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7.求图中x的值。
答案
7.解:由题意得 3x+2×90=360，
解得 x=60。
解得 x=60。
解析
【分析】
本题可利用多边形外角和定理求解，首先回忆知识点：任意多边形的外角和都为360°。观察图形可知，该四边形的外角包含3个度数为x°的角，还有2个外角为90°（因为左右两侧的竖边均垂直于水平底边，对应外角为90°），将所有外角度数相加和为360°，据此列方程即可求出x的值。
【解析】
根据多边形外角和为360°，结合图形可得：
$3x + 2×90 = 360$
化简得：$3x + 180 = 360$
移项计算得：$3x = 360 - 180 = 180$
解得：$x = 60$
【答案】
$x=60$
【知识点】
多边形外角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对多边形外角和定理的理解与应用，解题的关键是准确识别图中所有外角的度数，结合外角和公式建立方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
本题可利用多边形外角和定理求解，首先回忆知识点：任意多边形的外角和都为360°。观察图形可知，该四边形的外角包含3个度数为x°的角，还有2个外角为90°（因为左右两侧的竖边均垂直于水平底边，对应外角为90°），将所有外角度数相加和为360°，据此列方程即可求出x的值。
【解析】
根据多边形外角和为360°，结合图形可得：
$3x + 2×90 = 360$
化简得：$3x + 180 = 360$
移项计算得：$3x = 360 - 180 = 180$
解得：$x = 60$
【答案】
$x=60$
【知识点】
多边形外角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，核心考查对多边形外角和定理的理解与应用，解题的关键是准确识别图中所有外角的度数，结合外角和公式建立方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
8.按要求完成下列各题：
(1)已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°,求这个多边形的边数；
(2)已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,求这个多边形的边数。
(1)已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180°,求这个多边形的边数；
(2)已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,求这个多边形的边数。
答案
8.解:(1)设这个多边形的边数为 n，
根据题意，得$(n-2)×180°=360°×3+180°$,
解得 n=9，
所以这个多边形的边数为 9。
(2)设这个多边形一个内角的度数为 9x，则一个外角的度数为 2x，
根据题意，得 9x+2x=180°，
解得 $x=\frac{180°}{11}$。
∴$360°÷(2×\frac{180°}{11})=11$，
所以这个多边形的边数为 11。
根据题意，得$(n-2)×180°=360°×3+180°$,
解得 n=9，
所以这个多边形的边数为 9。
(2)设这个多边形一个内角的度数为 9x，则一个外角的度数为 2x，
根据题意，得 9x+2x=180°，
解得 $x=\frac{180°}{11}$。
∴$360°÷(2×\frac{180°}{11})=11$，
所以这个多边形的边数为 11。
解析
【分析】
(1)解决第一问首先需牢记两个核心结论：任意多边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），任意多边形的外角和恒为$360°$。题目明确给出内角和与外角和的数量关系，我们可以直接设边数为$n$，根据“内角和=外角和×3+180°”的等量关系列方程，解方程即可得到边数。
(2)解决第二问首先要明确隐含条件：多边形的任意一个内角和相邻外角互为邻补角，二者之和为$180°$。已知内外角的度数比为9:2，我们可以设每份度数为$x$，分别表示出内角和外角的度数，根据互补关系列方程求出单个外角的度数；又因为该多边形每个外角都相等，结合外角和恒为$360°$，用外角和除以单个外角的度数即可求出边数。
【解析】
(1)设这个多边形的边数为$n$，
根据题意，得$(n-2)×180°=360°×3+180°$，
整理得$180n-360=1260$，
解得$n=9$。
(2)设这个多边形一个内角的度数为$9x$，则一个外角的度数为$2x$，
根据题意，得$9x+2x=180°$，
解得$x=\frac{180°}{11}$。
因此单个外角的度数为$2×\frac{180°}{11}=\frac{360°}{11}$，
则多边形的边数为$360°÷\frac{360°}{11}=11$。
【答案】
(1)这个多边形的边数为9；
(2)这个多边形的边数为11。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理；邻补角性质
【点评】
本题属于多边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握多边形内角和、外角和的相关公式，能结合题目给出的数量关系建立方程求解。第二问需要利用内角与相邻外角互补的隐含条件先求出外角度数，再结合外角和求边数，整体计算量小，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
(1)解决第一问首先需牢记两个核心结论：任意多边形的内角和为$(n-2)×180°$（$n$为边数，$n≥3$且为整数），任意多边形的外角和恒为$360°$。题目明确给出内角和与外角和的数量关系，我们可以直接设边数为$n$，根据“内角和=外角和×3+180°”的等量关系列方程，解方程即可得到边数。
(2)解决第二问首先要明确隐含条件：多边形的任意一个内角和相邻外角互为邻补角，二者之和为$180°$。已知内外角的度数比为9:2，我们可以设每份度数为$x$，分别表示出内角和外角的度数，根据互补关系列方程求出单个外角的度数；又因为该多边形每个外角都相等，结合外角和恒为$360°$，用外角和除以单个外角的度数即可求出边数。
【解析】
(1)设这个多边形的边数为$n$，
根据题意，得$(n-2)×180°=360°×3+180°$，
整理得$180n-360=1260$，
解得$n=9$。
(2)设这个多边形一个内角的度数为$9x$，则一个外角的度数为$2x$，
根据题意，得$9x+2x=180°$，
解得$x=\frac{180°}{11}$。
因此单个外角的度数为$2×\frac{180°}{11}=\frac{360°}{11}$，
则多边形的边数为$360°÷\frac{360°}{11}=11$。
【答案】
(1)这个多边形的边数为9；
(2)这个多边形的边数为11。
【知识点】
多边形内角和公式；多边形外角和定理；邻补角性质
【点评】
本题属于多边形性质的基础应用题，解题核心是熟练掌握多边形内角和、外角和的相关公式，能结合题目给出的数量关系建立方程求解。第二问需要利用内角与相邻外角互补的隐含条件先求出外角度数，再结合外角和求边数，整体计算量小，掌握基础公式即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
9.如图，∠1，∠2分别为四边形ABCD的外角。求证：∠1+∠2=∠A+∠C。
答案
9.证明:
∵∠1,∠2分别为四边形 ABCD 的外角，
∴∠1+∠ADC=180°,∠2+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠ADC+∠ABC=360°。
在四边形 ABCD 中，
∠A+∠B+∠ADC+∠ABC=360°，
∴∠1+∠2=∠A+∠C。
∵∠1,∠2分别为四边形 ABCD 的外角，
∴∠1+∠ADC=180°,∠2+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠ADC+∠ABC=360°。
在四边形 ABCD 中，
∠A+∠B+∠ADC+∠ABC=360°，
∴∠1+∠2=∠A+∠C。
解析
【分析】
拿到这道证明题，我们可以顺着以下思路思考：首先看到∠1、∠2是四边形的外角，第一反应是外角和它相邻的内角互为邻补角，也就是和为180°，据此我们可以写出∠1与∠ADC、∠2与∠ABC的数量关系，把这两个式子相加，就能得到∠1+∠2加上∠ADC、∠ABC的和是360°；接下来我们回忆四边形的性质：四边形的内角和是360°，也就是∠A、∠C加上∠ADC、∠ABC的和也是360°；此时两个式子都包含公共的∠ADC+∠ABC，把这部分消去做等量代换，就能得到要证明的结论了。
【解析】
证明：
∵∠1，∠2分别为四边形ABCD的外角，
∴∠1 + ∠ADC = 180°，∠2 + ∠ABC = 180°，
将两个等式相加可得：∠1 + ∠2 + ∠ADC + ∠ABC = 360°。
又
∵在四边形ABCD中，内角和为360°，即
∠A + ∠C + ∠ADC + ∠ABC = 360°，
通过等量代换消去公共项，即可得∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C。
【答案】
证明：
∵∠1,∠2分别为四边形 ABCD 的外角，
∴∠1+∠ADC=180°,∠2+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠ADC+∠ABC=360°。
在四边形 ABCD 中，
∠A+∠C+∠ADC+∠ABC=360°，
∴∠1+∠2=∠A+∠C。
【知识点】
1. 邻补角的性质
2. 四边形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度关系证明题，解题的关键是熟练掌握邻补角的互补特性和四边形内角和定理，通过等量代换即可快速推导得出结论，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
拿到这道证明题，我们可以顺着以下思路思考：首先看到∠1、∠2是四边形的外角，第一反应是外角和它相邻的内角互为邻补角，也就是和为180°，据此我们可以写出∠1与∠ADC、∠2与∠ABC的数量关系，把这两个式子相加，就能得到∠1+∠2加上∠ADC、∠ABC的和是360°；接下来我们回忆四边形的性质：四边形的内角和是360°，也就是∠A、∠C加上∠ADC、∠ABC的和也是360°；此时两个式子都包含公共的∠ADC+∠ABC，把这部分消去做等量代换，就能得到要证明的结论了。
【解析】
证明：
∵∠1，∠2分别为四边形ABCD的外角，
∴∠1 + ∠ADC = 180°，∠2 + ∠ABC = 180°，
将两个等式相加可得：∠1 + ∠2 + ∠ADC + ∠ABC = 360°。
又
∵在四边形ABCD中，内角和为360°，即
∠A + ∠C + ∠ADC + ∠ABC = 360°，
通过等量代换消去公共项，即可得∠1 + ∠2 = ∠A + ∠C。
【答案】
证明：
∵∠1,∠2分别为四边形 ABCD 的外角，
∴∠1+∠ADC=180°,∠2+∠ABC=180°，
∴∠1+∠2+∠ADC+∠ABC=360°。
在四边形 ABCD 中，
∠A+∠C+∠ADC+∠ABC=360°，
∴∠1+∠2=∠A+∠C。
【知识点】
1. 邻补角的性质
2. 四边形内角和定理
【点评】
本题是基础的几何角度关系证明题，解题的关键是熟练掌握邻补角的互补特性和四边形内角和定理，通过等量代换即可快速推导得出结论，整体难度较低。
【难度系数】
0.85
10.阅读小东和小兰的对话,解决下列问题。
小东:“我把一个多边形的各内角相加,得到的和为$1000°$。”
小兰:“多边形的内角和不可能是$1000°$,你一定是多加了一个锐角。”
(1)①这个“多加的锐角”是
②小东求的是几边形的内角和?
(2)若这是个正多边形,则这个正多边形的一个内角是多少度?
(3)小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放,顶点A,B,C,D四点在同一条直线上,F为公共顶点,试
求$∠ EFG$的度数。
小东:“我把一个多边形的各内角相加,得到的和为$1000°$。”
小兰:“多边形的内角和不可能是$1000°$,你一定是多加了一个锐角。”
(1)①这个“多加的锐角”是
20
度。②小东求的是几边形的内角和?
(2)若这是个正多边形,则这个正多边形的一个内角是多少度?
(3)小东将一个正六边形与一个正八边形按如图所示的位置摆放,顶点A,B,C,D四点在同一条直线上,F为公共顶点,试
求$∠ EFG$的度数。
答案
10.解:(1)①由题意知,n 边形的内角和为$(n-2)×180°$,是180°的整数倍，
∵1 100°÷180°=6…20°，
∴这个“多加的锐角”是 20°，
故答案为 20。
②由题意知,$(n-2)×180°=1 080°$，
解得 n=8，
∴小东求的是 8 边形内角和。
(2)由题意知,这个正多边形的一个内角是$\frac{1}{8}×1\ 080°=135°$，
∴这个正多边形的一个内角是 135°。
(3)由多边形的内角和定理可得
$∠GFC=∠FCD=\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$，
∴$∠FCB=180°-∠FCD=45°$。
∵$∠EFB=∠ABF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
∴$∠FBC=180°-∠ABF=60°$。
由三角形的内角和定理得$∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-60°-45°=75°$，
∴$∠EFG=360°-∠EFB-∠GFC-∠BFC=360°-135°-120°-75°=30°$。
∵1 100°÷180°=6…20°，
∴这个“多加的锐角”是 20°，
故答案为 20。
②由题意知,$(n-2)×180°=1 080°$，
解得 n=8，
∴小东求的是 8 边形内角和。
(2)由题意知,这个正多边形的一个内角是$\frac{1}{8}×1\ 080°=135°$，
∴这个正多边形的一个内角是 135°。
(3)由多边形的内角和定理可得
$∠GFC=∠FCD=\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$，
∴$∠FCB=180°-∠FCD=45°$。
∵$∠EFB=∠ABF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$，
∴$∠FBC=180°-∠ABF=60°$。
由三角形的内角和定理得$∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-60°-45°=75°$，
∴$∠EFG=360°-∠EFB-∠GFC-∠BFC=360°-135°-120°-75°=30°$。
解析
【分析】
解题思路如下：
(1) ① 首先明确多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，结果必然是180°的整数倍。小东算出的和是实际内角和加上一个锐角，因此用小东算出的和除以180°，得到的余数就是多加的锐角的度数。
② 先求出正确的多边形内角和（即小东算出的和减去多加的锐角），再代入内角和公式列方程求解边数$n$即可。
(2) 正多边形的每个内角度数相等，用内角和除以边数即可求出单个内角的度数。
(3) 先分别根据正多边形内角和公式求出正六边形、正八边形的单个内角度数，再利用平角的性质求出$△ BFC$的两个底角$∠ FBC$和$∠ FCB$，结合三角形内角和算出$∠ BFC$的度数，最后根据点F处的角度和为周角360°，减去三个已知角即可得到$∠ EFG$的度数。
【解析】
(1) ① 多边形内角和为$(n-2)×180°$，是180°的整数倍，且已知多加的角为锐角。
计算得$1100°÷180°=6······20°$，余数20°为小于90°的锐角，因此多加的锐角为20°。
② 由①得该多边形实际内角和为$1100°-20°=1080°$，代入内角和公式：
$(n-2)×180°=1080°$
解得$n=8$，即小东求的是8边形的内角和。
(2) 正8边形的每个内角度数相等，因此单个内角的度数为：
$\frac{1}{8}×1080°=135°$
(3) 先计算正八边形的单个内角度数：
$∠ GFC=∠ FCD=\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$
由平角性质得$∠ FCB=180°-∠ FCD=180°-135°=45°$
再计算正六边形的单个内角度数：
$∠ EFB=∠ ABF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
由平角性质得$∠ FBC=180°-∠ ABF=180°-120°=60°$
在$△ BFC$中，由三角形内角和定理：
$∠ BFC=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-60°-45°=75°$
点F处的角度和为周角360°，因此：
$∠ EFG=360°-∠ EFB-∠ GFC-∠ BFC=360°-120°-135°-75°=30°$
【答案】
(1) ① $\boxed{20}$；② 8边形
(2) $\boxed{135°}$
(3) $\boxed{30°}$
【知识点】
多边形内角和定理，正多边形的性质，角度计算
【点评】
本题是多边形角度计算的综合题，既考查了内角和公式的基础应用，也结合了正多边形性质、三角形内角和、周角平角的性质进行角度推导，题型典型，能有效考查对多边形相关知识的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
解题思路如下：
(1) ① 首先明确多边形内角和公式为$(n-2)×180°$，结果必然是180°的整数倍。小东算出的和是实际内角和加上一个锐角，因此用小东算出的和除以180°，得到的余数就是多加的锐角的度数。
② 先求出正确的多边形内角和（即小东算出的和减去多加的锐角），再代入内角和公式列方程求解边数$n$即可。
(2) 正多边形的每个内角度数相等，用内角和除以边数即可求出单个内角的度数。
(3) 先分别根据正多边形内角和公式求出正六边形、正八边形的单个内角度数，再利用平角的性质求出$△ BFC$的两个底角$∠ FBC$和$∠ FCB$，结合三角形内角和算出$∠ BFC$的度数，最后根据点F处的角度和为周角360°，减去三个已知角即可得到$∠ EFG$的度数。
【解析】
(1) ① 多边形内角和为$(n-2)×180°$，是180°的整数倍，且已知多加的角为锐角。
计算得$1100°÷180°=6······20°$，余数20°为小于90°的锐角，因此多加的锐角为20°。
② 由①得该多边形实际内角和为$1100°-20°=1080°$，代入内角和公式：
$(n-2)×180°=1080°$
解得$n=8$，即小东求的是8边形的内角和。
(2) 正8边形的每个内角度数相等，因此单个内角的度数为：
$\frac{1}{8}×1080°=135°$
(3) 先计算正八边形的单个内角度数：
$∠ GFC=∠ FCD=\frac{(8-2)×180°}{8}=135°$
由平角性质得$∠ FCB=180°-∠ FCD=180°-135°=45°$
再计算正六边形的单个内角度数：
$∠ EFB=∠ ABF=\frac{(6-2)×180°}{6}=120°$
由平角性质得$∠ FBC=180°-∠ ABF=180°-120°=60°$
在$△ BFC$中，由三角形内角和定理：
$∠ BFC=180°-∠ FBC-∠ FCB=180°-60°-45°=75°$
点F处的角度和为周角360°，因此：
$∠ EFG=360°-∠ EFB-∠ GFC-∠ BFC=360°-120°-135°-75°=30°$
【答案】
(1) ① $\boxed{20}$；② 8边形
(2) $\boxed{135°}$
(3) $\boxed{30°}$
【知识点】
多边形内角和定理，正多边形的性质，角度计算
【点评】
本题是多边形角度计算的综合题，既考查了内角和公式的基础应用，也结合了正多边形性质、三角形内角和、周角平角的性质进行角度推导，题型典型，能有效考查对多边形相关知识的掌握和灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
