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1.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来同样大小的圆形镜子的碎片是（
A.①
B.②
C.③
D.均不可能
A
）A.①
B.②
C.③
D.均不可能
答案
1.A
解析
【分析】
要配出和原来大小相同的圆形镜子，核心是要确定原圆的圆心和半径，根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，因此只要碎片上保留有原圆的一段完整圆弧，就能通过弧上的三个点确定原圆。我们逐一分析三块碎片：①号碎片保留了较长的原圆周圆弧，可选取弧上三个不共线的点确定原圆；②、③号碎片没有保留足够的原圆周部分，无法找到确定原圆的三个点，因此不能还原原圆。
【解析】
根据确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个圆。
观察三块碎片：
1. ①号碎片保留了原圆形镜子的一段完整圆弧，在这段圆弧上任意选取3个不共线的点，即可作出过这三个点的圆，该圆与原镜子大小完全一致；
2. ②号、③号碎片均未保留足够长度的原圆周圆弧，无法找到3个能确定原圆的点，不能还原出原来的圆。
因此最有可能配到相同大小镜子的是碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的实际应用，解题的关键是理解“不共线三点确定唯一圆”的原理，能结合碎片特征判断是否可还原原圆，难度较低，贴近生活。
【难度系数】
0.8
要配出和原来大小相同的圆形镜子，核心是要确定原圆的圆心和半径，根据所学知识，不在同一直线上的三个点可以确定唯一的圆，因此只要碎片上保留有原圆的一段完整圆弧，就能通过弧上的三个点确定原圆。我们逐一分析三块碎片：①号碎片保留了较长的原圆周圆弧，可选取弧上三个不共线的点确定原圆；②、③号碎片没有保留足够的原圆周部分，无法找到确定原圆的三个点，因此不能还原原圆。
【解析】
根据确定圆的定理：不在同一条直线上的三个点确定唯一的一个圆。
观察三块碎片：
1. ①号碎片保留了原圆形镜子的一段完整圆弧，在这段圆弧上任意选取3个不共线的点，即可作出过这三个点的圆，该圆与原镜子大小完全一致；
2. ②号、③号碎片均未保留足够长度的原圆周圆弧，无法找到3个能确定原圆的点，不能还原出原来的圆。
因此最有可能配到相同大小镜子的是碎片①。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件
【点评】
本题结合生活场景考查数学知识的实际应用，解题的关键是理解“不共线三点确定唯一圆”的原理，能结合碎片特征判断是否可还原原圆，难度较低，贴近生活。
【难度系数】
0.8
2.如图,已知线段AB,AD,点C在线段AB上,下列说法正确的是 （
A.经过点A,B,C只能作一个圆
B.经过点A,B,D只能作一个圆
C.经过点A,以AD的长为半径只能作一个圆
D.经过点A,B,以AD的长为半径只能作一个圆
B
）A.经过点A,B,C只能作一个圆
B.经过点A,B,D只能作一个圆
C.经过点A,以AD的长为半径只能作一个圆
D.经过点A,B,以AD的长为半径只能作一个圆
答案
2.B
解析
【分析】
解题的核心是牢记确定圆的相关规则：①不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆，共线的三个点无法作圆；②一个圆由圆心和半径两个要素共同确定，只有二者都唯一确定时，才能得到唯一的圆。接下来我们逐一验证每个选项是否符合上述规则即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：点A、B、C均在线段AB上，三点共线，共线的三点无法确定一个圆，故A错误；
B选项：点A、B、D不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，可知经过这三个点只能作一个圆，故B正确；
C选项：确定圆需要同时确定圆心和半径，该选项仅固定了半径为AD的长，且圆过点A，圆心可以是平面内到点A的距离等于AD长的任意点，因此可以作无数个圆，故C错误；
D选项：经过A、B两点且半径为AD长的圆，圆心需同时满足到点A、点B的距离均等于AD长，这样的圆心最多有2个（AB的垂直平分线与以A为圆心、AD长为半径的弧的交点），因此最多可作2个圆，不是只能作1个，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件，圆的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对确定圆的条件的理解，解题时要注意不要忽略“三点不共线”这个三点确定圆的前提，同时要明确仅确定半径或仅确定圆经过的点，不一定能得到唯一的圆，是圆的相关概念中的常见考法。
【难度系数】
0.7
解题的核心是牢记确定圆的相关规则：①不在同一直线上的三个点可以确定唯一的一个圆，共线的三个点无法作圆；②一个圆由圆心和半径两个要素共同确定，只有二者都唯一确定时，才能得到唯一的圆。接下来我们逐一验证每个选项是否符合上述规则即可。
【解析】
我们对每个选项逐一分析：
A选项：点A、B、C均在线段AB上，三点共线，共线的三点无法确定一个圆，故A错误；
B选项：点A、B、D不在同一条直线上，根据“不在同一直线上的三个点确定唯一的一个圆”，可知经过这三个点只能作一个圆，故B正确；
C选项：确定圆需要同时确定圆心和半径，该选项仅固定了半径为AD的长，且圆过点A，圆心可以是平面内到点A的距离等于AD长的任意点，因此可以作无数个圆，故C错误；
D选项：经过A、B两点且半径为AD长的圆，圆心需同时满足到点A、点B的距离均等于AD长，这样的圆心最多有2个（AB的垂直平分线与以A为圆心、AD长为半径的弧的交点），因此最多可作2个圆，不是只能作1个，故D错误。
综上，本题选B。
【答案】
B
【知识点】
确定圆的条件，圆的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，重点考查对确定圆的条件的理解，解题时要注意不要忽略“三点不共线”这个三点确定圆的前提，同时要明确仅确定半径或仅确定圆经过的点，不一定能得到唯一的圆，是圆的相关概念中的常见考法。
【难度系数】
0.7
3.已知线段$AB=10\ \mathrm{cm}$，则经过$A$，$B$两点且半径为$6\ \mathrm{cm}$的圆有（
A.0个
B.2个
C.1个
D.无数个
B
）A.0个
B.2个
C.1个
D.无数个
答案
3.B
解析
【分析】
要确定经过A、B两点且半径为6cm的圆的个数，首先需明确这类圆的圆心的位置特征：圆心到A、B两点的距离都等于半径，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。接下来只需判断这条垂直平分线上到A（或B）的距离等于6cm的点的个数即可。先计算AB长度的一半，再结合半径用勾股定理判断满足条件的圆心数量，即可得出圆的个数。
【解析】
解：
∵ 圆经过A、B两点，
∴ 圆心到A、B的距离相等，且都等于圆的半径6cm，
∴ 圆心在线段AB的垂直平分线上。
取AB的中点C，则$AC = \frac{1}{2} AB = 5\mathrm{cm}$，且圆心与C的连线垂直于AB。
设圆心为O，在Rt△OAC中，$OA=6\mathrm{cm}$，$AC=5\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{11}\ \mathrm{cm} ＞ 0$，
∴ 在线段AB的垂直平分线上，AB的上下两侧各存在1个满足条件的圆心O，即共有2个符合条件的圆。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 确定圆的条件
3. 勾股定理
【点评】
本题考查过两点的圆的相关判断，解题关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，结合勾股定理计算即可，注意不要遗漏垂直平分线两侧的圆心。
【难度系数】
0.7
要确定经过A、B两点且半径为6cm的圆的个数，首先需明确这类圆的圆心的位置特征：圆心到A、B两点的距离都等于半径，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。接下来只需判断这条垂直平分线上到A（或B）的距离等于6cm的点的个数即可。先计算AB长度的一半，再结合半径用勾股定理判断满足条件的圆心数量，即可得出圆的个数。
【解析】
解：
∵ 圆经过A、B两点，
∴ 圆心到A、B的距离相等，且都等于圆的半径6cm，
∴ 圆心在线段AB的垂直平分线上。
取AB的中点C，则$AC = \frac{1}{2} AB = 5\mathrm{cm}$，且圆心与C的连线垂直于AB。
设圆心为O，在Rt△OAC中，$OA=6\mathrm{cm}$，$AC=5\mathrm{cm}$，由勾股定理得：
$OC = \sqrt{OA^2 - AC^2} = \sqrt{6^2 - 5^2} = \sqrt{11}\ \mathrm{cm} ＞ 0$，
∴ 在线段AB的垂直平分线上，AB的上下两侧各存在1个满足条件的圆心O，即共有2个符合条件的圆。
【答案】
B
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 确定圆的条件
3. 勾股定理
【点评】
本题考查过两点的圆的相关判断，解题关键是明确过两点的圆的圆心轨迹是两点连线的垂直平分线，结合勾股定理计算即可，注意不要遗漏垂直平分线两侧的圆心。
【难度系数】
0.7
4.用反证法证明“在$△ ABC$中，若$∠ C$是直角，则$∠ B$一定是锐角”时，应假设 （
A.$∠ B$是锐角
B.$∠ B$不是锐角
C.$∠ C$是直角
D.$∠ C$不是直角
B
）A.$∠ B$是锐角
B.$∠ B$不是锐角
C.$∠ C$是直角
D.$∠ C$不是直角
答案
4.B
解析
【分析】
解这道题首先要明确反证法的核心逻辑：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。我们先拆分原命题的结构：条件是“在△ABC中，∠C是直角”，结论是“∠B一定是锐角”。只需要找到结论“∠B是锐角”的反面表述，就能得出符合要求的假设内容，进而匹配选项得到答案。
【解析】
反证法的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中命题的结论是“∠B一定是锐角”，其反面为“∠B不是锐角”，因此应假设∠B不是锐角。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题的关键是准确找出原命题结论的否定形式，属于基础概念考查题，熟记反证法的假设规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要明确反证法的核心逻辑：反证法的第一步是假设原命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。我们先拆分原命题的结构：条件是“在△ABC中，∠C是直角”，结论是“∠B一定是锐角”。只需要找到结论“∠B是锐角”的反面表述，就能得出符合要求的假设内容，进而匹配选项得到答案。
【解析】
反证法的第一步为：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立。
本题中命题的结论是“∠B一定是锐角”，其反面为“∠B不是锐角”，因此应假设∠B不是锐角。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
反证法；命题的否定
【点评】
本题考查反证法的基础应用，解题的关键是准确找出原命题结论的否定形式，属于基础概念考查题，熟记反证法的假设规则即可快速得分。
【难度系数】
0.8
5.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的外心的坐标为 (
A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-2,-1)
D.(-2,1)
D
)A.(0,0)
B.(-1,1)
C.(-2,-1)
D.(-2,1)
答案
5.D
解析
【分析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，核心性质是到三角形三个顶点的距离相等。解题时可先利用网格中边的特征缩小外心所在的范围：首先观察到BC为竖直线段，它的垂直平分线是水平线，可先根据垂直平分线的纵坐标排除不符合的选项，再验证剩余选项到三个顶点的距离是否相等，即可快速得到结果。
【解析】
首先确定△ABC三个顶点的坐标：$A(0,-3)$，$B(2,-1)$，$C(2,3)$。
1. 确定BC的垂直平分线：BC是横坐标均为2的竖直线段，中点纵坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，竖直线的垂直平分线为水平线$y=1$，因此外心的纵坐标为1，排除纵坐标不为1的A选项$(0,0)$、C选项$(-2,-1)$。
2. 验证剩余选项：
对B选项$(-1,1)$：到A的距离平方为$(-1-0)^2+(1+3)^2=17$，到B的距离平方为$(-1-2)^2+(1+1)^2=13$，二者不相等，不符合外心性质，排除。
对D选项$(-2,1)$：到A的距离平方为$(-2-0)^2+(1+3)^2=20$，到B的距离平方为$(-2-2)^2+(1+1)^2=20$，到C的距离平方为$(-2-2)^2+(1-3)^2=20$，三者相等，符合外心的性质。
综上，△ABC的外心坐标为$(-2,1)$。
【答案】D
【知识点】
三角形外心的性质，线段垂直平分线，两点间距离公式
【点评】
本题考查三角形外心性质的灵活应用，解题时结合网格特征先缩小范围再验证，能简化计算，避免了求解多条垂直平分线解析式的繁琐步骤，考查学生对基础概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，核心性质是到三角形三个顶点的距离相等。解题时可先利用网格中边的特征缩小外心所在的范围：首先观察到BC为竖直线段，它的垂直平分线是水平线，可先根据垂直平分线的纵坐标排除不符合的选项，再验证剩余选项到三个顶点的距离是否相等，即可快速得到结果。
【解析】
首先确定△ABC三个顶点的坐标：$A(0,-3)$，$B(2,-1)$，$C(2,3)$。
1. 确定BC的垂直平分线：BC是横坐标均为2的竖直线段，中点纵坐标为$\frac{-1+3}{2}=1$，竖直线的垂直平分线为水平线$y=1$，因此外心的纵坐标为1，排除纵坐标不为1的A选项$(0,0)$、C选项$(-2,-1)$。
2. 验证剩余选项：
对B选项$(-1,1)$：到A的距离平方为$(-1-0)^2+(1+3)^2=17$，到B的距离平方为$(-1-2)^2+(1+1)^2=13$，二者不相等，不符合外心性质，排除。
对D选项$(-2,1)$：到A的距离平方为$(-2-0)^2+(1+3)^2=20$，到B的距离平方为$(-2-2)^2+(1+1)^2=20$，到C的距离平方为$(-2-2)^2+(1-3)^2=20$，三者相等，符合外心的性质。
综上，△ABC的外心坐标为$(-2,1)$。
【答案】D
【知识点】
三角形外心的性质，线段垂直平分线，两点间距离公式
【点评】
本题考查三角形外心性质的灵活应用，解题时结合网格特征先缩小范围再验证，能简化计算，避免了求解多条垂直平分线解析式的繁琐步骤，考查学生对基础概念的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6.已知$AB=4\ \mathrm{cm}$，经过$A$，$B$两点作圆，则所作的圆的半径最小是
2
$\mathrm{cm}.$答案
6.2
解析
【分析】要找到经过A、B两点的圆的最小半径，首先需明确过A、B两点的圆的圆心位置特征：圆心到A、B两点的距离相等，因此所有符合条件的圆心都在线段AB的垂直平分线上。圆的半径等于圆心到A（或B）的距离，要使半径最小，就是要在AB的垂直平分线上找到到A点距离最小的点，根据几何最值规律，当圆心为线段AB的中点时，圆心到A的距离最短，此时半径最小。
【解析】
∵ 经过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等（均等于圆的半径），
∴ 圆心在线段AB的垂直平分线上。
要使圆的半径最小，需使圆心到点A的距离最小，结合垂线段最短的性质，当圆心为线段AB的中点时，圆心到A的距离最小，
此时半径$r = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】2
【知识点】垂直平分线性质；确定圆的条件；垂线段最短
【点评】本题属于基础题型，核心是理解过两点的圆的圆心轨迹，结合线段最短的性质即可求解，掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】0.8
【解析】
∵ 经过A、B两点的圆的圆心到A、B的距离相等（均等于圆的半径），
∴ 圆心在线段AB的垂直平分线上。
要使圆的半径最小，需使圆心到点A的距离最小，结合垂线段最短的性质，当圆心为线段AB的中点时，圆心到A的距离最小，
此时半径$r = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} × 4 = 2\ \mathrm{cm}$。
【答案】2
【知识点】垂直平分线性质；确定圆的条件；垂线段最短
【点评】本题属于基础题型，核心是理解过两点的圆的圆心轨迹，结合线段最短的性质即可求解，掌握圆的基本性质是解题的关键。
【难度系数】0.8
7.小丽家的房前有一块空地,空地上有三棵树A,B,C(如图),小丽想建一个圆形花坛,使三棵树都在圆周上.请你帮小丽把圆形花坛的位置画出来.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
答案
7.解:如图,⊙O即为圆形花坛的位置.
解析
【分析】
要使三棵树A、B、C都在圆周上，本质是作△ABC的外接圆。外接圆的圆心（外心）到三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此只需作出三角形任意两条边的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到任意顶点的长度为半径作圆就符合要求。
【解析】
确定圆形花坛位置的思路如下：
1. 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为O，点O到A、B、C三点的距离相等，是外接圆的圆心；
2. 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径作圆，该圆就是所求的圆形花坛。
（作图时保留尺规作垂直平分线的痕迹即可，无需写作法）
【答案】
如图，⊙O即为圆形花坛的位置.
【知识点】
过三点作圆；线段垂直平分线的性质；三角形外接圆
【点评】
本题是尺规作图的实际应用类题目，核心考查三角形外接圆的作图方法，解题关键是明确三角形外心是三边垂直平分线的交点，作图时需注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
要使三棵树A、B、C都在圆周上，本质是作△ABC的外接圆。外接圆的圆心（外心）到三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，因此只需作出三角形任意两条边的垂直平分线，交点即为圆心，再以圆心到任意顶点的长度为半径作圆就符合要求。
【解析】
确定圆形花坛位置的思路如下：
1. 分别作线段AB、BC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点为O，点O到A、B、C三点的距离相等，是外接圆的圆心；
2. 以O为圆心，OA（或OB、OC）的长为半径作圆，该圆就是所求的圆形花坛。
（作图时保留尺规作垂直平分线的痕迹即可，无需写作法）
【答案】
如图，⊙O即为圆形花坛的位置.
【知识点】
过三点作圆；线段垂直平分线的性质；三角形外接圆
【点评】
本题是尺规作图的实际应用类题目，核心考查三角形外接圆的作图方法，解题关键是明确三角形外心是三边垂直平分线的交点，作图时需注意保留规范的作图痕迹。
【难度系数】
0.8
8.用反证法证明:等腰三角形的底角必定是锐角.
已知:如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$.求证:$∠ B,∠ C$必为锐角.
已知:如图,在$△ ABC$中,$AB = AC$.求证:$∠ B,∠ C$必为锐角.
答案
8.证明:假设∠B,∠C都不是锐角,即∠B,∠C为直角或钝角.
因为AB=AC,所以∠B=∠C.
当∠B,∠C都是直角时,∠B+∠C=180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
当∠B,∠C都是钝角时,∠B+∠C＞180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
综上所述,假设不成立,
所以∠B,∠C必为锐角.
因为AB=AC,所以∠B=∠C.
当∠B,∠C都是直角时,∠B+∠C=180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
当∠B,∠C都是钝角时,∠B+∠C＞180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
综上所述,假设不成立,
所以∠B,∠C必为锐角.
解析
【分析】
本题采用反证法证明，反证法的解题逻辑为：先否定待证结论，通过合理推导得出与已知定理、公理矛盾的结果，从而证明原结论成立。解题时第一步先反设：假设等腰三角形的两个底角不是锐角，即为直角或钝角；第二步结合等腰三角形两底角相等的性质，计算两个底角的和，推导其是否符合三角形内角和为180°的定理；第三步根据推导得出的矛盾判定假设不成立，即可得到原结论正确。
【解析】
证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角。
因为AB=AC，所以∠B=∠C。
当∠B，∠C都是直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形内角和定理相矛盾。
当∠B，∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾。
综上所述，假设不成立，
所以∠B，∠C必为锐角。
【答案】
证明:假设∠B,∠C都不是锐角,即∠B,∠C为直角或钝角.
因为AB=AC,所以∠B=∠C.
当∠B,∠C都是直角时,∠B+∠C=180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
当∠B,∠C都是钝角时,∠B+∠C＞180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
综上所述,假设不成立,
所以∠B,∠C必为锐角.
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用类题目，解题的核心是正确做出反设，再结合已学几何定理推导矛盾，通过本题可熟练掌握反证法的基本解题步骤，加深对反证法适用场景的理解。
【难度系数】
0.7
本题采用反证法证明，反证法的解题逻辑为：先否定待证结论，通过合理推导得出与已知定理、公理矛盾的结果，从而证明原结论成立。解题时第一步先反设：假设等腰三角形的两个底角不是锐角，即为直角或钝角；第二步结合等腰三角形两底角相等的性质，计算两个底角的和，推导其是否符合三角形内角和为180°的定理；第三步根据推导得出的矛盾判定假设不成立，即可得到原结论正确。
【解析】
证明：假设∠B，∠C都不是锐角，即∠B，∠C为直角或钝角。
因为AB=AC，所以∠B=∠C。
当∠B，∠C都是直角时，∠B+∠C=180°，这与三角形内角和定理相矛盾。
当∠B，∠C都是钝角时，∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾。
综上所述，假设不成立，
所以∠B，∠C必为锐角。
【答案】
证明:假设∠B,∠C都不是锐角,即∠B,∠C为直角或钝角.
因为AB=AC,所以∠B=∠C.
当∠B,∠C都是直角时,∠B+∠C=180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
当∠B,∠C都是钝角时,∠B+∠C＞180°,这与三角形内角和定理相矛盾.
综上所述,假设不成立,
所以∠B,∠C必为锐角.
【知识点】
反证法；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是反证法的基础应用类题目，解题的核心是正确做出反设，再结合已学几何定理推导矛盾，通过本题可熟练掌握反证法的基本解题步骤，加深对反证法适用场景的理解。
【难度系数】
0.7
