11.请你参与下面探究过程,完成所提出的问题。
(1)探究1:如图(1),P是△ABC的内角∠ABC与∠ACB的平分线BP和CP的交点,若∠A=70°,则∠BPC=度;
(2)探究2:如图(2),P是△ABC的外角∠DBC与外角∠ECB的平分线BP和CP的交点,求∠BPC与∠A的数量关系,并说明理由。
(3)拓展:如图(3),P是四边形ABCD的外角∠EBC与∠BCF的平分线BP和CP的交点,设∠A+∠D=α。
①直接写出∠BPC与α的数量关系;
②根据α的值的情况(按角分类),判断△BPC的形状。

11.解:(1)
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=110°。
∵BP,CP 是角平分线，
∴∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠BCP，
∴∠PBC+∠BCP=55°。
∵∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠BPC=125°。
故答案为 125。
(2)
∵BP,CP 分别是外角∠DBC,∠ECB 的平分线，
∴∠PBC+∠PCB =$\frac{1}{2}$(∠CBE+∠BCF)
=$\frac{1}{2}(180°+∠A)$，
∴在△PBC 中,$∠P=180°-\frac{1}{2}(180°+∠A)$
=$90°-\frac{1}{2}∠A$。
(3)如图,①延长 BA,CD 于Q，
则$∠P=90°-\frac{1}{2}∠Q$，
∴$∠Q=180°-2∠P$，
∴$∠BAD+∠CDA$
$=180°+∠Q$
$=180°+180°-2∠P$
$=360°-2∠P$，
∴$∠P=180°-\frac{1}{2}α$。
②当 0＜α＜180 时,△BPC 是钝角三角形；
当 α=180 时,△BPC 是直角三角形；
当 α＞180 时,△BPC 是锐角三角形。

【分析】
(1) 已知∠A的度数，首先利用三角形内角和定理求出∠ABC与∠ACB的和，再结合角平分线的性质得到∠PBC与∠PCB的和，最后再次利用三角形内角和即可求出∠BPC的度数。
(2) 先根据三角形外角的性质表示出∠DBC与∠ECB的和，结合角平分线的性质得到∠PBC+∠PCB和∠A的关系，再利用三角形内角和推导∠BPC与∠A的数量关系。
(3) ① 利用转化思想，延长BA、CD交于点Q，将四边形问题转化为(2)中三角形外角平分线的模型，先得到∠P与∠Q的关系，再结合∠A+∠D与∠Q的关系，推导得到∠BPC与α的数量关系；② 根据①得到的关系式，分三类讨论α的取值，判断△BPC最大内角的类型，即可确定三角形的形状。
【解析】
(1)
∵∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110°。
∵BP、CP分别是∠ABC、∠ACB的平分线，
∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠BCP，
∴∠PBC+∠BCP=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)=55°。
在△PBC中，∠PBC+∠BCP+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-55°=125°。
(2) ∠BPC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，理由如下：
∵BP、CP分别是外角∠DBC、∠ECB的平分线，
∴∠PBC=$\frac{1}{2}$∠DBC，∠PCB=$\frac{1}{2}$∠ECB，
∴∠PBC+∠PCB =$\frac{1}{2}$(∠DBC+∠ECB)。
又
∵∠DBC=180°-∠ABC，∠ECB=180°-∠ACB，
∴∠DBC+∠ECB=360°-(∠ABC+∠ACB)=360°-(180°-∠A)=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$(180°+∠A)。
在△PBC中，∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=180°-$\frac{1}{2}$(180°+∠A)=90°-$\frac{1}{2}$∠A。
(3) ① 如图，延长BA、CD交于Q，

由(2)的结论可得，∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P。
∵∠BAD、∠CDA是△QAD的外角，
∴∠BAD+∠CDA=∠Q+180°，
即α=180°+∠Q=180°+180°-2∠P=360°-2∠P，
整理得∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$α。
② 当0＜α＜180°时，∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$α＞90°，△BPC是钝角三角形；
当α=180°时，∠BPC=180°-90°=90°，△BPC是直角三角形；
当α＞180°时，∠BPC=180°-$\frac{1}{2}$α＜90°，△BPC是锐角三角形。
【答案】
(1) $\boxed{125}$
(2) $\boxed{∠BPC=90°-\frac{1}{2}∠A}$，理由见解析
(3) ① $\boxed{∠BPC=180°-\frac{1}{2}α}$；②当0＜α＜180°时△BPC为钝角三角形，当α=180°时为直角三角形，当α＞180°时为锐角三角形。

【知识点】
三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形内角与外角
【点评】
本题从三角形内角平分线的夹角计算出发，逐步拓展到外角平分线、四边形外角平分线的夹角探究，重点考查转化思想的应用，解题时可将陌生的四边形问题转化为熟悉的三角形模型求解，有助于提升逻辑推理和知识迁移能力。
【难度系数】
0.6