函数有最小值$k$，开口向下时函数有最大值$k$。我们将题干中的函数和顶点式参数逐一对应，逐个排查选项即可得到正确答案。
【解析】
题中二次函数为顶点式$y=-3(x-1)^2+2$，对照$y=a(x-h)^2+k$可得参数：$a=-3$，$h=1$，$k=2$。
选项A：$a=-3＜0$，抛物线开口向下，A错误；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，B错误；
选项C：抛物线开口向下，函数有最大值2，没有最小值，C错误；
选项D：抛物线顶点坐标为$(h,k)$，即$(1,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征、对称轴、顶点、最值等规律，熟练记忆相关性质就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的相关性质：$a$的正负决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$，开口向上时函数有最小值$k$，开口向下时函数有最大值$k$。我们将题干中的函数和顶点式参数逐一对应，逐个排查选项即可得到正确答案。
【解析】
题中二次函数为顶点式$y=-3(x-1)^2+2$，对照$y=a(x-h)^2+k$可得参数：$a=-3$，$h=1$，$k=2$。
选项A：$a=-3＜0$，抛物线开口向下，A错误；
选项B：抛物线对称轴为直线$x=h=1$，不是$x=-1$，B错误；
选项C：抛物线开口向下，函数有最大值2，没有最小值，C错误；
选项D：抛物线顶点坐标为$(h,k)$，即$(1,2)$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数图象与性质
【点评】
本题属于二次函数基础考查题，核心是掌握顶点式中各参数对应的图象特征、对称轴、顶点、最值等规律，熟练记忆相关性质就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
4.已知二次函数$y=ax^2+(2a-3)x+a-1$（$x$是自变量）的图象经过第一、二、四象限，则实数$a$的取值范围为（
A.$1≤ a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤ a＜\frac{3}{2}$
A
）A.$1≤ a＜\frac{9}{8}$
B.$0＜a＜\frac{3}{2}$
C.$0＜a＜\frac{9}{8}$
D.$1≤ a＜\frac{3}{2}$
答案
4.A
解析
【分析】
要解决这道题，需结合二次函数图象经过第一、二、四象限的特征，反向推导系数需满足的条件：①开口方向：过一、二、四象限说明开口向上，因此二次项系数a＞0；②图象与x轴有两个交点：若没有交点，开口向上的二次函数图象全在x轴上方，不会经过第四象限，因此判别式Δ＞0；③对称轴位置：对称轴需在x轴正半轴，避免图象向左延伸经过第三象限；④与y轴交点非负：若x=0时y值为负，图象会经过第三象限，因此y轴交点纵坐标≥0。分别列出对应不等式求解后取交集，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，且图象经过第一、二、四象限，需同时满足以下条件：
1. 开口向上：$a＞0$；
2. 与x轴有两个交点，即判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a-3)^2 - 4a(a-1)\\&=4a^2 -12a +9 -4a^2 +4a\\&=-8a +9＞0\end{aligned}$
解得$a＜\frac{9}{8}$；
3. 对称轴在x轴正半轴：
对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-3}{2a}＞0$，
∵$a＞0$，
∴$-(2a-3)＞0$，解得$a＜\frac{3}{2}$；
4. 与y轴交点非负：
当$x=0$时，$y=a-1≥0$，解得$a≥1$；
取以上解集的交集，得$1≤ a＜\frac{9}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，判别式的应用，不等式组求解
【点评】
本题核心是通过二次函数图象的分布特征反推系数限制条件，解题时要注意不要遗漏对称轴位置、y轴交点的限制，避免只考虑开口和判别式导致取值范围出错。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合二次函数图象经过第一、二、四象限的特征，反向推导系数需满足的条件：①开口方向：过一、二、四象限说明开口向上，因此二次项系数a＞0；②图象与x轴有两个交点：若没有交点，开口向上的二次函数图象全在x轴上方，不会经过第四象限，因此判别式Δ＞0；③对称轴位置：对称轴需在x轴正半轴，避免图象向左延伸经过第三象限；④与y轴交点非负：若x=0时y值为负，图象会经过第三象限，因此y轴交点纵坐标≥0。分别列出对应不等式求解后取交集，即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵该函数是二次函数，且图象经过第一、二、四象限，需同时满足以下条件：
1. 开口向上：$a＞0$；
2. 与x轴有两个交点，即判别式$\Delta＞0$：
$\begin{aligned}\Delta&=(2a-3)^2 - 4a(a-1)\\&=4a^2 -12a +9 -4a^2 +4a\\&=-8a +9＞0\end{aligned}$
解得$a＜\frac{9}{8}$；
3. 对称轴在x轴正半轴：
对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2a-3}{2a}＞0$，
∵$a＞0$，
∴$-(2a-3)＞0$，解得$a＜\frac{3}{2}$；
4. 与y轴交点非负：
当$x=0$时，$y=a-1≥0$，解得$a≥1$；
取以上解集的交集，得$1≤ a＜\frac{9}{8}$。
【答案】
A
【知识点】
二次函数图象与系数的关系，判别式的应用，不等式组求解
【点评】
本题核心是通过二次函数图象的分布特征反推系数限制条件，解题时要注意不要遗漏对称轴位置、y轴交点的限制，避免只考虑开口和判别式导致取值范围出错。
【难度系数】
0.6
5.从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度$h$(单位:m)与小球的运动时间$t$(单位:s)之间的关系式是$h=30t-5t^2(0≤t≤6)$.有下列结论:
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中正确结论的个数是 (
A.0
B.1
C.2
D.3
①小球从抛出到落地需要6 s；
②小球运动中的高度可以是30 m；
③小球运动2 s时的高度小于运动5 s时的高度.
其中正确结论的个数是 (
C
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案
5.C
解析
【分析】
本题考查二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路为逐个验证三个结论：①验证落地时间，落地时高度h=0，代入函数求解符合取值范围的t即可；②判断能否达到30m，令h=30，解对应的一元二次方程，判断是否有符合0≤t≤6的实根；③比较两个时刻的高度，分别将t=2和t=5代入函数计算h值再比较大小即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：
小球落地时高度h=0，代入关系式$h=30t-5t^2$得：
$0=30t-5t^2$
整理得$5t(t-6)=0$，解得$t_1=0$，$t_2=6$。
其中$t=0$是抛出时刻，因此落地时间为6s，结论①正确。
2. 验证结论②：
令$h=30$，代入关系式得：
$30=30t-5t^2$
整理为标准一元二次方程：$t^2-6t+6=0$
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×6=36-24=12＞0$，方程有两个实数根：
$t=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}$
其中$3+\sqrt{3}\approx4.732＜6$，符合取值范围，因此小球高度可以达到30m，结论②正确。
3. 验证结论③：
当$t=2$时，$h=30×2 -5×2^2=60-20=40\ \mathrm{m}$
当$t=5$时，$h=30×5 -5×5^2=150-125=25\ \mathrm{m}$
$40＞25$，即运动2s时的高度大于运动5s时的高度，结论③错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，代数式求值
【点评】
本题结合竖直上抛运动场景考察二次函数相关知识，需要将实际问题转化为数学方程或代数式计算问题，解题时要注意题目给出的自变量取值范围限制，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
本题考查二次函数在实际运动问题中的应用，解题思路为逐个验证三个结论：①验证落地时间，落地时高度h=0，代入函数求解符合取值范围的t即可；②判断能否达到30m，令h=30，解对应的一元二次方程，判断是否有符合0≤t≤6的实根；③比较两个时刻的高度，分别将t=2和t=5代入函数计算h值再比较大小即可。
【解析】
我们逐个分析三个结论：
1. 验证结论①：
小球落地时高度h=0，代入关系式$h=30t-5t^2$得：
$0=30t-5t^2$
整理得$5t(t-6)=0$，解得$t_1=0$，$t_2=6$。
其中$t=0$是抛出时刻，因此落地时间为6s，结论①正确。
2. 验证结论②：
令$h=30$，代入关系式得：
$30=30t-5t^2$
整理为标准一元二次方程：$t^2-6t+6=0$
计算判别式$\Delta=(-6)^2-4×1×6=36-24=12＞0$，方程有两个实数根：
$t=\frac{6\pm\sqrt{12}}{2}=3\pm\sqrt{3}$
其中$3+\sqrt{3}\approx4.732＜6$，符合取值范围，因此小球高度可以达到30m，结论②正确。
3. 验证结论③：
当$t=2$时，$h=30×2 -5×2^2=60-20=40\ \mathrm{m}$
当$t=5$时，$h=30×5 -5×5^2=150-125=25\ \mathrm{m}$
$40＞25$，即运动2s时的高度大于运动5s时的高度，结论③错误。
综上，正确的结论是①②，共2个。
【答案】
C
【知识点】
二次函数实际应用，一元二次方程求解，代数式求值
【点评】
本题结合竖直上抛运动场景考察二次函数相关知识，需要将实际问题转化为数学方程或代数式计算问题，解题时要注意题目给出的自变量取值范围限制，细心计算即可得出正确结果。
【难度系数】
0.7
6.抛物线$y=ax^2+bx+c(a≠0)$如图所示，有以下结论：
①$abc＜0$；②$c+2a＜0$；③$9a-3b+c=0$；④$4ac-b^2＜0$；⑤$a-b≥m(am+b)$（$m$为实数）；
⑥一元二次方程$ax^2+bx+c=3$有两个不相等的实数根。
其中错误结论的个数是 （
A.1
B.2
C.3
D.4
①$abc＜0$；②$c+2a＜0$；③$9a-3b+c=0$；④$4ac-b^2＜0$；⑤$a-b≥m(am+b)$（$m$为实数）；
⑥一元二次方程$ax^2+bx+c=3$有两个不相等的实数根。
其中错误结论的个数是 （
A
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.A
解析
【分析】
解题时首先从抛物线图像提取核心信息：由开口方向得a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，由与坐标轴交点得c的符号和x轴另一交点坐标，再结合二次函数的最值、判别式、函数值与方程根的对应关系，逐个判断6个结论的正误，最终统计错误结论的个数即可。
【解析】
根据图像先推导已知条件：
1. 抛物线开口向上，可得$\boldsymbol{a＞0}$；
2. 对称轴为$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，因此$\boldsymbol{b＞0}$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，可得$\boldsymbol{c＜0}$；
4. 抛物线与x轴交于点$(1,0)$，由对称性可知另一交点横坐标为$-1-(1+1)=-3$，即另一交点为$(-3,0)$，因此$x=1$和$x=-3$时，函数值$y=0$；
5. 抛物线与x轴有两个交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；
6. 抛物线开口向上，因此$x=-1$时函数取得最小值。
逐个判断结论：
① $abc＜0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，因此$abc＜0$，结论正确；
② $c+2a＜0$：$x=1$时$y=a+b+c=0$，代入$b=2a$得$3a+c=0$即$c=-3a$，因此$c+2a=-a＜0$，结论正确；
③ $9a-3b+c=0$：$x=-3$时$y=0$，代入解析式得$a·(-3)^2 + b·(-3)+c=9a-3b+c=0$，结论正确；
④ $4ac-b^2＜0$：由$\Delta=b^2-4ac＞0$，移项可得$4ac-b^2＜0$，结论正确；
⑤ $a-b≥m(am+b)$（m为实数）：$x=-1$时函数最小值为$y=a-b+c$，对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥a-b+c$，两边消去c得$am^2+bm≥a-b$，即$a-b≤m(am+b)$，仅当$m=-1$时取等号，原不等式不成立，结论错误；
⑥ 一元二次方程$ax^2+bx+c=3$有两个不相等的实数根：方程等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$的交点个数，抛物线顶点纵坐标为$y=a-b+c=-4a＜0$，开口向上，因此$y=3$与抛物线有两个交点，即方程有两个不相等实根，结论正确。
综上，仅结论⑤错误，错误结论的个数是1。
【答案】A
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数与不等式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数综合类常考题，核心考查对二次函数图像信息的提取能力，以及对二次函数对称性、最值、判别式等性质的灵活应用，解题时注意将代数式结论与函数性质对应转化即可判断。
【难度系数】
0.65
解题时首先从抛物线图像提取核心信息：由开口方向得a的符号，由对称轴公式推导b与a的关系，由与坐标轴交点得c的符号和x轴另一交点坐标，再结合二次函数的最值、判别式、函数值与方程根的对应关系，逐个判断6个结论的正误，最终统计错误结论的个数即可。
【解析】
根据图像先推导已知条件：
1. 抛物线开口向上，可得$\boldsymbol{a＞0}$；
2. 对称轴为$x=-1$，由对称轴公式$-\frac{b}{2a}=-1$，整理得$b=2a$，因此$\boldsymbol{b＞0}$；
3. 抛物线与y轴交于负半轴，可得$\boldsymbol{c＜0}$；
4. 抛物线与x轴交于点$(1,0)$，由对称性可知另一交点横坐标为$-1-(1+1)=-3$，即另一交点为$(-3,0)$，因此$x=1$和$x=-3$时，函数值$y=0$；
5. 抛物线与x轴有两个交点，因此判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$；
6. 抛物线开口向上，因此$x=-1$时函数取得最小值。
逐个判断结论：
① $abc＜0$：$a＞0$，$b＞0$，$c＜0$，因此$abc＜0$，结论正确；
② $c+2a＜0$：$x=1$时$y=a+b+c=0$，代入$b=2a$得$3a+c=0$即$c=-3a$，因此$c+2a=-a＜0$，结论正确；
③ $9a-3b+c=0$：$x=-3$时$y=0$，代入解析式得$a·(-3)^2 + b·(-3)+c=9a-3b+c=0$，结论正确；
④ $4ac-b^2＜0$：由$\Delta=b^2-4ac＞0$，移项可得$4ac-b^2＜0$，结论正确；
⑤ $a-b≥m(am+b)$（m为实数）：$x=-1$时函数最小值为$y=a-b+c$，对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥a-b+c$，两边消去c得$am^2+bm≥a-b$，即$a-b≤m(am+b)$，仅当$m=-1$时取等号，原不等式不成立，结论错误；
⑥ 一元二次方程$ax^2+bx+c=3$有两个不相等的实数根：方程等价于抛物线$y=ax^2+bx+c$与直线$y=3$的交点个数，抛物线顶点纵坐标为$y=a-b+c=-4a＜0$，开口向上，因此$y=3$与抛物线有两个交点，即方程有两个不相等实根，结论正确。
综上，仅结论⑤错误，错误结论的个数是1。
【答案】A
【知识点】
二次函数图像与性质；二次函数与不等式；二次函数与一元二次方程
【点评】
本题属于二次函数综合类常考题，核心考查对二次函数图像信息的提取能力，以及对二次函数对称性、最值、判别式等性质的灵活应用，解题时注意将代数式结论与函数性质对应转化即可判断。
【难度系数】
0.65
