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1. [2026合肥期中]下列方程中，是一元二次方程的是 （
A.$ x^3 - x^2 = 0 $
B.$ x + \frac{1}{x} = 3 $
C.$ x^2 = 2 + 3x $
D.$ 2x^2 + y - 3 = 0 $
C
）A.$ x^3 - x^2 = 0 $
B.$ x + \frac{1}{x} = 3 $
C.$ x^2 = 2 + 3x $
D.$ 2x^2 + y - 3 = 0 $
答案
1.C
解析
【分析】
解答本题首先要明确一元二次方程的三个判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时只需将每个选项对应三个标准逐一验证，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐一分析选项：
A. 方程$x^3 - x^2 = 0$中未知数$x$的最高次数是3，不符合最高次数为2的要求，不是一元二次方程；
B. 方程$x + \frac{1}{x} = 3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
C. 方程$x^2 = 2 + 3x$整理得$x^2-3x-2=0$，满足只含一个未知数$x$、最高次数为2、是整式方程三个条件，属于一元二次方程；
D. 方程$2x^2 + y - 3 = 0$中含有$x$和$y$两个未知数，不符合只含一个未知数的要求，不是一元二次方程。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；分式方程识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是紧扣一元二次方程的三个判定要点逐一排查，尤其要注意不要忽略“整式方程”这一前提条件，避免误选含分式的错误选项。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要明确一元二次方程的三个判定标准：①是整式方程；②只含有1个未知数；③未知数的最高次数为2，三个条件必须同时满足。解题时只需将每个选项对应三个标准逐一验证，排除不符合的选项即可得到正确答案。
【解析】
一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。我们逐一分析选项：
A. 方程$x^3 - x^2 = 0$中未知数$x$的最高次数是3，不符合最高次数为2的要求，不是一元二次方程；
B. 方程$x + \frac{1}{x} = 3$的分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求；
C. 方程$x^2 = 2 + 3x$整理得$x^2-3x-2=0$，满足只含一个未知数$x$、最高次数为2、是整式方程三个条件，属于一元二次方程；
D. 方程$2x^2 + y - 3 = 0$中含有$x$和$y$两个未知数，不符合只含一个未知数的要求，不是一元二次方程。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程的定义；整式方程判定；分式方程识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是紧扣一元二次方程的三个判定要点逐一排查，尤其要注意不要忽略“整式方程”这一前提条件，避免误选含分式的错误选项。
【难度系数】
0.8
2. [2026阜阳期末]4名同学以接龙的方式解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，其中有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是（
原方程 小张 小王 小李 小赵
$x^2 - 4x - 5 = 0 \rightarrow x^2 - 4x = 5 \rightarrow $
$ \rightarrow (x - 2)^2 = 9 \rightarrow x_1 = 11$
$x_2 = -7$
A.小张
B.小王
C.小李
D.小赵
D
）原方程 小张 小王 小李 小赵
$x^2 - 4x - 5 = 0 \rightarrow x^2 - 4x = 5 \rightarrow $
$ \rightarrow (x - 2)^2 = 9 \rightarrow x_1 = 11$$x_2 = -7$
A.小张
B.小王
C.小李
D.小赵
答案
2.D
解析
【分析】
本题可通过配方法解一元二次方程的标准步骤，依次核对4名同学的计算结果，即可找出出错的同学。配方法解一元二次方程的常规步骤为：移项、配方、写成完全平方形式、开平方求解，按步骤逐一核对即可。
【解析】
我们分步核对每位同学的计算：
1. 小张的步骤：原方程$x^2-4x-5=0$，移项将常数项移到等号右侧，得$x^2-4x=5$，计算正确；
2. 小王的步骤：配方，左右两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为$-4$，一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此得$x^2-4x+4=5+4$，计算正确；
3. 小李的步骤：将左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项，得$(x-2)^2=9$，计算正确；
4. 小赵的步骤：对$(x-2)^2=9$开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_1=2+3=5$，$x_2=2-3=-1$，小赵得出的$x_1=11$、$x_2=-7$是错误结果。
因此负责错误步骤的是小赵。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查配方法解方程的规范步骤，易错点为开平方时忽略正负号或计算错误，熟练掌握配方法的标准流程就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
本题可通过配方法解一元二次方程的标准步骤，依次核对4名同学的计算结果，即可找出出错的同学。配方法解一元二次方程的常规步骤为：移项、配方、写成完全平方形式、开平方求解，按步骤逐一核对即可。
【解析】
我们分步核对每位同学的计算：
1. 小张的步骤：原方程$x^2-4x-5=0$，移项将常数项移到等号右侧，得$x^2-4x=5$，计算正确；
2. 小王的步骤：配方，左右两边同时加一次项系数一半的平方，一次项系数为$-4$，一半的平方为$(\frac{-4}{2})^2=4$，因此得$x^2-4x+4=5+4$，计算正确；
3. 小李的步骤：将左侧写成完全平方形式，右侧合并常数项，得$(x-2)^2=9$，计算正确；
4. 小赵的步骤：对$(x-2)^2=9$开平方，得$x-2=\pm3$，解得$x_1=2+3=5$，$x_2=2-3=-1$，小赵得出的$x_1=11$、$x_2=-7$是错误结果。
因此负责错误步骤的是小赵。
【答案】
D
【知识点】
配方法解一元二次方程
【点评】
本题核心考查配方法解方程的规范步骤，易错点为开平方时忽略正负号或计算错误，熟练掌握配方法的标准流程就能快速判断正误。
【难度系数】
0.8
3.若用公式法解关于x的一元二次方程$2x^2 + 3x -4=0$，其根为（
C
）答案
3.C
解析
【分析】
要使用公式法解一元二次方程，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题步骤为：第一步确定方程中$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，尤其注意各系数的符号；第二步将$a、b、c$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，最后对照选项选出匹配的结果即可。
【解析】
首先将方程$2x^2 + 3x -4=0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对比，可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-4$，
将上述值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-4)}}{2×2}$，与选项C的表达式完全一致。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础考查题，解题核心是准确识别方程中$a、b、c$的取值与符号，再正确代入求根公式，需注意避免遗漏求根公式中分子的$-b$的负号、以及分母为$2a$这两个常见易错点。
【难度系数】
0.75
要使用公式法解一元二次方程，首先需明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题步骤为：第一步确定方程中$a$（二次项系数）、$b$（一次项系数）、$c$（常数项）的取值，尤其注意各系数的符号；第二步将$a、b、c$代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，最后对照选项选出匹配的结果即可。
【解析】
首先将方程$2x^2 + 3x -4=0$与一元二次方程一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$对比，可得：
二次项系数$a=2$，一次项系数$b=3$，常数项$c=-4$，
将上述值代入求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，得：
$x=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-4×2×(-4)}}{2×2}$，与选项C的表达式完全一致。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式，公式法解一元二次方程
【点评】
本题是公式法解方程的基础考查题，解题核心是准确识别方程中$a、b、c$的取值与符号，再正确代入求根公式，需注意避免遗漏求根公式中分子的$-b$的负号、以及分母为$2a$这两个常见易错点。
【难度系数】
0.75
4.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$的两个实数根分别为$x_1=-2$，$x_2=4$，则$m+n$的值是（
A.－10
B.10
C.－6
D.2
A
）A.－10
B.10
C.－6
D.2
答案
4.A
解析
【分析】
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；再结合题干给出的方程形式和两个根的取值，分别求出$m$、$n$的值，最后计算$m+n$的结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=n$，已知两根为$x_1=-2$，$x_2=4$，根据根与系数的关系可得：
1. 两根之和：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -m$
代入数值：$-2+4=2=-m$，解得$m=-2$
2. 两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = n$
代入数值：$(-2)×4=-8=n$，解得$n=-8$
因此$m+n = -2 + (-8) = -10$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时注意不要记错两根之和与系数的正负对应关系，熟练掌握公式即可快速得出结果，也可将两根代入原方程联立求解$m$、$n$，但用韦达定理解题效率更高。
【难度系数】
0.8
本题可利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求解，解题思路如下：首先回忆一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的两根$x_1$、$x_2$满足：两根之和$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$，两根之积$x_1x_2=\frac{c}{a}$；再结合题干给出的方程形式和两个根的取值，分别求出$m$、$n$的值，最后计算$m+n$的结果即可。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，其中$a=1$，$b=m$，$c=n$，已知两根为$x_1=-2$，$x_2=4$，根据根与系数的关系可得：
1. 两根之和：$x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = -m$
代入数值：$-2+4=2=-m$，解得$m=-2$
2. 两根之积：$x_1x_2 = \frac{c}{a} = n$
代入数值：$(-2)×4=-8=n$，解得$n=-8$
因此$m+n = -2 + (-8) = -10$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数关系
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查韦达定理的直接应用，解题时注意不要记错两根之和与系数的正负对应关系，熟练掌握公式即可快速得出结果，也可将两根代入原方程联立求解$m$、$n$，但用韦达定理解题效率更高。
【难度系数】
0.8
5. [2025合肥三模]随着人们环保意识的增强和技术的进步，某品牌的电动汽车逐渐成为消费者的新宠.该品牌电动汽车在某销售商处今年1月份的销量为1 000辆，由于国补政策的持续升温，3月份的销量比1月份增加了2 100辆.设每个月销量的平均增长率为$x$，则下列方程正确的是 （
A.$1000(1-x)^2=2100$
B.$1000(1+x)^2=2100$
C.$1000(1+2x)=1000+2100$
D.$1000(1+x)^2=1000+2100$
D
）A.$1000(1-x)^2=2100$
B.$1000(1+x)^2=2100$
C.$1000(1+2x)=1000+2100$
D.$1000(1+x)^2=1000+2100$
答案
5.D
解析
【分析】
本题考查平均增长率相关的一元二次方程列法，解题思路如下：首先明确初始量（1月销量1000辆）、平均增长率x、增长周期数（1月到3月共增长2次）；再根据平均增长率的计算公式写出3月销量的表达式；最后结合题干中“3月份销量比1月份增加2100辆”的条件，写出3月销量的另一种表达，两个表达式相等即可列出方程，再匹配选项判断。
【解析】
已知1月份销量为1000辆，每月销量平均增长率为x：
1. 2月份销量为1月份销量乘$(1+x)$，即：$1000(1+x)$
2. 3月份销量为2月份销量乘$(1+x)$，即：$1000(1+x) × (1+x) = 1000(1+x)^2$
3. 由题干“3月份的销量比1月份增加了2100辆”可得，3月份总销量为：$1000 + 2100$
4. 联立两个3月销量的表达式，可得方程：$1000(1+x)^2 = 1000 + 2100$
对比选项，D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类的基础题型，易错点是容易误将“增加的2100辆”当作3月份的总销量，错选B选项，解题时要注意区分“增长量”和“最终总销量”的表述差异。
【难度系数】
0.7
本题考查平均增长率相关的一元二次方程列法，解题思路如下：首先明确初始量（1月销量1000辆）、平均增长率x、增长周期数（1月到3月共增长2次）；再根据平均增长率的计算公式写出3月销量的表达式；最后结合题干中“3月份销量比1月份增加2100辆”的条件，写出3月销量的另一种表达，两个表达式相等即可列出方程，再匹配选项判断。
【解析】
已知1月份销量为1000辆，每月销量平均增长率为x：
1. 2月份销量为1月份销量乘$(1+x)$，即：$1000(1+x)$
2. 3月份销量为2月份销量乘$(1+x)$，即：$1000(1+x) × (1+x) = 1000(1+x)^2$
3. 由题干“3月份的销量比1月份增加了2100辆”可得，3月份总销量为：$1000 + 2100$
4. 联立两个3月销量的表达式，可得方程：$1000(1+x)^2 = 1000 + 2100$
对比选项，D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
增长率问题、一元二次方程的应用
【点评】
本题是增长率类的基础题型，易错点是容易误将“增加的2100辆”当作3月份的总销量，错选B选项，解题时要注意区分“增长量”和“最终总销量”的表述差异。
【难度系数】
0.7
6.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根分别为$-2$和$3$，则关于$x$的方程$a(x^2 - 1)^2 + b(x^2 - 1) + c = 0$的实数根的个数为（
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
B
）A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
6.B
解析
【分析】
本题可通过换元思想简化求解，观察两个方程的结构可知，第二个方程中$(x^2-1)$整体与第一个方程的未知数$x$地位相同，因此先设$t=x^2-1$，将待求方程转化为已知两根的一元二次方程，先求出$t$的取值，再分别代入$t=x^2-1$求解$x$，统计实数根的个数即可。解题时需注意，求出$t$后要判断对应的关于$x$的方程是否存在实根，不能直接默认每个$t$都对应2个$x$的根。
【解析】
解：令$t = x^2 - 1$，则方程$a(x^2 - 1)^2 + b(x^2 - 1) + c = 0$可转化为：
$at^2 + bt + c = 0$
∵ 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$-2$和$3$
∴ 方程$at^2 + bt + c = 0$的两根为$t_1 = -2$，$t_2 = 3$
分别求解对应的$x$的实根：
1. 当$t = -2$时，代入$t = x^2 - 1$得：
$x^2 - 1 = -2$，整理得$x^2 = -1$，该方程无实数根；
2. 当$t = 3$时，代入$t = x^2 - 1$得：
$x^2 - 1 = 3$，整理得$x^2 = 4$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，共2个实数根。
综上，原方程的实数根个数为2。
【答案】
B
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程根的定义，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查整体换元思想的应用，解题的突破口是识别两个方程的结构共性，通过整体代换把未知方程转化为已知方程求解，需要注意在求$x$的根时要判断方程是否有实根，避免忽略平方的非负性导致错算根的数量。
【难度系数】
0.6
本题可通过换元思想简化求解，观察两个方程的结构可知，第二个方程中$(x^2-1)$整体与第一个方程的未知数$x$地位相同，因此先设$t=x^2-1$，将待求方程转化为已知两根的一元二次方程，先求出$t$的取值，再分别代入$t=x^2-1$求解$x$，统计实数根的个数即可。解题时需注意，求出$t$后要判断对应的关于$x$的方程是否存在实根，不能直接默认每个$t$都对应2个$x$的根。
【解析】
解：令$t = x^2 - 1$，则方程$a(x^2 - 1)^2 + b(x^2 - 1) + c = 0$可转化为：
$at^2 + bt + c = 0$
∵ 一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的两根为$-2$和$3$
∴ 方程$at^2 + bt + c = 0$的两根为$t_1 = -2$，$t_2 = 3$
分别求解对应的$x$的实根：
1. 当$t = -2$时，代入$t = x^2 - 1$得：
$x^2 - 1 = -2$，整理得$x^2 = -1$，该方程无实数根；
2. 当$t = 3$时，代入$t = x^2 - 1$得：
$x^2 - 1 = 3$，整理得$x^2 = 4$，解得$x_1 = 2$，$x_2 = -2$，共2个实数根。
综上，原方程的实数根个数为2。
【答案】
B
【知识点】
换元法解方程，一元二次方程根的定义，解一元二次方程
【点评】
本题重点考查整体换元思想的应用，解题的突破口是识别两个方程的结构共性，通过整体代换把未知方程转化为已知方程求解，需要注意在求$x$的根时要判断方程是否有实根，避免忽略平方的非负性导致错算根的数量。
【难度系数】
0.6
二、填空题
7. [2026 马鞍山期末]方程$(3x+2)(2x-3)=5$化为一般形式是
7. [2026 马鞍山期末]方程$(3x+2)(2x-3)=5$化为一般形式是
$6x^2 -5x -11=0$
。答案
7.$6x^2 -5x -11=0$
解析
【分析】
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）。解题思路为：第一步利用多项式乘多项式的法则展开方程左边的乘积，第二步将等号右侧的常数移到左侧，第三步合并同类项，最终整理为左侧按$x$的降幂排列、右侧为0的形式即可。
【解析】
1. 展开方程左边的乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(3x+2)(2x-3)=3x·2x + 3x·(-3) + 2·2x + 2·(-3)=6x^2 -9x +4x -6=6x^2 -5x -6$
此时原方程变为：$6x^2 -5x -6=5$
2. 移项：将等号右侧的5移到等号左侧，注意移项要变号，得：
$6x^2 -5x -6 -5=0$
3. 合并同类项：
$6x^2 -5x -11=0$
【答案】
$6x^2 -5x -11=0$
【知识点】
多项式乘法、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础化简题，主要考察多项式乘法运算和移项合并同类项的基本技能，计算时要注意不要漏乘多项式的项，移项时注意符号变化。
【难度系数】
0.9
要将给定的方程化为一元二次方程的一般形式，首先明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a,b,c$为常数，且$a≠0$）。解题思路为：第一步利用多项式乘多项式的法则展开方程左边的乘积，第二步将等号右侧的常数移到左侧，第三步合并同类项，最终整理为左侧按$x$的降幂排列、右侧为0的形式即可。
【解析】
1. 展开方程左边的乘积：
根据多项式乘多项式法则，$(3x+2)(2x-3)=3x·2x + 3x·(-3) + 2·2x + 2·(-3)=6x^2 -9x +4x -6=6x^2 -5x -6$
此时原方程变为：$6x^2 -5x -6=5$
2. 移项：将等号右侧的5移到等号左侧，注意移项要变号，得：
$6x^2 -5x -6 -5=0$
3. 合并同类项：
$6x^2 -5x -11=0$
【答案】
$6x^2 -5x -11=0$
【知识点】
多项式乘法、一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是一元二次方程的基础化简题，主要考察多项式乘法运算和移项合并同类项的基本技能，计算时要注意不要漏乘多项式的项，移项时注意符号变化。
【难度系数】
0.9
8.若关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^2 + m^2x +1 =x$不含一次项，则$m$的值为
$-1$
.答案
8.$-1$
解析
【分析】
首先需要将给定方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题需结合两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程不含一次项，因此一次项系数为0。先移项合并同类项得到各次项系数的表达式，再分别根据两个条件列方程求解，最后排除不符合一元二次方程定义的取值即可得到$m$的值。
【解析】
解：将原方程移项整理为一元二次方程标准形式：
$(m-1)x^2 + m^2x +1 -x =0$
合并同类项得：$\boldsymbol{(m-1)x^2 + (m^2 -1)x +1 =0}$
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$；
又
∵ 方程不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即$m^2-1=0$，
解得$m=1$或$m=-1$。
结合$m≠1$的限制条件，舍去$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，项的系数判定
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，误取$m=1$导致失分，牢记核心限制条件即可轻松解题。
【难度系数】
0.6
首先需要将给定方程整理为一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，解题需结合两个核心条件：一是该方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是方程不含一次项，因此一次项系数为0。先移项合并同类项得到各次项系数的表达式，再分别根据两个条件列方程求解，最后排除不符合一元二次方程定义的取值即可得到$m$的值。
【解析】
解：将原方程移项整理为一元二次方程标准形式：
$(m-1)x^2 + m^2x +1 -x =0$
合并同类项得：$\boldsymbol{(m-1)x^2 + (m^2 -1)x +1 =0}$
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ 二次项系数不为0，即$m-1≠0$，解得$m≠1$；
又
∵ 方程不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即$m^2-1=0$，
解得$m=1$或$m=-1$。
结合$m≠1$的限制条件，舍去$m=1$，因此$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式，项的系数判定
【点评】
本题是一元二次方程的基础常考题型，解题的易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，误取$m=1$导致失分，牢记核心限制条件即可轻松解题。
【难度系数】
0.6
9. [2026 蚌埠期末] 观察下列一组方程:①$x^2 - x = 0$;②$x^2 - 3x + 2 = 0$;③$x^2 -5x +6=0$;④$x^2 -7x +12=0$,它们的根都是两个连续的自然数,我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”.若$x^2 -kx +72=0$也是“连根一元二次方程”,则k的值为
$17$
.答案
9.17
解析
【分析】
首先理解“连根一元二次方程”的核心特征：方程的两个根是连续的自然数。我们可以先设这两个连续自然数根为$n$和$n+1$（$n$为自然数），再利用一元二次方程根与系数的关系：对于方程$x^2-kx+72=0$，两根之积等于常数项72，两根之和等于$k$。因此先由两根之积为72求出对应的连续自然数，再计算两根之和即可得到$k$的值。
【解析】
设方程$x^2 -kx +72=0$的两个连续自然数根为$n$和$n+1$（$n$为自然数）。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积满足：
$n(n+1)=72$
整理得$n^2 +n -72=0$，因式分解得$(n+9)(n-8)=0$，
解得$n=8$或$n=-9$，由于$n$是自然数，故舍去$n=-9$。
因此方程的两个根为8和9，根据根与系数的关系，两根之和为$8+9=k$，即$k=17$。
【答案】
17
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；因式分解解方程；新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程相关知识，解题的关键是抓住新定义的本质特征，灵活运用根与系数的关系建立等式求解，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
首先理解“连根一元二次方程”的核心特征：方程的两个根是连续的自然数。我们可以先设这两个连续自然数根为$n$和$n+1$（$n$为自然数），再利用一元二次方程根与系数的关系：对于方程$x^2-kx+72=0$，两根之积等于常数项72，两根之和等于$k$。因此先由两根之积为72求出对应的连续自然数，再计算两根之和即可得到$k$的值。
【解析】
设方程$x^2 -kx +72=0$的两个连续自然数根为$n$和$n+1$（$n$为自然数）。
根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积满足：
$n(n+1)=72$
整理得$n^2 +n -72=0$，因式分解得$(n+9)(n-8)=0$，
解得$n=8$或$n=-9$，由于$n$是自然数，故舍去$n=-9$。
因此方程的两个根为8和9，根据根与系数的关系，两根之和为$8+9=k$，即$k=17$。
【答案】
17
【知识点】
一元二次方程根与系数的关系；因式分解解方程；新定义应用
【点评】
本题结合新定义考查一元二次方程相关知识，解题的关键是抓住新定义的本质特征，灵活运用根与系数的关系建立等式求解，侧重对基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
