学习任务一 垂径定理
1.圆的对称性
圆是轴对称图形，任何一条所在直线都是圆的对称轴.
2.垂径定理
| 文字语言 | 符号语言 | 图示 |
| --- | --- | --- |
| 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 | $\begin{cases} CD是直径, \\ CD ⊥ AB \end{cases} ⇒ \begin{cases} AM=$$M, \\ \overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}, \\ \overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD} \end{cases}$ | |

1.直径
2.BM

【分析】
第1题考查圆的轴对称性相关概念，思考时先回忆圆的对称轴特征：圆的对称轴必须经过圆心，而直径是过圆心的弦，因此直径所在直线均为圆的对称轴。第2题考查垂径定理的基本结论，已知CD是垂直于弦AB的直径，根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦”，可知弦AB被垂足M平分，即可得到对应相等的线段。
【解析】
1. 圆是轴对称图形，过圆心的直线都能使圆沿直线折叠后两边完全重合，直径是过圆心的弦，因此任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。
2. 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，题中CD是直径且CD⊥AB，垂足为M，因此M为AB的中点，即AM=BM。
【答案】
1. 直径
2. BM
【知识点】
圆的轴对称性；垂径定理
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点考察对圆的基本性质和垂径定理内容的记忆，熟练掌握相关基础定义、定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.9

【例1】如图,在半径为4的$\odot O$中,$OC ⊥ AB$于点$D$,$D$为$OC$的中点,则弦$AB$的长为

()
A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$4\sqrt{3}$
D.$8\sqrt{3}$
【规律方法】
垂径定理基本图形的四变量、两关系
1.四变量:如图,弦长$a$,圆心到弦的距离$d$,半径$r$,弧的中点到弦的距离(弓形高)$h$,这四个变量知任意两个可求其他两个.
2.两关系:
(1)$(\dfrac{a}{2})^2 + d^2 = r^2$;
(2)$h + d = r$.

C

【分析】
遇到圆中垂直于弦的直径（或半径）类问题，首先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可得AB=2AD，只需算出半弦长AD即可求AB。已知圆半径为4，可得OA=OC=4，结合D是OC中点可求出OD的长度，最后在Rt△ODA中用勾股定理计算AD，进而得到AB的长度。
【解析】
解：已知⊙O的半径为4，
∴OA=OC=4，
∵D为OC的中点，
∴OD=$\frac{1}{2}$OC=2，
∵OC⊥AB，根据垂径定理可得：AD=BD=$\frac{1}{2}$AB，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：
AD=$\sqrt{OA^2 - OD^2}$=$\sqrt{4^2 - 2^2}$=$\sqrt{16-4}$=$\sqrt{12}$=$2\sqrt{3}$，
∴AB=2AD=2×$2\sqrt{3}$=$4\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，解题关键是利用垂径定理构造出包含半径、弦心距、半弦长的直角三角形。
【难度系数】
0.8

变式训练
1.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10 cm，AB＝16 cm，则CD的长是（）


A.2 cm
B.3 cm
C.4 cm
D.5 cm

C

【分析】
遇到半径垂直于弦的题型，首先利用垂径定理求出弦长的一半，再连接圆心与弦的端点构造直角三角形，结合勾股定理求出圆心到弦的距离，最后用半径减去圆心到弦的距离即可得到CD的长度。
【解析】
连接OA，
∵OC⊥AB，AB=16 cm，
∴根据垂径定理可得：$AD = \frac{1}{2}AB = 8\ \mathrm{cm}$，
∵⊙O的半径为10 cm，
∴$OA=OC=10\ \mathrm{cm}$，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
$OD = \sqrt{OA^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6\ \mathrm{cm}$，
∴$CD = OC - OD = 10 - 6 = 4\ \mathrm{cm}$，
故选C。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆中线段计算的典型题型，解题的关键是熟练运用垂径定理平分弦的性质，结合勾股定理构造直角三角形求解，整体解题逻辑清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7