一、选择题
1. 如图，$AB=AC$，点D在边AC上，$BD=BC$，若$∠ A=40°$，则$∠ ABD$的度数是().


A.$20°$
B.$30°$
C.$35°$
D.$40°$

1. B

【分析】
本题已知多个等腰三角形的边长相等关系及顶角度数，求未知角的度数，解题思路如下：1. 首先根据等腰三角形“等边对等角”的性质，结合三角形内角和定理，先求出△ABC的底角∠C的度数；2. 再根据BD=BC，得出△BCD也是等腰三角形，推出∠BDC与∠C相等；3. 最后利用三角形外角的性质，即可求出∠ABD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠A=40°
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠C
根据三角形内角和为180°，可得：
∠C = (180° - ∠A)÷2 = (180° - 40°)÷2 = 70°
又
∵BD=BC
∴△BCD是等腰三角形，∠BDC=∠C=70°
∵∠BDC是△ABD的外角，根据三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD
∴∠ABD = ∠BDC - ∠A = 70° - 40° = 30°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，解题核心是利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和、外角性质逐步推导角度，只要理清图中等腰三角形的底角和顶角的对应关系，即可快速求解。
【难度系数】
0.75

2. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线交于点$D$，过点$D$作直线$EF // BC$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$，在不添加辅助线的情况下，图中等腰三角形有()个.

A.3
B.4
C.5
D.6

2. C

【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形“等角对等边”的判定定理，结合已知条件逐步推导：首先先找已知的等腰三角形，再利用角平分线的性质、平行线的内错角相等的性质，推导其余三角形的角相等关系，逐一验证是否为等腰三角形，避免漏数。
【解析】
解：我们逐个判断等腰三角形：
1.
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，且∠ABC=∠ACB；
2.
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC=½∠ABC，∠DCB=½∠ACB，
又∠ABC=∠ACB，
∴∠DBC=∠DCB，
∴DB=DC，△DBC是等腰三角形；
3.
∵EF//BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
又∠ABC=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF，△AEF是等腰三角形；
4.
∵EF//BC，
∴∠EDB=∠DBC，
又BD平分∠ABC，即∠EBD=∠DBC，

∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，△EBD是等腰三角形；
5. 同理可得，∠FDC=∠DCB=∠FCD，
∴FD=FC，△FDC是等腰三角形。
综上，共有5个等腰三角形。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题解题关键是熟练掌握角平分线、平行线的性质以及等腰三角形的判定方法，解题时要逐一排查所有三角形，避免漏数或者多数。
【难度系数】
0.7

3. 下列说法中正确的是().

A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
B.顶角相等的两个等腰三角形底角不一定相等
C.等腰三角形一边长不可以是另一边长的2倍
D.等腰三角形的两个底角相等

3. D

【分析】
本题考查等腰三角形的相关性质，解题时需要逐个判断每个选项的正误，结合等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形三边关系逐一分析即可。首先回忆等腰三角形“三线合一”的适用范围，再结合内角和判断顶角相等的等腰三角形底角的关系，接着通过举例验证边长倍数关系是否成立，最后对应等腰三角形底角的性质判断正确选项。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：等腰三角形的“三线合一”指的是底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有的高、中线、角平分线都重合，该选项表述错误；
B选项：等腰三角形两底角相等，三角形内角和为180°，若两个等腰三角形顶角相等，则底角均为$\frac{180° - 顶角}{2}$，因此底角一定相等，该选项表述错误；
C选项：当等腰三角形的腰长为底边长的2倍时，例如三边长为4、4、2，满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），可以构成等腰三角形，因此一边长可以是另一边长的2倍，该选项表述错误；
D选项：“等腰三角形的两个底角相等”是等腰三角形的基本性质（等边对等角），该选项表述正确。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的性质、三角形三边关系、三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点在于对等腰三角形“三线合一”的适用范围记忆不准确，以及判断边长倍数关系时忽略三边关系的适用情况，牢记基础性质即可正确作答。
【难度系数】
0.8

二、填空题
4. 如图，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，线段$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$，那么$∠ ADC$的度数为。

4. 60°

【分析】
解题时先从已知的等腰三角形条件入手，先求出底角∠B的度数；再利用线段垂直平分线的性质得到AD=BD，推出∠BAD=∠B；最后利用三角形外角的性质，即可求出∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴△ABC是等腰三角形，底角$∠ B=(180°-∠ BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°$
∵D在线段AB的垂直平分线上
∴AD=BD
∴$∠ BAD=∠ B=30°$
∵∠ADC是△ABD的外角
∴$∠ ADC=∠ B+∠ BAD=30°+30°=60°$
【答案】
$60°$
【知识点】
等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类题型，综合考查了多个几何基础性质的应用，解题的关键是梳理清楚各边角之间的等量关系，灵活运用相关性质推导未知角的度数，是等腰三角形章节的典型练习题。
【难度系数】
0.7

5. 如图,在一张长方形纸条上任意画一条截线AB,将纸条沿截线AB折叠,所得到重叠部分△ABC一定是三角形.

5. 等腰

【分析】
解题时先梳理用到的基础性质：①长方形对边互相平行，平行线的内错角相等；②折叠属于轴对称变换，折叠前后对应角大小相等；③等腰三角形判定定理：等角对等边。解题思路为：先借助平行线的性质得到一组内错角相等，再结合折叠的性质得到另一组相等的角，通过等量代换推出△ABC中有两个内角相等，最后利用等腰三角形的判定定理得出结论。
【解析】
∵长方形的对边互相平行
∴纸条的上下两条边平行，可得∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵纸条沿AB折叠
∴折叠前后对应角相等，即∠2=∠ABC
∴∠1=∠ABC（等量代换）
∴AC=BC（等角对等边）
∴重叠部分△ABC是等腰三角形
【答案】
等腰
【知识点】
平行线的性质；折叠的性质；等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础几何题，综合考查了平行线性质、折叠的对称性和等腰三角形的判定，解题的核心是准确找到折叠前后的等角，结合平行线的性质推导角的等量关系。
【难度系数】
0.8

6. 如图，直线$ l_1 // l_2 $，将等边三角形ABC如图放置，若$ ∠ α = 40° $，则$ ∠ β $的度数为。

6. 20°

【分析】
解题时需结合平行线的性质与等边三角形的内角特征求解：首先回忆等边三角形每个内角均为60°，针对两条平行线间夹三角形的题型，可通过过三角形顶点作平行线的辅助线方法，利用平行于同一直线的两直线互相平行，将已知的∠α、等边三角形的内角与未知的∠β转化为平行线间的内错角，进而建立角度关系计算出∠β的度数。
【解析】
解：过点A作$AD // l_1$，
$\because l_1 // l_2$，
$\therefore AD // l_1 // l_2$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ α = ∠ BAD = 40°$（两直线平行，内错角相等），
$\because △ ABC$是等边三角形，
$\therefore ∠ BAC = 60°$，
$\therefore ∠ DAC = ∠ BAC - ∠ BAD = 60° - 40° = 20°$，
又$\because AD // l_2$，
$\therefore ∠ β = ∠ DAC = 20°$（两直线平行，内错角相等）。
【答案】
$20°$
【知识点】
平行线的性质；等边三角形的性质；平行公理推论
【点评】
本题是平行线性质与特殊三角形性质的基础综合题，解题关键是合理构造辅助线，将分散的已知角和未知角通过平行线的内错角关系建立关联，是几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.7