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例2 小明计算一个多边形的内角和时误把一个外角加进去了，得其和为$2260°$。
(1)求这个多加的外角的度数；
(2)求这个多边形对角线的总条数。
[点拨] (1)根据多边形的内角和公式$(n-2)·180°$可知，多边形的内角和是$180°$的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解；
(2)$n$边形的对角线的条数是$\frac{n(n-3)}{2}$。
[解] (1)设多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$α$，则
$(n-2)·180°=2260°-α$，
$\because2260°=12×180°+100°$，内角和应是$180°$的倍数，
$\therefore$多加的一个外角为$100°$，
$\therefore$这是$12+2=14$边形的内角和。
(2)多边形的对角线的条数是
$\frac{14×(14-3)}{2}=77$(条)。
即共有77条对角线。
(1)求这个多加的外角的度数；
(2)求这个多边形对角线的总条数。
[点拨] (1)根据多边形的内角和公式$(n-2)·180°$可知，多边形的内角和是$180°$的倍数，然后求出多边形的边数以及多加的外角的度数即可得解；
(2)$n$边形的对角线的条数是$\frac{n(n-3)}{2}$。
[解] (1)设多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$α$，则
$(n-2)·180°=2260°-α$，
$\because2260°=12×180°+100°$，内角和应是$180°$的倍数，
$\therefore$多加的一个外角为$100°$，
$\therefore$这是$12+2=14$边形的内角和。
(2)多边形的对角线的条数是
$\frac{14×(14-3)}{2}=77$(条)。
即共有77条对角线。
答案
解：(1) 设这个多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$α$，
根据多边形内角和公式，得
$(n-2)·180°=2260°-α$
因为多边形的外角满足$0°＜α＜180°$，且多边形内角和是$180°$的倍数，
又$2260°=12×180°+100°$，
所以多加的外角的度数为$100°$，
此时$n-2=12$，解得$n=14$，该多边形为十四边形。
(2) 将$n=14$代入$n$边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，得：
$\frac{14×(14-3)}{2}=77$
答：(1) 这个多加的外角的度数为$100°$；(2) 这个多边形对角线的总条数为77条。
根据多边形内角和公式，得
$(n-2)·180°=2260°-α$
因为多边形的外角满足$0°＜α＜180°$，且多边形内角和是$180°$的倍数，
又$2260°=12×180°+100°$，
所以多加的外角的度数为$100°$，
此时$n-2=12$，解得$n=14$，该多边形为十四边形。
(2) 将$n=14$代入$n$边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，得：
$\frac{14×(14-3)}{2}=77$
答：(1) 这个多加的外角的度数为$100°$；(2) 这个多边形对角线的总条数为77条。
解析
【分析】
(1) 首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)·180°$，可知内角和一定是180°的整数倍；同时多边形的任意一个外角度数范围是$0°＜α＜180°$。因此2260°减去多加的外角α后得到的内角和应为180°的整数倍，我们只需要计算2260°除以180°的余数，就能得到多加的外角度数，进而求出多边形的边数n。
(2) 求出边数n后，直接代入n边形对角线总条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$计算即可。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$α$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)·180°=2260°-α$
由于多边形的外角满足$0°＜α＜180°$，且多边形内角和是180°的整数倍，计算得$2260°=12×180°+100°$，因此多加的外角的度数为$100°$。
此时$n-2=12$，解得$n=14$，即该多边形为十四边形。
(2) 根据n边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，将$n=14$代入得：
$\frac{14×(14-3)}{2}=77$
【答案】
(1) 多加的外角的度数为$\boldsymbol{100°}$；
(2) 这个多边形对角线的总条数为$\boldsymbol{77}$条。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角的性质；多边形对角线公式
【点评】
本题核心是利用多边形内角和为180°的整数倍这一隐含条件，结合外角的取值范围快速确定多边形的边数，再代入对角线公式求解，解题思路清晰，是多边形章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
(1) 首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)·180°$，可知内角和一定是180°的整数倍；同时多边形的任意一个外角度数范围是$0°＜α＜180°$。因此2260°减去多加的外角α后得到的内角和应为180°的整数倍，我们只需要计算2260°除以180°的余数，就能得到多加的外角度数，进而求出多边形的边数n。
(2) 求出边数n后，直接代入n边形对角线总条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$计算即可。
【解析】
(1) 设这个多边形的边数为$n$，多加的外角度数为$α$，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)·180°=2260°-α$
由于多边形的外角满足$0°＜α＜180°$，且多边形内角和是180°的整数倍，计算得$2260°=12×180°+100°$，因此多加的外角的度数为$100°$。
此时$n-2=12$，解得$n=14$，即该多边形为十四边形。
(2) 根据n边形对角线条数公式$\frac{n(n-3)}{2}$，将$n=14$代入得：
$\frac{14×(14-3)}{2}=77$
【答案】
(1) 多加的外角的度数为$\boldsymbol{100°}$；
(2) 这个多边形对角线的总条数为$\boldsymbol{77}$条。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角的性质；多边形对角线公式
【点评】
本题核心是利用多边形内角和为180°的整数倍这一隐含条件，结合外角的取值范围快速确定多边形的边数，再代入对角线公式求解，解题思路清晰，是多边形章节的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
| 变式训练2 | 已知一个多边形的内角和与外角和相加为$1080°$，求这个多边形的对角线的条数。
答案
解:设这个多边形的边数为 n,则
$(n-2)×180°+360°=1 080°$,
∴n=6。
∴这个多边形的对角线条数为$\frac{(6-3)×6}{2}=9$。
$(n-2)×180°+360°=1 080°$,
∴n=6。
∴这个多边形的对角线条数为$\frac{(6-3)×6}{2}=9$。
解析
【分析】
解题可分为两个步骤：第一步先求多边形的边数，首先明确任意多边形的外角和固定为360°，n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$，结合题目给出的内角和与外角和总和为1080°的条件，设边数为n列方程即可求出n的值；第二步求对角线条数，牢记n边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将求出的n代入公式就能得到最终结果。
【解析】
解：设这个多边形的边数为n。
根据多边形内角和公式与外角和的性质列方程：
$(n-2)×180°+360°=1080°$
解得：
$(n-2)×180°=720°$
$n-2=4$
$n=6$
再代入多边形对角线条数公式计算：
对角线条数$=\frac{6×(6-3)}{2}=\frac{18}{2}=9$
【答案】
9
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质；多边形对角线条数公式
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查多边形相关公式的识记与应用，解题的突破点是牢记多边形外角和恒为360°，求出边数后代入对应公式即可得到结果，只要准确记忆公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
解题可分为两个步骤：第一步先求多边形的边数，首先明确任意多边形的外角和固定为360°，n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$，结合题目给出的内角和与外角和总和为1080°的条件，设边数为n列方程即可求出n的值；第二步求对角线条数，牢记n边形的对角线条数公式为$\frac{n(n-3)}{2}$，将求出的n代入公式就能得到最终结果。
【解析】
解：设这个多边形的边数为n。
根据多边形内角和公式与外角和的性质列方程：
$(n-2)×180°+360°=1080°$
解得：
$(n-2)×180°=720°$
$n-2=4$
$n=6$
再代入多边形对角线条数公式计算：
对角线条数$=\frac{6×(6-3)}{2}=\frac{18}{2}=9$
【答案】
9
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质；多边形对角线条数公式
【点评】
本题是基础类计算题，核心考查多边形相关公式的识记与应用，解题的突破点是牢记多边形外角和恒为360°，求出边数后代入对应公式即可得到结果，只要准确记忆公式就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
1.若多边形的每个内角都是$140°$，则这个多边形的边数为（
A.8
B.9
C.10
D.11
B
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
1.B
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：
思路1（更简便）：多边形的内角与相邻外角互补，已知每个内角的度数可先求出单个外角的度数，再结合任意多边形外角和恒为360°的性质，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数，因为多边形的边数和外角个数相等。
思路2：利用多边形内角和公式列方程求解，设边数为n，总内角和既可以用公式(n-2)×180°表示，也等于140°×n，联立等式即可解出n。
【解析】
方法一（利用外角和求解）：
∵多边形的每个内角为140°，内角与相邻外角互补
∴每个外角的度数为：180°-140°=40°
∵任意多边形的外角和均为360°，且多边形边数等于外角个数
∴边数$n=360°÷40°=9$
方法二（利用内角和公式求解）：
设该多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=140°×n$
展开得：$180n - 360 = 140n$
移项合并同类项得：$40n = 360$
解得：$n=9$
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形角度与边数关系的基础应用题，两种解题方法都需掌握，优先选择外角和性质求解可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
解题可以从两个思路入手：
思路1（更简便）：多边形的内角与相邻外角互补，已知每个内角的度数可先求出单个外角的度数，再结合任意多边形外角和恒为360°的性质，用外角和除以单个外角的度数即可得到边数，因为多边形的边数和外角个数相等。
思路2：利用多边形内角和公式列方程求解，设边数为n，总内角和既可以用公式(n-2)×180°表示，也等于140°×n，联立等式即可解出n。
【解析】
方法一（利用外角和求解）：
∵多边形的每个内角为140°，内角与相邻外角互补
∴每个外角的度数为：180°-140°=40°
∵任意多边形的外角和均为360°，且多边形边数等于外角个数
∴边数$n=360°÷40°=9$
方法二（利用内角和公式求解）：
设该多边形的边数为n，根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=140°×n$
展开得：$180n - 360 = 140n$
移项合并同类项得：$40n = 360$
解得：$n=9$
【答案】
B
【知识点】
多边形外角和性质；多边形内角和公式
【点评】
本题是多边形角度与边数关系的基础应用题，两种解题方法都需掌握，优先选择外角和性质求解可简化计算，降低出错概率。
【难度系数】
0.8
2.如图，五边形ABCDE中，∠1=∠2=65°，∠3=∠4=55°，则∠5的度数为 （
A.65°
B.100°
C.120°
D.130°
C
）A.65°
B.100°
C.120°
D.130°
答案
2.C
解析
【分析】
本题可利用多边形外角和定理求解，首先明确任意多边形的外角和都为360°，题目中给出的∠1、∠2、∠3、∠4都是五边形ABCDE的外角，先计算出五边形在顶点A处的外角度数，再结合对顶角相等的性质，即可得到∠5的度数。
【解析】
因为任意多边形的外角和为360°，所以五边形ABCDE的五个外角之和为360°。
已知其中四个外角分别为∠1=65°，∠2=65°，∠3=55°，∠4=55°，则顶点A处的外角度数为：
$360° - 65° - 65° - 55° - 55° = 120°$
又因为∠5与顶点A处的外角互为对顶角，根据对顶角相等，可得$∠ 5=120°$。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟记任意多边形的外角和都为360°，结合对顶角相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
本题可利用多边形外角和定理求解，首先明确任意多边形的外角和都为360°，题目中给出的∠1、∠2、∠3、∠4都是五边形ABCDE的外角，先计算出五边形在顶点A处的外角度数，再结合对顶角相等的性质，即可得到∠5的度数。
【解析】
因为任意多边形的外角和为360°，所以五边形ABCDE的五个外角之和为360°。
已知其中四个外角分别为∠1=65°，∠2=65°，∠3=55°，∠4=55°，则顶点A处的外角度数为：
$360° - 65° - 65° - 55° - 55° = 120°$
又因为∠5与顶点A处的外角互为对顶角，根据对顶角相等，可得$∠ 5=120°$。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟记任意多边形的外角和都为360°，结合对顶角相等的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3.一个多边形的每个外角都等于$36°$,则这个多边形的边数为 （
A.8
B.9
C.10
D.11
C
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
3.C
解析
【分析】
拿到本题，首先回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和恒为360°，且多边形的边数与外角的个数相等。题目已知该多边形每个外角的度数均为36°，因此只要用总外角和除以单个外角的度数，即可得到外角的个数，也就是多边形的边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，该多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数 = 外角和÷单个外角的度数 = $360°÷36°=10$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形外角和性质的应用，牢记“任意多边形外角和恒为360°”是解题的关键，这类题是几何基础部分的必拿分题。
【难度系数】
0.9
拿到本题，首先回忆多边形外角和的相关性质：任意多边形的外角和恒为360°，且多边形的边数与外角的个数相等。题目已知该多边形每个外角的度数均为36°，因此只要用总外角和除以单个外角的度数，即可得到外角的个数，也就是多边形的边数。
【解析】
解：
∵任意多边形的外角和均为360°，该多边形的每个外角都等于36°，
∴多边形的边数 = 外角和÷单个外角的度数 = $360°÷36°=10$。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查多边形外角和性质的应用，牢记“任意多边形外角和恒为360°”是解题的关键，这类题是几何基础部分的必拿分题。
【难度系数】
0.9
4.如图,小明沿一个五边形的广场小道按A→B→C→D→E的方向跑步健身,他每跑完一圈时,身体转过的角度之和是 (
A.$180°$
B.$360°$
C.$540°$
D.$720°$
B
)A.$180°$
B.$360°$
C.$540°$
D.$720°$
答案
4.B
解析
【分析】
首先明确，人沿多边形道路行走，每到达一个顶点转弯时，身体转过的角度恰好等于多边形对应顶点处的外角，跑完一圈转过的所有角度的总和就是该多边形的外角和。我们已知任意多边形的外角和都是固定值，和边数无关，因此只要确定所求为五边形的外角和，就能直接得出结果。
【解析】
小明沿五边形广场跑步，每经过一个顶点转弯时，身体转过的角度就是五边形在该顶点的一个外角。当他跑完一圈时，转过的所有角度的和就是五边形的外角和。
根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和都为$360°$，因此五边形的外角和是$360°$，即他身体转过的角度之和为$360°$。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角定义、多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是将身体转过的角度和多边形外角建立联系，注意不要混淆多边形内角和与外角和的规律，记住任意多边形外角和恒为$360°$即可快速作答。
【难度系数】
0.8
首先明确，人沿多边形道路行走，每到达一个顶点转弯时，身体转过的角度恰好等于多边形对应顶点处的外角，跑完一圈转过的所有角度的总和就是该多边形的外角和。我们已知任意多边形的外角和都是固定值，和边数无关，因此只要确定所求为五边形的外角和，就能直接得出结果。
【解析】
小明沿五边形广场跑步，每经过一个顶点转弯时，身体转过的角度就是五边形在该顶点的一个外角。当他跑完一圈时，转过的所有角度的和就是五边形的外角和。
根据多边形外角和定理：任意多边形的外角和都为$360°$，因此五边形的外角和是$360°$，即他身体转过的角度之和为$360°$。
【答案】
B
【知识点】
多边形外角定义、多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是将身体转过的角度和多边形外角建立联系，注意不要混淆多边形内角和与外角和的规律，记住任意多边形外角和恒为$360°$即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.已知一个多边形的内角和比外角和多180°，则该多边形的边数是
5
。答案
5.5
解析
【分析】
解答本题的思路如下：首先回忆多边形的相关性质，任意多边形的外角和恒为360°，n边形的内角和可通过公式(n-2)×180°计算。首先根据“内角和比外角和多180°”的条件，先求出该多边形的内角和，再将内角和代入公式列一元一次方程，解出方程的正整数解就是多边形的边数。
【解析】
解：设该多边形的边数为n。
∵ 任意多边形的外角和为360°，题目中内角和比外角和多180°
∴ 该多边形的内角和为：360°+180°=540°
根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=540°$
等式两边同时除以180°，得：
$n-2=3$
解得：$n=5$
【答案】
5
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形性质的基础考查题，解题关键是牢记多边形外角和为定值360°，熟练运用内角和公式列方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
解答本题的思路如下：首先回忆多边形的相关性质，任意多边形的外角和恒为360°，n边形的内角和可通过公式(n-2)×180°计算。首先根据“内角和比外角和多180°”的条件，先求出该多边形的内角和，再将内角和代入公式列一元一次方程，解出方程的正整数解就是多边形的边数。
【解析】
解：设该多边形的边数为n。
∵ 任意多边形的外角和为360°，题目中内角和比外角和多180°
∴ 该多边形的内角和为：360°+180°=540°
根据多边形内角和公式可得：
$(n-2)×180°=540°$
等式两边同时除以180°，得：
$n-2=3$
解得：$n=5$
【答案】
5
【知识点】
多边形外角和定理；多边形内角和公式
【点评】
本题属于多边形性质的基础考查题，解题关键是牢记多边形外角和为定值360°，熟练运用内角和公式列方程求解，计算量小，解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
6.若一个多边形的内角和的$\frac{1}{4}$比一个五边形的外角和多$90°$,则这个多边形的边数是
12
。答案
6.12
解析
【分析】
解题时先回忆多边形内外角和的相关性质：首先任意多边形的外角和恒为360°，和边数无关，因此五边形的外角和为360°；其次n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为≥3的正整数）。再根据题目给出的数量关系“多边形内角和的$\frac{1}{4}$比五边形外角和多90°”列出等量式，设边数为n代入后解方程即可求出边数。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$。
1. 明确已知量：任意多边形外角和为$360°$，因此五边形的外角和是$360°$；$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$。
2. 根据题意列方程：
$\frac{1}{4}×(n-2)×180° = 360° + 90°$
3. 解方程：
先计算右侧：$360° + 90° = 450°$
方程两边同乘4得：$(n-2)×180° = 1800°$
两边同除以$180°$得：$n - 2 = 10$
解得：$n = 12$
【答案】
12
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是牢记多边形外角和恒为360°、熟练运用内角和公式，根据题意建立方程求解即可，主要考察基础公式的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆多边形内外角和的相关性质：首先任意多边形的外角和恒为360°，和边数无关，因此五边形的外角和为360°；其次n边形的内角和公式为$(n-2)×180°$（n为≥3的正整数）。再根据题目给出的数量关系“多边形内角和的$\frac{1}{4}$比五边形外角和多90°”列出等量式，设边数为n代入后解方程即可求出边数。
【解析】
设这个多边形的边数为$n$。
1. 明确已知量：任意多边形外角和为$360°$，因此五边形的外角和是$360°$；$n$边形的内角和为$(n-2)×180°$。
2. 根据题意列方程：
$\frac{1}{4}×(n-2)×180° = 360° + 90°$
3. 解方程：
先计算右侧：$360° + 90° = 450°$
方程两边同乘4得：$(n-2)×180° = 1800°$
两边同除以$180°$得：$n - 2 = 10$
解得：$n = 12$
【答案】
12
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和性质
【点评】
本题是基础运算题，解题核心是牢记多边形外角和恒为360°、熟练运用内角和公式，根据题意建立方程求解即可，主要考察基础公式的掌握和运用能力。
【难度系数】
0.8
