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1.多边形外角和为
360°
。答案
1. 360°
解析
【分析】
本题考察多边形外角和的基本概念，解题时可先回忆多边形外角和的相关定理，也可通过内角和公式推导外角和：首先明确任意多边形的每个内角与其相邻外角互补，结合n边形内角和公式，可推导得出外角和为固定值，与多边形边数无关，直接套用结论即可作答。
【解析】
方法1（定理识记）：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和均为$360°$，与边数无关，因此直接填$360°$。
方法2（公式推导）：设多边形边数为n，
∵ n边形的内角和为$(n-2)× 180°$，且每个内角与其相邻外角的和为$180°$，
∴ n边形所有内角与外角的总和为$n× 180°$，
∴ 多边形外角和 = 内外角总和 - 内角和 = $n× 180° - (n-2)× 180° = 360°$。
【答案】
$360°$
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对多边形外角和固定值的掌握，解题时需注意区分多边形内角和随边数变化、而外角和始终为固定值的特点，牢记核心结论即可快速作答。
【难度系数】
0.9
本题考察多边形外角和的基本概念，解题时可先回忆多边形外角和的相关定理，也可通过内角和公式推导外角和：首先明确任意多边形的每个内角与其相邻外角互补，结合n边形内角和公式，可推导得出外角和为固定值，与多边形边数无关，直接套用结论即可作答。
【解析】
方法1（定理识记）：根据多边形外角和定理，任意多边形的外角和均为$360°$，与边数无关，因此直接填$360°$。
方法2（公式推导）：设多边形边数为n，
∵ n边形的内角和为$(n-2)× 180°$，且每个内角与其相邻外角的和为$180°$，
∴ n边形所有内角与外角的总和为$n× 180°$，
∴ 多边形外角和 = 内外角总和 - 内角和 = $n× 180° - (n-2)× 180° = 360°$。
【答案】
$360°$
【知识点】
多边形外角和定理
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对多边形外角和固定值的掌握，解题时需注意区分多边形内角和随边数变化、而外角和始终为固定值的特点，牢记核心结论即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 正五边形的每一个外角是
72°
。答案
2. $\frac{360°}{n}=72°$
解析
【分析】
要计算正五边形的每一个外角度数，首先回忆多边形外角和的核心性质：一是任意多边形的外角和恒为360°，与边数无关；二是正多边形的所有外角大小完全相等。正五边形共有5个相等的外角，因此只需用外角总和除以边数5，就能得到单个外角的度数。
【解析】
解：
∵ 任意多边形的外角和均为360°，且正五边形的5个外角大小相等，
∴ 正五边形每一个外角的度数为：$\frac{360°}{5}=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟记多边形外角和为360°、正多边形各外角相等的性质，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
要计算正五边形的每一个外角度数，首先回忆多边形外角和的核心性质：一是任意多边形的外角和恒为360°，与边数无关；二是正多边形的所有外角大小完全相等。正五边形共有5个相等的外角，因此只需用外角总和除以边数5，就能得到单个外角的度数。
【解析】
解：
∵ 任意多边形的外角和均为360°，且正五边形的5个外角大小相等，
∴ 正五边形每一个外角的度数为：$\frac{360°}{5}=72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要熟记多边形外角和为360°、正多边形各外角相等的性质，即可快速求解。
【难度系数】
0.9
例1 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数。
[点拨] 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是$360°$，则内角和是$4×360°$。$n$边形的内角和可以表示成$(n-2)·180°$，设这个多边形的边数是$n$，就得到方程，从而求出边数。
[解] 设这个多边形的边数是$n$，则
$(n-2)×180=360×4$，
$n-2=8$，
$n=10$。
所以这个多边形的边数是10。
[点拨] 一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是$360°$，则内角和是$4×360°$。$n$边形的内角和可以表示成$(n-2)·180°$，设这个多边形的边数是$n$，就得到方程，从而求出边数。
[解] 设这个多边形的边数是$n$，则
$(n-2)×180=360×4$，
$n-2=8$，
$n=10$。
所以这个多边形的边数是10。
答案
解：设这个多边形的边数是$n$。
根据多边形内角和公式与外角和定理，得
$(n-2)×180° = 360°×4$
两边同除以$180°$，得
$n-2=8$
解得
$n=10$
答：这个多边形的边数是10。
根据多边形内角和公式与外角和定理，得
$(n-2)×180° = 360°×4$
两边同除以$180°$，得
$n-2=8$
解得
$n=10$
答：这个多边形的边数是10。
解析
【分析】
解题时首先明确两个核心结论：①任意多边形的外角和恒为360°；②n边形的内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)·180°}$。结合题目“内角和是外角和的4倍”的条件，可先求出该多边形的内角和为$4×360°$，再设边数为n，利用内角和公式列一元一次方程，解方程即可得到边数。
【解析】
设这个多边形的边数是$n$。
根据多边形内角和公式与外角和定理，得
$(n-2)×180° = 360°×4$
两边同除以$180°$，得
$n-2=8$
解得
$n=10$
答：这个多边形的边数是10。
【答案】
10
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础题型，解题的关键是牢记多边形外角和为固定值360°，熟练掌握内角和公式，通过建立方程即可快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确两个核心结论：①任意多边形的外角和恒为360°；②n边形的内角和公式为$\boldsymbol{(n-2)·180°}$。结合题目“内角和是外角和的4倍”的条件，可先求出该多边形的内角和为$4×360°$，再设边数为n，利用内角和公式列一元一次方程，解方程即可得到边数。
【解析】
设这个多边形的边数是$n$。
根据多边形内角和公式与外角和定理，得
$(n-2)×180° = 360°×4$
两边同除以$180°$，得
$n-2=8$
解得
$n=10$
答：这个多边形的边数是10。
【答案】
10
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于多边形角度计算的基础题型，解题的关键是牢记多边形外角和为固定值360°，熟练掌握内角和公式，通过建立方程即可快速求解。
【难度系数】
0.9
|变式训练1| 在一个正多边形中，一个内角是它相邻的一个外角的3倍。
(1)求这个多边形的每一个外角的度数；
(2)求这个多边形的边数。
(1)求这个多边形的每一个外角的度数；
(2)求这个多边形的边数。
答案
解:(1)设这个多边形的每一个外角的度数为x度。根据题意,得 3x+x=180,解得 x=45。故这个多边形的每一个外角的度数为 45°。
(2)360°÷45°=8。
故这个多边形的边数为 8。
(2)360°÷45°=8。
故这个多边形的边数为 8。
解析
【分析】
解决第(1)问时，首先明确正多边形的一个内角和它相邻的外角是邻补角，二者之和为180°，结合题目给出的内角是相邻外角的3倍的数量关系，设未知数列方程即可求出外角的度数。解决第(2)问时，利用任意多边形的外角和恒为360°的性质，结合正多边形每个外角都相等的特点，用外角和除以单个外角的度数就能得到多边形的边数。
【解析】
(1)设这个多边形的每一个外角的度数为$ x $度，则与其相邻的内角度数为$ 3x $度。
根据邻补角和为180°，列方程：
$ 3x + x = 180 $
合并同类项得$ 4x = 180 $
解得$ x = 45 $
即这个多边形的每一个外角的度数为$ 45° $。
(2)因为任意多边形的外角和均为$ 360° $，正多边形每个外角度数相等，所以边数为：
$ 360° ÷ 45° = 8 $
【答案】
(1)$ 45° $；(2)$ 8 $
【知识点】
邻补角的性质；多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于正多边形相关的基础题型，解题关键是掌握内角与相邻外角的互补关系，以及多边形外角和固定为$ 360° $的性质，熟练掌握知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解决第(1)问时，首先明确正多边形的一个内角和它相邻的外角是邻补角，二者之和为180°，结合题目给出的内角是相邻外角的3倍的数量关系，设未知数列方程即可求出外角的度数。解决第(2)问时，利用任意多边形的外角和恒为360°的性质，结合正多边形每个外角都相等的特点，用外角和除以单个外角的度数就能得到多边形的边数。
【解析】
(1)设这个多边形的每一个外角的度数为$ x $度，则与其相邻的内角度数为$ 3x $度。
根据邻补角和为180°，列方程：
$ 3x + x = 180 $
合并同类项得$ 4x = 180 $
解得$ x = 45 $
即这个多边形的每一个外角的度数为$ 45° $。
(2)因为任意多边形的外角和均为$ 360° $，正多边形每个外角度数相等，所以边数为：
$ 360° ÷ 45° = 8 $
【答案】
(1)$ 45° $；(2)$ 8 $
【知识点】
邻补角的性质；多边形外角和定理；正多边形的性质
【点评】
本题属于正多边形相关的基础题型，解题关键是掌握内角与相邻外角的互补关系，以及多边形外角和固定为$ 360° $的性质，熟练掌握知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.8
