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三、解答题
10.解方程：
(1)$x^2 -4x -1=0$；
(2)$3x(x-1)=2-2x$。
10.解方程：
(1)$x^2 -4x -1=0$；
(2)$3x(x-1)=2-2x$。
答案
10.解：(1)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}.$ (2)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}.$
解析
【分析】
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的特征选择合适的解法简化计算：
(1) 方程$x^2 -4x -1=0$的二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，步骤为：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开方计算即可；也可直接使用求根公式求解。
(2) 方程$3x(x-1)=2-2x$左右两侧都含有和$(x-1)$相关的项，适合用因式分解法求解，步骤为：先将右侧的项移到左侧，提取公因式$(x-1)$，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再分别令每个一次式为0求解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -4x -1=0$：
移项，得$x^2 -4x = 1$，
配方，给等式两边同时加4，得$x^2 -4x +4 =1 +4$，
即$(x-2)^2=5$，
开平方，得$x-2=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
(2) 解方程$3x(x-1)=2-2x$：
移项，得$3x(x-1) + 2x -2 =0$，
整理得$3x(x-1) + 2(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$，得$(x-1)(3x+2)=0$，
则$x-1=0$或$3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；(2)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是根据方程的结构特征灵活选择解法，熟练掌握不同解法的适用场景可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
本题考查一元二次方程的求解，需根据方程的特征选择合适的解法简化计算：
(1) 方程$x^2 -4x -1=0$的二次项系数为1，一次项系数为偶数，适合用配方法求解，步骤为：先将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，最后开方计算即可；也可直接使用求根公式求解。
(2) 方程$3x(x-1)=2-2x$左右两侧都含有和$(x-1)$相关的项，适合用因式分解法求解，步骤为：先将右侧的项移到左侧，提取公因式$(x-1)$，将方程转化为两个一次式乘积为0的形式，再分别令每个一次式为0求解即可。
【解析】
(1) 解方程$x^2 -4x -1=0$：
移项，得$x^2 -4x = 1$，
配方，给等式两边同时加4，得$x^2 -4x +4 =1 +4$，
即$(x-2)^2=5$，
开平方，得$x-2=\pm\sqrt{5}$，
解得$x_1=2+\sqrt{5}$，$x_2=2-\sqrt{5}$。
(2) 解方程$3x(x-1)=2-2x$：
移项，得$3x(x-1) + 2x -2 =0$，
整理得$3x(x-1) + 2(x-1)=0$，
提取公因式$(x-1)$，得$(x-1)(3x+2)=0$，
则$x-1=0$或$3x+2=0$，
解得$x_1=1$，$x_2=-\frac{2}{3}$。
【答案】
(1)$x_1=2+\sqrt{5},x_2=2-\sqrt{5}$；(2)$x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题核心是根据方程的结构特征灵活选择解法，熟练掌握不同解法的适用场景可有效提升解题效率和正确率。
【难度系数】
0.8
11.［2026淮北模拟］【观察思考】如图.
【规律发现】请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“”的个数为
(2)第1个图案中“△”的个数可表示为$2×1+2$，第2个图案中“△”的个数可表示为$2×2+2$，第3个图案中“△”的个数可表示为$2×3+2$……第n个图案中“△”的个数可表示为
【规律应用】
(3)若第n个图案中“”比“△”多33个，求正整数n的值.
【规律发现】请用含n的式子填空：
(1)第n个图案中“”的个数为
$n^2$
；(2)第1个图案中“△”的个数可表示为$2×1+2$，第2个图案中“△”的个数可表示为$2×2+2$，第3个图案中“△”的个数可表示为$2×3+2$……第n个图案中“△”的个数可表示为
$2n+2$
；【规律应用】
(3)若第n个图案中“”比“△”多33个，求正整数n的值.
答案
11.解：(1)$n^2$ (2)$2n+2$ (3)7.
解析
【分析】
本题属于图形规律探究结合方程应用的题目，解题思路如下：1. 探究正方形个数的规律：分别数出前3个图案中正方形的个数，发现其数量对应图案序号的平方，即可推导第n个图案的正方形个数；2. 探究三角形个数的规律：题目已给出前3个图案三角形个数的表达式，直接类比归纳即可得到第n个的表达式；3. 求解n的值：根据“正方形比三角形多33个”的数量关系列方程，结合n为正整数的条件求解即可。
【解析】
(1) 观察图案：
第1个图案中正方形的个数为$1=1^2$，
第2个图案中正方形的个数为$4=2^2$，
第3个图案中正方形的个数为$9=3^2$，
由此可得第n个图案中正方形的个数为$n^2$。
(2) 由题意，第1个图案三角形个数为$2×1+2$，第2个为$2×2+2$，第3个为$2×3+2$，类比可得第n个图案中三角形的个数为$2n+2$。
(3) 根据题意列方程：
$n^2 - (2n+2) = 33$
整理得：$n^2 - 2n - 35 = 0$
因式分解得：$(n-7)(n+5)=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=-5$
∵n为正整数，
∴$n=-5$不符合题意，舍去
即正整数n的值为7。
【答案】
(1)$n^2$；(2)$2n+2$；(3)7
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元二次方程的应用
【点评】
本题重点考查归纳推理能力和方程应用能力，解题时要注意观察特殊案例的共同特征总结规律，同时方程的解要符合正整数的实际要求。
【难度系数】
0.7
本题属于图形规律探究结合方程应用的题目，解题思路如下：1. 探究正方形个数的规律：分别数出前3个图案中正方形的个数，发现其数量对应图案序号的平方，即可推导第n个图案的正方形个数；2. 探究三角形个数的规律：题目已给出前3个图案三角形个数的表达式，直接类比归纳即可得到第n个的表达式；3. 求解n的值：根据“正方形比三角形多33个”的数量关系列方程，结合n为正整数的条件求解即可。
【解析】
(1) 观察图案：
第1个图案中正方形的个数为$1=1^2$，
第2个图案中正方形的个数为$4=2^2$，
第3个图案中正方形的个数为$9=3^2$，
由此可得第n个图案中正方形的个数为$n^2$。
(2) 由题意，第1个图案三角形个数为$2×1+2$，第2个为$2×2+2$，第3个为$2×3+2$，类比可得第n个图案中三角形的个数为$2n+2$。
(3) 根据题意列方程：
$n^2 - (2n+2) = 33$
整理得：$n^2 - 2n - 35 = 0$
因式分解得：$(n-7)(n+5)=0$
解得：$n_1=7$，$n_2=-5$
∵n为正整数，
∴$n=-5$不符合题意，舍去
即正整数n的值为7。
【答案】
(1)$n^2$；(2)$2n+2$；(3)7
【知识点】
图形规律探究，列代数式，一元二次方程的应用
【点评】
本题重点考查归纳推理能力和方程应用能力，解题时要注意观察特殊案例的共同特征总结规律，同时方程的解要符合正整数的实际要求。
【难度系数】
0.7
12.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$.
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于2,求$a$的取值范围.
(1)求证:方程总有两个实数根；
(2)若该方程有一个实数根大于2,求$a$的取值范围.
答案
12.(1)略.(2)解: $a＞3.$
解析
【分析】
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta ≥ 0$即可，先根据一元二次方程的一般式写出$\Delta$的表达式，再化简判断其取值范围。
(2)先通过因式分解法求出方程的两个实数根，其中一个根为1，显然不大于2，因此只需让另一个根大于2，列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$，
根的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4 × 1 × (a - 1) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$，
∵ 无论$a$取何实数，$(a-2)^2 ≥ 0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 方程总有两个实数根。
(2)解：对$x^2 - ax + a - 1 = 0$因式分解，得：
$(x - 1)[x - (a - 1)] = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = a - 1$，
∵ $1 ≤ 2$，已知方程有一个实数根大于2，
∴ $a - 1 ＞ 2$，
解得$a ＞ 3$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$a＞3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程、解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，第一问核心是掌握根的判别式和根的个数的对应关系，第二问的关键是正确求出方程的两个根，结合已知条件筛选出符合要求的根列不等式求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.75
(1)要证明一元二次方程总有两个实数根，只需证明根的判别式$\Delta ≥ 0$即可，先根据一元二次方程的一般式写出$\Delta$的表达式，再化简判断其取值范围。
(2)先通过因式分解法求出方程的两个实数根，其中一个根为1，显然不大于2，因此只需让另一个根大于2，列不等式求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
(1)证明：对于一元二次方程$x^2 - ax + a - 1 = 0$，
根的判别式$\Delta = (-a)^2 - 4 × 1 × (a - 1) = a^2 - 4a + 4 = (a - 2)^2$，
∵ 无论$a$取何实数，$(a-2)^2 ≥ 0$恒成立，即$\Delta ≥ 0$，
∴ 方程总有两个实数根。
(2)解：对$x^2 - ax + a - 1 = 0$因式分解，得：
$(x - 1)[x - (a - 1)] = 0$，
解得$x_1 = 1$，$x_2 = a - 1$，
∵ $1 ≤ 2$，已知方程有一个实数根大于2，
∴ $a - 1 ＞ 2$，
解得$a ＞ 3$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$a＞3$
【知识点】
一元二次方程根的判别式、因式分解法解一元二次方程、解一元一次不等式
【点评】
本题属于一元二次方程的基础应用题型，第一问核心是掌握根的判别式和根的个数的对应关系，第二问的关键是正确求出方程的两个根，结合已知条件筛选出符合要求的根列不等式求解，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.75
