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13.若实数$x$满足$(x^2 + x)(x^2 + x + 1)=42$，则$x^2 + x=$
$6$
.答案
13.6
解析
【分析】
观察原方程的结构，两个因式中都含有相同的整体$x^2+x$，若直接展开会得到四次方程，计算复杂，因此采用换元法简化运算：设$y=x^2+x$，将原方程转化为关于$y$的一元二次方程求解，最后结合$x$是实数的条件，利用根的判别式筛选出符合要求的结果。
【解析】
设$y = x^2 + x$，则原方程可变形为：
$y(y+1)=42$
整理为一元二次方程的标准形式：
$y^2 + y - 42 = 0$
对左边因式分解得：
$(y+7)(y-6)=0$
解得$y_1=6$，$y_2=-7$。
接下来对两个解进行验证：
1. 当$y=-7$时，即$x^2 + x = -7$，整理得$x^2 + x +7=0$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×7 = -27 ＜ 0$，该方程无实数根，不符合题意，舍去；
2. 当$y=6$时，即$x^2 + x = 6$，整理得$x^2 + x -6=0$，其判别式$\Delta=1^2 + 4×1×6=25＞0$，方程有实数根，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
换元法；解一元二次方程；根的判别式
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，通过整体代换可将高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时要注意结合题目的隐含条件对所求结果进行验证，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
观察原方程的结构，两个因式中都含有相同的整体$x^2+x$，若直接展开会得到四次方程，计算复杂，因此采用换元法简化运算：设$y=x^2+x$，将原方程转化为关于$y$的一元二次方程求解，最后结合$x$是实数的条件，利用根的判别式筛选出符合要求的结果。
【解析】
设$y = x^2 + x$，则原方程可变形为：
$y(y+1)=42$
整理为一元二次方程的标准形式：
$y^2 + y - 42 = 0$
对左边因式分解得：
$(y+7)(y-6)=0$
解得$y_1=6$，$y_2=-7$。
接下来对两个解进行验证：
1. 当$y=-7$时，即$x^2 + x = -7$，整理得$x^2 + x +7=0$，其判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×7 = -27 ＜ 0$，该方程无实数根，不符合题意，舍去；
2. 当$y=6$时，即$x^2 + x = 6$，整理得$x^2 + x -6=0$，其判别式$\Delta=1^2 + 4×1×6=25＞0$，方程有实数根，符合题意。
【答案】
6
【知识点】
换元法；解一元二次方程；根的判别式
【点评】
本题是换元法解方程的典型应用，通过整体代换可将高次方程转化为熟悉的一元二次方程求解，解题时要注意结合题目的隐含条件对所求结果进行验证，避免出现增根。
【难度系数】
0.7
14. [2026合肥期中]一块矩形菜地ABCD如图所示，$AB=a\ \mathrm{m}$，$AD=b\ \mathrm{m}$，面积为$S\ \mathrm{m}^2$.现将边AB增加1 m.
(1)如图①，若$a=5$，边AD减少1 m，得到的矩形面积不变，则$b$的值是
(2)如图②，若边AD增加2 m，有且只有一个$a$的值，使得到的矩形面积为$2S\ \mathrm{m}^2$，则$S$的值是
(1)如图①，若$a=5$，边AD减少1 m，得到的矩形面积不变，则$b$的值是
$6$
；(2)如图②，若边AD增加2 m，有且只有一个$a$的值，使得到的矩形面积为$2S\ \mathrm{m}^2$，则$S$的值是
$6+4\sqrt{2}$
.答案
14.(1) 6 (2)$6+4\sqrt{2}$
解析
【分析】
(1) 首先回忆矩形面积公式，原矩形面积为长乘宽即$ab$。变化后AB边长度为$a+1$，AD边长度为$b-1$，已知面积不变，据此列等式代入$a=5$即可求解$b$的值。
(2) 先根据变化后面积为$2S$列出等式，整理得到关于$a$的一元二次方程，题目说明有且只有一个$a$的值满足条件，即一元二次方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=0$，求解后结合矩形边长为正的实际意义舍去不合理的解即可得到$S$的值。
【解析】
(1) 原矩形面积$S=ab$，当$a=5$时，$S=5b$。
AB增加1m后长度为$5+1=6\ \mathrm{m}$，AD减少1m后长度为$(b-1)\ \mathrm{m}$，由面积不变得：
$6(b-1)=5b$
展开得$6b-6=5b$，移项解得$b=6$。
(2) 变化后AB长度为$(a+1)\ \mathrm{m}$，AD长度为$(b+2)\ \mathrm{m}$，已知变化后面积为$2S$且$S=ab$，列等式：
$(a+1)(b+2)=2ab$
展开整理得：$ab-2a-b=2$，即$b(a-1)=2a+2$，显然$a\ne1$，因此$b=\frac{2a+2}{a-1}$。
将$b=\frac{2a+2}{a-1}$代入$S=ab$，整理为关于$a$的一元二次方程：
$2a^2+(2-S)a+S=0$
因为有且只有一个$a$的值满足条件，所以该方程判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-S)^2-4×2× S=0$
化简得$S^2-12S+4=0$，解得：
$S=\frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$
由于矩形边长为正，$b=\frac{2a+2}{a-1}＞0$，故$a＞1$，代入$S$表达式可知$S＞6$，因此舍去$S=6-4\sqrt{2}$，得$S=6+4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{6+4\sqrt{2}}$
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合矩形面积变化考查一元二次方程的实际应用，第一问较为基础，第二问的关键是将面积关系转化为一元二次方程，利用判别式求解参数，注意最后要结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.65
(1) 首先回忆矩形面积公式，原矩形面积为长乘宽即$ab$。变化后AB边长度为$a+1$，AD边长度为$b-1$，已知面积不变，据此列等式代入$a=5$即可求解$b$的值。
(2) 先根据变化后面积为$2S$列出等式，整理得到关于$a$的一元二次方程，题目说明有且只有一个$a$的值满足条件，即一元二次方程有两个相等的实数根，所以判别式$\Delta=0$，求解后结合矩形边长为正的实际意义舍去不合理的解即可得到$S$的值。
【解析】
(1) 原矩形面积$S=ab$，当$a=5$时，$S=5b$。
AB增加1m后长度为$5+1=6\ \mathrm{m}$，AD减少1m后长度为$(b-1)\ \mathrm{m}$，由面积不变得：
$6(b-1)=5b$
展开得$6b-6=5b$，移项解得$b=6$。
(2) 变化后AB长度为$(a+1)\ \mathrm{m}$，AD长度为$(b+2)\ \mathrm{m}$，已知变化后面积为$2S$且$S=ab$，列等式：
$(a+1)(b+2)=2ab$
展开整理得：$ab-2a-b=2$，即$b(a-1)=2a+2$，显然$a\ne1$，因此$b=\frac{2a+2}{a-1}$。
将$b=\frac{2a+2}{a-1}$代入$S=ab$，整理为关于$a$的一元二次方程：
$2a^2+(2-S)a+S=0$
因为有且只有一个$a$的值满足条件，所以该方程判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(2-S)^2-4×2× S=0$
化简得$S^2-12S+4=0$，解得：
$S=\frac{12\pm\sqrt{144-16}}{2}=6\pm4\sqrt{2}$
由于矩形边长为正，$b=\frac{2a+2}{a-1}＞0$，故$a＞1$，代入$S$表达式可知$S＞6$，因此舍去$S=6-4\sqrt{2}$，得$S=6+4\sqrt{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{6}$；(2) $\boxed{6+4\sqrt{2}}$
【知识点】
矩形面积计算，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的应用
【点评】
本题结合矩形面积变化考查一元二次方程的实际应用，第一问较为基础，第二问的关键是将面积关系转化为一元二次方程，利用判别式求解参数，注意最后要结合实际意义舍去不符合要求的解。
【难度系数】
0.65
15.某村今年种植12万千克的茭白，计划全部在A市和B市销售，若在A市销售，平均每千克茭白的利润为2元，若在B市销售，平均每千克茭白的利润$y$(单位:元)与B市的销售量$x$(单位:万千克)之间的关系满足$y=-0.2x+4.2$.
(1)若在A市销售茭白2万千克，则销售完这12万千克茭白共获利多少万元?
(2)若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求在B市销售茭白多少万千克.
(3)若在B市销售茭白$m$万千克与$n$万千克所获总利润相同，且$m≠n$，请直接写出$m$与$n$所满足的关系式：
(1)若在A市销售茭白2万千克，则销售完这12万千克茭白共获利多少万元?
(2)若该村销售完所有茭白共获利28.8万元，求在B市销售茭白多少万千克.
(3)若在B市销售茭白$m$万千克与$n$万千克所获总利润相同，且$m≠n$，请直接写出$m$与$n$所满足的关系式：
$m+n=11$
.答案
15.解：(1)26 万元. (2)3 万千克或 8 万千克. (3)$m+n=11$
解析
【分析】
(1) 先根据总销量求出B市的销售量，再代入利润公式求出B市每千克利润，分别计算A、B两市的利润后求和即可得到总获利。
(2) 设B市销售量为x万千克，用含x的式子表示A市的销售量，根据“总利润=A市利润+B市利润”列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际意义即可。
(3) 分别写出销售量为m、n万千克时的总利润表达式，令两式相等，结合m≠n化简即可得到m与n的关系式。
【解析】
(1) 由题意得，B市销售量为$12-2=10$（万千克）
B市每千克利润为$y=-0.2×10+4.2=2.2$（元）
总获利为$2×2 + 10×2.2=4+22=26$（万元）
(2) 设在B市销售茭白$x$万千克，则在A市销售$(12-x)$万千克，根据题意列方程：
$2(12-x) + x(-0.2x+4.2)=28.8$
整理得：$x^2-11x+24=0$
因式分解得：$(x-3)(x-8)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=8$，均满足$0＜x＜12$，符合实际意义。
(3) 当B市销量为$m$万千克时总利润为：$2(12-m)+m(-0.2m+4.2)$
当B市销量为$n$万千克时总利润为：$2(12-n)+n(-0.2n+4.2)$
令两式相等：
$2(12-m)+m(-0.2m+4.2)=2(12-n)+n(-0.2n+4.2)$
化简得：$-0.2m^2+2.2m=-0.2n^2+2.2n$
移项因式分解得：$0.2(n-m)(m+n)-2.2(n-m)=0$
$\because m≠ n$，$\therefore n-m≠0$，两边同时除以$(n-m)$得：
$0.2(m+n)=2.2$，即$m+n=11$
【答案】
(1)26万元；(2)3万千克或8万千克；(3)$m+n=11$
【知识点】
一元二次方程的应用，一次函数的应用，二次函数的性质
【点评】
本题以实际销售利润问题为载体，考查了方程和函数相关知识的应用，解题时要注意结合实际情况对解的合理性进行验证，第三问利用等式性质化简时要注意排除m=n的情况。
【难度系数】
0.65
(1) 先根据总销量求出B市的销售量，再代入利润公式求出B市每千克利润，分别计算A、B两市的利润后求和即可得到总获利。
(2) 设B市销售量为x万千克，用含x的式子表示A市的销售量，根据“总利润=A市利润+B市利润”列一元二次方程，求解后验证解是否符合实际意义即可。
(3) 分别写出销售量为m、n万千克时的总利润表达式，令两式相等，结合m≠n化简即可得到m与n的关系式。
【解析】
(1) 由题意得，B市销售量为$12-2=10$（万千克）
B市每千克利润为$y=-0.2×10+4.2=2.2$（元）
总获利为$2×2 + 10×2.2=4+22=26$（万元）
(2) 设在B市销售茭白$x$万千克，则在A市销售$(12-x)$万千克，根据题意列方程：
$2(12-x) + x(-0.2x+4.2)=28.8$
整理得：$x^2-11x+24=0$
因式分解得：$(x-3)(x-8)=0$
解得：$x_1=3$，$x_2=8$，均满足$0＜x＜12$，符合实际意义。
(3) 当B市销量为$m$万千克时总利润为：$2(12-m)+m(-0.2m+4.2)$
当B市销量为$n$万千克时总利润为：$2(12-n)+n(-0.2n+4.2)$
令两式相等：
$2(12-m)+m(-0.2m+4.2)=2(12-n)+n(-0.2n+4.2)$
化简得：$-0.2m^2+2.2m=-0.2n^2+2.2n$
移项因式分解得：$0.2(n-m)(m+n)-2.2(n-m)=0$
$\because m≠ n$，$\therefore n-m≠0$，两边同时除以$(n-m)$得：
$0.2(m+n)=2.2$，即$m+n=11$
【答案】
(1)26万元；(2)3万千克或8万千克；(3)$m+n=11$
【知识点】
一元二次方程的应用，一次函数的应用，二次函数的性质
【点评】
本题以实际销售利润问题为载体，考查了方程和函数相关知识的应用，解题时要注意结合实际情况对解的合理性进行验证，第三问利用等式性质化简时要注意排除m=n的情况。
【难度系数】
0.65
