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8.若两个多边形的边数之比是1：2，内角和为1 440°，求这两个多边形的边数。
答案
8.解:设边数较少的多边形为n边形,则
$(n-2)·180°+(2n-2)·180°=1 440°$,
解得$n=4$,则$2n=8$。
故这两个多边形的边数分别为4,8。
$(n-2)·180°+(2n-2)·180°=1 440°$,
解得$n=4$,则$2n=8$。
故这两个多边形的边数分别为4,8。
解析
【分析】
解题时可按以下思路推导：首先根据两个多边形的边数之比为1:2，设边数较少的多边形边数为n，则另一个多边形边数为2n；再运用多边形内角和公式：$多边形内角和=(边数-2)×180°$，分别表示出两个多边形的内角和；最后根据两个多边形内角和总和为1440°列方程，求解得出n的值，进而得到两个多边形的边数。
【解析】
设边数较少的多边形为n边形，则边数较多的多边形边数为2n。
根据题意列方程得：
$(n-2)·180°+(2n-2)·180°=1 440°$
解得$n=4$，则$2n=2×4=8$。
【答案】
这两个多边形的边数分别为4，8。
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形内角和相关的基础题型，解题关键是根据边数的比例关系设未知数，结合内角和公式建立方程求解，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时可按以下思路推导：首先根据两个多边形的边数之比为1:2，设边数较少的多边形边数为n，则另一个多边形边数为2n；再运用多边形内角和公式：$多边形内角和=(边数-2)×180°$，分别表示出两个多边形的内角和；最后根据两个多边形内角和总和为1440°列方程，求解得出n的值，进而得到两个多边形的边数。
【解析】
设边数较少的多边形为n边形，则边数较多的多边形边数为2n。
根据题意列方程得：
$(n-2)·180°+(2n-2)·180°=1 440°$
解得$n=4$，则$2n=2×4=8$。
【答案】
这两个多边形的边数分别为4，8。
【知识点】
多边形内角和公式；一元一次方程的应用
【点评】
本题是多边形内角和相关的基础题型，解题关键是根据边数的比例关系设未知数，结合内角和公式建立方程求解，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9.正多边形的每条边都相等,每个角都相等。已知正x边形的内角和为$1440°$,边长为2。
(1)求正x边形的周长;
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小$72°$,求n的值。
(1)求正x边形的周长;
(2)若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小$72°$,求n的值。
答案
9.解:(1)$∵$正x边形的内角和为$1 440°$,
$∴(x-2)·180°=1 440°$,
解得$x=10$。
$∵$正x边形的边长为2,
$∴$正x边形的周长为$2x=2×10=20$。
(2)由(1)可知,正x边形每个内角的度数为$1440°÷10=144°$,
$∴$正n边形的每个外角的度数为$144°-72°=72°$,
$∴n=\frac{360°}{72°}=5$。
$∴(x-2)·180°=1 440°$,
解得$x=10$。
$∵$正x边形的边长为2,
$∴$正x边形的周长为$2x=2×10=20$。
(2)由(1)可知,正x边形每个内角的度数为$1440°÷10=144°$,
$∴$正n边形的每个外角的度数为$144°-72°=72°$,
$∴n=\frac{360°}{72°}=5$。
解析
【分析】
（1）解决第一问首先需要回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$，已知正x边形内角和为1440°，代入公式先求出边数x；再结合正多边形每条边都相等的性质，用边长乘边数即可得到周长。
（2）解决第二问先由第一问求出的边数x，用内角和除以边数算出正x边形每个内角的度数；再根据题意计算出正n边形每个外角的度数；最后利用任意多边形外角和恒为360°的性质，用360°除以外角度数即可求出n的值。
【解析】
(1) $∵$ 正x边形的内角和为$1440°$，
$∴$ 根据多边形内角和公式可得：$(x-2)·180°=1440°$，
解得$x=10$。
$∵$ 正x边形的边长为2，且正多边形各边长度相等，
$∴$ 正x边形的周长为$2x=2×10=20$。
(2) 由(1)可知正x边形为正十边形，
则正十边形每个内角的度数为$1440°÷10=144°$，
由题意得正n边形的每个外角的度数为$144°-72°=72°$，
$∵$ 任意多边形的外角和均为$360°$，且正n边形各外角度数相等，
$∴ n=\frac{360°}{72°}=5$。
【答案】
(1) 20；(2) 5
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查正多边形内角、外角的相关性质，解题的关键是牢记多边形内角和公式与外角和恒为360°的规律，结合正多边形各内角、各外角分别相等的特点就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8
（1）解决第一问首先需要回忆多边形内角和公式：n边形的内角和为$(n-2)×180°$，已知正x边形内角和为1440°，代入公式先求出边数x；再结合正多边形每条边都相等的性质，用边长乘边数即可得到周长。
（2）解决第二问先由第一问求出的边数x，用内角和除以边数算出正x边形每个内角的度数；再根据题意计算出正n边形每个外角的度数；最后利用任意多边形外角和恒为360°的性质，用360°除以外角度数即可求出n的值。
【解析】
(1) $∵$ 正x边形的内角和为$1440°$，
$∴$ 根据多边形内角和公式可得：$(x-2)·180°=1440°$，
解得$x=10$。
$∵$ 正x边形的边长为2，且正多边形各边长度相等，
$∴$ 正x边形的周长为$2x=2×10=20$。
(2) 由(1)可知正x边形为正十边形，
则正十边形每个内角的度数为$1440°÷10=144°$，
由题意得正n边形的每个外角的度数为$144°-72°=72°$，
$∵$ 任意多边形的外角和均为$360°$，且正n边形各外角度数相等，
$∴ n=\frac{360°}{72°}=5$。
【答案】
(1) 20；(2) 5
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角和定理，正多边形的性质
【点评】
本题属于基础计算题，核心考查正多边形内角、外角的相关性质，解题的关键是牢记多边形内角和公式与外角和恒为360°的规律，结合正多边形各内角、各外角分别相等的特点就能快速完成解答。
【难度系数】
0.8
10.如图所示的四边形ABCD，求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
答案
10.证明:假设四边形ABCD四个角都是锐角,即四个中每个角都小于$90°$,所以四边形ABCD四个内角的和小于$360°$,这与四边形内角和是$360°$矛盾,所以假设是不正确的,因此四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
解析
【分析】
要证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，直接证明需要分多种情况讨论，过程繁琐，因此选择反证法：先假设原命题的结论不成立，即四个角全是锐角，再结合四边形内角和定理推导，若推出矛盾则说明假设错误，原命题成立。
【解析】
证明：假设四边形ABCD四个角都是锐角，即每个角的度数都小于$90°$，
则四个内角的和小于$90° × 4 = 360°$，
这与“四边形内角和为$360°$”的定理矛盾，因此假设不成立，
所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
【答案】
证明:假设四边形ABCD四个角都是锐角,即四个中每个角都小于$90°$,所以四边形ABCD四个内角的和小于$360°$,这与四边形内角和是$360°$矛盾,所以假设是不正确的,因此四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
【知识点】
反证法、四边形内角和定理
【点评】
本题是反证法的典型应用，对于含有“至少”“至多”等表述的命题，用反证法求解往往更便捷，解题的核心是正确提出反设，结合已学定理推导得出矛盾即可证明原命题成立。
【难度系数】
0.7
要证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”，直接证明需要分多种情况讨论，过程繁琐，因此选择反证法：先假设原命题的结论不成立，即四个角全是锐角，再结合四边形内角和定理推导，若推出矛盾则说明假设错误，原命题成立。
【解析】
证明：假设四边形ABCD四个角都是锐角，即每个角的度数都小于$90°$，
则四个内角的和小于$90° × 4 = 360°$，
这与“四边形内角和为$360°$”的定理矛盾，因此假设不成立，
所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
【答案】
证明:假设四边形ABCD四个角都是锐角,即四个中每个角都小于$90°$,所以四边形ABCD四个内角的和小于$360°$,这与四边形内角和是$360°$矛盾,所以假设是不正确的,因此四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角。
【知识点】
反证法、四边形内角和定理
【点评】
本题是反证法的典型应用，对于含有“至少”“至多”等表述的命题，用反证法求解往往更便捷，解题的核心是正确提出反设，结合已学定理推导得出矛盾即可证明原命题成立。
【难度系数】
0.7
11.归纳是数学中发现规律的常用方法，我们可以通过具体的例子来发现一般的规律。小明利用“归纳”的策略对以下问题进行了探究。
【问题提出】连接五边形的五个顶点和它内部的1 000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形）
【问题探究】为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律。
如图(1)，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；
如图(2)，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形；
当五边形内有3个点时，可分得
归纳得出当五边形内有n个点，可分得
【问题解决】连接五边形的五个顶点和它内部的1 000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得
【拓展延伸】若连接m边形的m个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到m边形内所有区域都变成三角形，可分得
【问题提出】连接五边形的五个顶点和它内部的1 000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形）
【问题探究】为了解决上面的问题，小明运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律。
如图(1)，当五边形内有1个点时，可分得5个三角形；
如图(2)，当五边形内有2个点时，可分得7个三角形；
当五边形内有3个点时，可分得
9
个三角形；（可借助备用图分析）归纳得出当五边形内有n个点，可分得
$2n+3$
个三角形。【问题解决】连接五边形的五个顶点和它内部的1 000个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得
2003
个三角形。【拓展延伸】若连接m边形的m个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到m边形内所有区域都变成三角形，可分得
$m+2n-2$
个三角形。答案
11.解:【问题探究】
当五边形内有1个点时,可分得的三角形的个数为5=$5+1×2-2$;
当五边形内有2个点时,可分得的三角形的个数为7=$5+2×2-2$;
当五边形内有3个点时,如图(3),可分得的三角形的个数为9=$5+3×2-2$;
……
所以当五边形内有n个点时,可分得的三角形的个数为$(5+2n-2)=(2n+3)$个。
故答案为9,$2n+3$。
【问题解决】
当$n=1 000$时,$2n+3=2×1 000+3=2 003$,即当五边形内有1 000个点时,可分得三角形的个数为2 003。
故答案为2 003。
【拓展延伸】
连接m边形的m个顶点和它内部的n个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到m边形内所有区域都变成三角形,可分得$(m+2n-2)$个三角形。
故答案为$m+2n-2$。
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，采用归纳法求解：首先观察已知的五边形内部分点数量与对应三角形个数的关系，发现每新增1个内部点，三角形数量增加2个（因为新增点落在某个三角形内部时，会将1个三角形拆分为3个，净增加2个三角形）。先据此计算内部3个点时的三角形数量，再推导内部n个点时的通用表达式，接着代入n=1000求解具体值，最后将五边形的边数替换为m，推广得到任意m边形的通用规律。
【解析】
问题探究
已知：
当五边形内有1个点时，可分得三角形个数为$5=5+1×2-2$；
当五边形内有2个点时，可分得三角形个数为$7=5+2×2-2$；
由此可知每增加1个内部点，三角形个数增加2，因此当内部有3个点时，三角形个数为$7+2=9$，验证可得$9=5+3×2-2$，对应图形如下：
归纳可得：当五边形内有$n$个点时，可分得三角形的个数为$5+2n-2=2n+3$。
问题解决
当$n=1000$时，代入通式$2n+3$得：
$2×1000+3=2003$，即内部1000个点时可分得2003个三角形。
拓展延伸
将五边形的边数5替换为任意边数$m$，同理可得：连接$m$边形的$m$个顶点和内部$n$个点，最终分得的三角形个数为$m+2n-2$。
【答案】
问题探究：$\boxed{9}$，$\boxed{2n+3}$；
问题解决：$\boxed{2003}$；
拓展延伸：$\boxed{m+2n-2}$
【知识点】
图形规律探究，归纳推理，多边形分割
【点评】
本题以多边形内部分割为背景，考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题关键是找到内部点数量增加时三角形个数的增量规律，所得通式可推广到任意多边形的同类分割问题，有助于提升规律探索与应用的能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，采用归纳法求解：首先观察已知的五边形内部分点数量与对应三角形个数的关系，发现每新增1个内部点，三角形数量增加2个（因为新增点落在某个三角形内部时，会将1个三角形拆分为3个，净增加2个三角形）。先据此计算内部3个点时的三角形数量，再推导内部n个点时的通用表达式，接着代入n=1000求解具体值，最后将五边形的边数替换为m，推广得到任意m边形的通用规律。
【解析】
问题探究
已知：
当五边形内有1个点时，可分得三角形个数为$5=5+1×2-2$；
当五边形内有2个点时，可分得三角形个数为$7=5+2×2-2$；
由此可知每增加1个内部点，三角形个数增加2，因此当内部有3个点时，三角形个数为$7+2=9$，验证可得$9=5+3×2-2$，对应图形如下：
归纳可得：当五边形内有$n$个点时，可分得三角形的个数为$5+2n-2=2n+3$。
问题解决
当$n=1000$时，代入通式$2n+3$得：
$2×1000+3=2003$，即内部1000个点时可分得2003个三角形。
拓展延伸
将五边形的边数5替换为任意边数$m$，同理可得：连接$m$边形的$m$个顶点和内部$n$个点，最终分得的三角形个数为$m+2n-2$。
【答案】
问题探究：$\boxed{9}$，$\boxed{2n+3}$；
问题解决：$\boxed{2003}$；
拓展延伸：$\boxed{m+2n-2}$
【知识点】
图形规律探究，归纳推理，多边形分割
【点评】
本题以多边形内部分割为背景，考查从特殊到一般的归纳推理能力，解题关键是找到内部点数量增加时三角形个数的增量规律，所得通式可推广到任意多边形的同类分割问题，有助于提升规律探索与应用的能力。
【难度系数】
0.7
