三、解答题
7. 如图，在$△ ABC$中，$∠ BAC = 108°$，$AB = AC$，$BD$平分$∠ ABC$交$AC$于点$D$.求证：$BC = CD + AB$.

7. 提示：① 截长法.在BC上取点E,使BE=BA，连接DE.② 补短法.延长BA至点F,使BF=BC，连接DF

【分析】
要证明一条线段等于另外两条线段的和，通常采用“截长补短法”构造全等或等腰三角形完成线段等量转化：
1. 截长思路：在长线段BC上截取一段等于AB，利用BD是角平分线、公共边BD的条件证明三角形全等，再推导剩余线段等于CD即可。
2. 补短思路：延长短边AB，使延长后的总长度等于BC，证明三角形全等后推导延长部分的线段等于CD即可。以下以截长法为例解题。
【解析】
证明：在BC上取点E，使$BE=BA$，连接$DE$。
∵ $BD$平分$∠ABC$，
∴ $∠ABD=∠EBD$。
在$△ ABD$和$△ EBD$中：
$\begin{cases}AB=EB \\∠ABD=∠EBD \\BD=BD\end{cases}$
∴ $△ ABD ≌ △ EBD$（SAS），
∴ $∠BED=∠BAC=108°$，
∴ $∠DEC=180°-∠BED=180°-108°=72°$。
∵ $AB=AC$，$∠BAC=108°$，
∴ $∠ABC=∠C=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
在$△ DEC$中，$∠EDC=180°-∠C-∠DEC=180°-36°-72°=72°$，
∴ $∠DEC=∠EDC$，
∴ $CD=CE$。
∵ $BC=BE+CE$，且$BE=AB$，$CE=CD$，
∴ $BC=CD+AB$。
（补短法简略步骤：延长$BA$至点$F$，使$BF=BC$，连接$DF$，证$△ BDF ≌ △ BDC$得$CD=DF$，再证$∠F=∠ADF$得$AF=DF$，即可得$BC=BF=AB+AF=AB+CD$）
【答案】
$BC=CD+AB$得证。
【知识点】
等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义
【点评】
本题是线段和差类证明的典型习题，核心考查截长补短辅助线的构造方法，解题时结合已知的角平分线、等腰三角形条件，通过全等三角形实现线段的等量转化即可完成证明，这类辅助线方法在几何证明中应用十分广泛，需熟练掌握。
【难度系数】
0.6

8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=90°$，$BE$是$△ ABC$的角平分线，$CD ⊥ BE$交$BE$的延长线于点$D$.求证：$BE=2CD$.

8. 如图，延长BA，CD交于点Q.
∴ ∠CAQ=∠BDQ=90°.
∴ ∠ACQ+∠Q=90°, ∠ABE +∠Q=90°.
∴ ∠ACQ=∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中,∠ABE=∠ACQ, AB=AC, ∠BAE=∠CAQ=90°,
∴ △ABE ≌△ACQ.
∴ BE=CQ.
∵ BD平分∠ABC, ∠BDC=∠BDQ=90°,
∴ ∠Q=∠BCQ.
∴ BQ=BC. 又
∵ BD ⊥ CQ,
∴ CD=DQ.
∴ BE=CQ=2CD

【分析】
要证明BE=2CD这类线段倍分关系的问题，直接推导较为困难，我们可以通过构造辅助线转化问题：首先观察到BE是角平分线且CD⊥BE，符合“角平分线+边上的垂线”的特征，可延长BA、CD交于点Q，先利用等腰三角形三线合一得到CQ=2CD，再证明△ABE和△ACQ全等得到BE=CQ，即可推导出结论。
【解析】
如图，延长BA，CD交于点Q。
∵∠BAC=90°，CD⊥BE，
∴∠CAQ=∠BDQ=∠BAE=90°，
∴∠ACQ+∠Q=90°，∠ABE +∠Q=90°，
∴∠ACQ=∠ABE。
在△ABE 和△ACQ 中：
$\{\begin{array}{l}∠ ABE=∠ ACQ\\ AB=AC\\ ∠ BAE=∠ CAQ=90°\end{array} $
∴△ABE ≌△ACQ（ASA），
∴BE=CQ。
∵BD平分∠ABC，∠BDC=∠BDQ=90°，
∴∠Q=∠BCQ，
∴BQ=BC。
又
∵BD⊥CQ，
∴CD=DQ，即CQ=2CD，
∴BE=CQ=2CD。
【答案】
8. 如图，延长BA，CD交于点Q.
∴ ∠CAQ=∠BDQ=90°.
∴ ∠ACQ+∠Q=90°, ∠ABE +∠Q=90°.
∴ ∠ACQ=∠ABE.在△ABE 和△ACQ 中,∠ABE=∠ACQ, AB=AC, ∠BAE=∠CAQ=90°,
∴ △ABE ≌△ACQ.
∴ BE=CQ.
∵ BD平分∠ABC, ∠BDC=∠BDQ=90°,
∴ ∠Q=∠BCQ.
∴ BQ=BC. 又
∵ BD ⊥ CQ,
∴ CD=DQ.
∴ BE=CQ=2CD
【知识点】
全等三角形判定与性质；等腰三角形三线合一；角平分线的定义
【点评】
本题是全等三角形与等腰三角形的综合证明题，核心解题技巧是利用“角平分线+垂线”的特征构造等腰三角形，再通过全等三角形转化线段关系，这类辅助线作法在几何倍分证明题中十分常见，要注意归纳掌握。
【难度系数】
0.6

9. 在边长为9的等边三角形ABC中，P是边AB上一动点，以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，设运动时间为t s.
（1）如图(1)，若Q是边BC上的定点，BQ＝6，PQ//AC，求t的值；
（2）如图(2)，若点P开始运动时，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B开始沿边BC，CA向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？

9. (1) 由题意,得AP=t.则BP=9−t.
∵ △ABC是等边三角形，PQ//AC，
∴ ∠BQP=∠C=60°, ∠BPQ=∠A=60°.
∴ △BPQ是等边三角形.
∴ BP=BQ.
∴ 9−t=6. 解得t=3
（2）当点Q运动到边BC上时,△APQ不可能为等边三角形;当点Q运动到边CA上时,由题意,得AP=t, BC+CQ=2t.
∴ AQ=18−2t.
∵ △APQ 为等边三角形,
∴ AP=AQ.
∴ 18−2t =t, 解得t=6. 综上所述,当t=6时,△APQ 为等边三角形

【分析】
（1）首先根据点P的运动速度和时间表示出AP、BP的长度；结合△ABC是等边三角形、PQ//AC的条件，可推出△BPQ为等边三角形，根据等边三角形三边相等得到BP=BQ，代入对应线段的表达式列方程即可求解t的值。
（2）先分类讨论点Q的位置：①当Q在BC边上时，分析可知此时无法满足△APQ为等边三角形；②当Q在CA边上时，根据Q的运动路程表示出AQ的长度，若△APQ为等边三角形则AP=AQ，代入列方程求解即可得到符合条件的t值。
【解析】
(1) 由题意得，点P的运动速度为每秒1个单位，运动时间为$t\ \mathrm{s}$，因此$AP = t$，则$BP = AB - AP = 9 - t$。
∵$△ ABC$是等边三角形，
∴$∠ A=∠ C=60°$，
又
∵$PQ// AC$，
∴$∠ BQP=∠ C=60°$，$∠ BPQ=∠ A=60°$，
∴$△ BPQ$的三个内角均为$60°$，即$△ BPQ$是等边三角形，
∴$BP = BQ$，已知$BQ=6$，
∴$9 - t = 6$，解得$t=3$。
(2) 分情况讨论点Q的位置：
① 当点Q在边BC上运动时，无法同时满足等边三角形的边长、角度条件，$△ APQ$不可能为等边三角形；
② 当点Q运动到边CA上时，点Q的运动路程为$2t$，因此$BC + CQ = 2t$，
则$AQ = AC - CQ = 9 - (2t - 9) = 18 - 2t$，
若$△ APQ$为等边三角形，则$AP = AQ$，
∴$t = 18 - 2t$，解得$t=6$，此时Q在CA边上，符合条件。
综上所述，当$t=6$时，$△ APQ$为等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=3}$；(2) $\boldsymbol{t=6}$
【知识点】
等边三角形的判定与性质，平行线的性质，动点问题求解
【点评】
本题是等边三角形与动点结合的典型题型，解题关键是结合几何性质找出线段间的等量关系列方程，同时注意对点的运动位置进行分类讨论，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7