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【例2】如图，AB，CD都是$\odot O$的弦，且$AB // CD$，求证：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
| 思路分析| 寻找共性
思考：利用垂径定理，在圆中作出什么辅助线可以得到等弧？说明理由。
证明：
【规律方法】
由垂径定理可以得到“平分弦”和“平分弧”，这往往能够得到相等的线段和相等的弧，再结合中位线、等角等知识解决证明问题。
| 思路分析| 寻找共性
思考：利用垂径定理，在圆中作出什么辅助线可以得到等弧？说明理由。
证明：
【规律方法】
由垂径定理可以得到“平分弦”和“平分弧”，这往往能够得到相等的线段和相等的弧，再结合中位线、等角等知识解决证明问题。
答案
思路分析
思考:常作“垂直于弦的直径”,即过圆心作一条与已知弦垂直的线段.理由:直径平分弦(不是直径)或垂直于弦时,可平分弦所对的两条弧.
证明:如图,过点O作$EF ⊥ CD$于点M,交AB于点N,交$\odot O$于点E, F. 因为$EF ⊥ CD$,所以$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DF}$.
因为$AB // CD$,所以$EF ⊥ AB$,
所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BF}$.
所以$\overset{\frown}{AF}-\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$,
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
解析
【分析】
要证明同圆中$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，可通过垂径定理推导等弧的等量关系完成证明。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。题目给出$AB// CD$，因此我们可以过圆心作垂直于其中一条弦的直径，根据平行线的性质，这条直径也垂直于另一条弦，进而分别得到两条弦被直径平分的等弧，再对相等的弧作差，即可得到待证的两条弧相等。
【解析】
证明：过点O作$EF ⊥ CD$于点M，交AB于点N，交$\odot O$于点E、F。
∵ $EF ⊥ CD$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DF}$。
∵ $AB // CD$，$EF ⊥ CD$，
∴ $EF ⊥ AB$，
根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BF}$。
∴ $\overset{\frown}{AF}-\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
思路分析
思考:常作“垂直于弦的直径”,即过圆心作一条与已知弦垂直的线段.理由:直径平分弦(不是直径)或垂直于弦时,可平分弦所对的两条弧.
证明:如图,过点O作$EF ⊥ CD$于点M,交AB于点N,交$\odot O$于点E, F. 因为$EF ⊥ CD$,所以$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DF}$.
因为$AB // CD$,所以$EF ⊥ AB$,
所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BF}$.
所以$\overset{\frown}{AF}-\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$,
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
【知识点】
垂径定理、平行线的性质、弧的和差运算
【点评】
本题是垂径定理的基础应用类题目，核心考察圆中常用辅助线的构造方法，解题的关键是掌握“遇弦作垂直于弦的直径”的辅助线技巧，结合平行线性质和弧的等量运算即可完成证明。
【难度系数】
0.8
要证明同圆中$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$，可通过垂径定理推导等弧的等量关系完成证明。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。题目给出$AB// CD$，因此我们可以过圆心作垂直于其中一条弦的直径，根据平行线的性质，这条直径也垂直于另一条弦，进而分别得到两条弦被直径平分的等弧，再对相等的弧作差，即可得到待证的两条弧相等。
【解析】
证明：过点O作$EF ⊥ CD$于点M，交AB于点N，交$\odot O$于点E、F。
∵ $EF ⊥ CD$，根据垂径定理可得$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DF}$。
∵ $AB // CD$，$EF ⊥ CD$，
∴ $EF ⊥ AB$，
根据垂径定理可得$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BF}$。
∴ $\overset{\frown}{AF}-\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$，
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$。
【答案】
思路分析
思考:常作“垂直于弦的直径”,即过圆心作一条与已知弦垂直的线段.理由:直径平分弦(不是直径)或垂直于弦时,可平分弦所对的两条弧.
证明:如图,过点O作$EF ⊥ CD$于点M,交AB于点N,交$\odot O$于点E, F. 因为$EF ⊥ CD$,所以$\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{DF}$.
因为$AB // CD$,所以$EF ⊥ AB$,
所以$\overset{\frown}{AF}=\overset{\frown}{BF}$.
所以$\overset{\frown}{AF}-\overset{\frown}{CF}=\overset{\frown}{BF}-\overset{\frown}{DF}$,
即$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BD}$.
【知识点】
垂径定理、平行线的性质、弧的和差运算
【点评】
本题是垂径定理的基础应用类题目，核心考察圆中常用辅助线的构造方法，解题的关键是掌握“遇弦作垂直于弦的直径”的辅助线技巧，结合平行线性质和弧的等量运算即可完成证明。
【难度系数】
0.8
2.如图,在$\odot O$中,直径AB垂直弦CD于点E.
(1)求证:$AC=AD.$
(2)若$AC=10,CD=12$,求$\odot O$的半径.
(1)求证:$AC=AD.$
(2)若$AC=10,CD=12$,求$\odot O$的半径.
答案
2.(1)证明:因为直径AB垂直弦CD于点E,所以$CE=DE$,即AB所在直线是CD的垂直平分线,
所以$AC=AD$.
(2)解:$\odot O$的半径为$\frac{25}{4}$.
所以$AC=AD$.
(2)解:$\odot O$的半径为$\frac{25}{4}$.
解析
【分析】
(1) 要证明AC=AD，首先结合已知条件直径AB垂直弦CD，可运用垂径定理得到CE=DE，可知AB是CD的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可得到AC=AD。
(2) 求圆的半径，首先利用垂径定理求出CE的长度，在Rt△ACE中用勾股定理算出AE的长，再设半径为r，将Rt△OCE的三边用含r的代数式表示，利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 直径AB垂直弦CD于点E，
∴ 根据垂径定理可得$CE=DE$，即AB所在直线是CD的垂直平分线，
又
∵ 点A在AB上，
∴ $AC=AD$。
(2) 解：
∵ AB⊥CD，CD=12，
∴ $CE=\frac{1}{2}CD=6$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=10$，$CE=6$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OE=AE - OA=8 - r$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2$，即$r^2=(8-r)^2+6^2$，
展开得：$r^2=64 - 16r + r^2 + 36$，
移项化简得：$16r=100$，
解得：$r=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{25}{4}$
【知识点】
垂径定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础题型，第一问侧重对垂径定理和垂直平分线性质的理解，第二问结合勾股定理用方程思想求解半径，是圆中线段计算的常见考法，熟练掌握相关定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明AC=AD，首先结合已知条件直径AB垂直弦CD，可运用垂径定理得到CE=DE，可知AB是CD的垂直平分线，再根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可得到AC=AD。
(2) 求圆的半径，首先利用垂径定理求出CE的长度，在Rt△ACE中用勾股定理算出AE的长，再设半径为r，将Rt△OCE的三边用含r的代数式表示，利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 直径AB垂直弦CD于点E，
∴ 根据垂径定理可得$CE=DE$，即AB所在直线是CD的垂直平分线，
又
∵ 点A在AB上，
∴ $AC=AD$。
(2) 解：
∵ AB⊥CD，CD=12，
∴ $CE=\frac{1}{2}CD=6$，
在$Rt△ ACE$中，$AC=10$，$CE=6$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
设$\odot O$的半径为$r$，则$OC=r$，$OE=AE - OA=8 - r$，
在$Rt△ OCE$中，由勾股定理得：
$OC^2=OE^2+CE^2$，即$r^2=(8-r)^2+6^2$，
展开得：$r^2=64 - 16r + r^2 + 36$，
移项化简得：$16r=100$，
解得：$r=\frac{25}{4}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\frac{25}{4}$
【知识点】
垂径定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础题型，第一问侧重对垂径定理和垂直平分线性质的理解，第二问结合勾股定理用方程思想求解半径，是圆中线段计算的常见考法，熟练掌握相关定理即可轻松解答。
【难度系数】
0.7
【例3】一座拱形公路桥的示意图如图所示，圆弧形桥拱下面的水面跨度$AB=80\ \mathrm{m}$，拱高（弧的中点到弦的距离）为$20\ \mathrm{m}$。
（1）求桥拱所在圆的半径。
（2）该地区连降暴雨，河水猛涨，桥下水面升高了$10\ \mathrm{m}$，求此时水面的宽度。
解:
（1）求桥拱所在圆的半径。
（2）该地区连降暴雨，河水猛涨，桥下水面升高了$10\ \mathrm{m}$，求此时水面的宽度。
解:
答案
解:(1)桥拱所在圆的半径为 50 m.
(2)此时水面的宽度为 60 m.
(2)此时水面的宽度为 60 m.
解析
【分析】
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：（1）求桥拱半径时，先根据垂径定理的推论，作弦AB的垂直平分线，即可同时得到AB的中点和弧AB的中点，构造出含半径的直角三角形；设半径为R，用含R的代数式表示直角三角形的两条直角边，结合勾股定理列方程就能求出半径。（2）求涨水后的水面宽度时，先计算出新的水面所在弦到圆心的距离，再次利用垂径定理和勾股定理求出弦长的一半，乘2即可得到水面宽度。
【解析】
（1）设桥拱所在圆的圆心为$ O $，半径为$ R\ \mathrm{m} $。
过点$ O $作$ OD⊥ AB $于点$ D $，延长$ OD $交弧$ AB $于点$ C $。由垂径定理可知：$ D $是$ AB $的中点，$ C $是弧$ AB $的中点，因此$ CD $为拱高。
已知$ AB=80\ \mathrm{m} $，$ CD=20\ \mathrm{m} $，则$ AD=\frac{1}{2}AB=40\ \mathrm{m} $，$ OD=OC-CD=(R-20)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2=AD^2+OD^2 $
代入数据得：$ R^2=40^2+(R-20)^2 $
展开整理得：$ 40R=2000 $，解得$ R=50 $。
（2）设涨水后水面为$ EF $，$ EF// AB $，且$ EF $与$ OC $交于点$ G $。已知水面升高$ 10\ \mathrm{m} $，则$ GD=10\ \mathrm{m} $。
由（1）可知$ OD=R-20=50-20=30\ \mathrm{m} $，因此$ OG=OD+GD=30+10=40\ \mathrm{m} $。
连接$ OE $，在$ \mathrm{Rt}△ OEG $中，$ OE=R=50\ \mathrm{m} $，由勾股定理得：
$ EG^2+OG^2=OE^2 $
代入数据得：$ EG^2+40^2=50^2 $
解得$ EG^2=900 $，$ EG=30\ \mathrm{m} $（长度取正值）。
由垂径定理得$ EF=2EG=60\ \mathrm{m} $。
【答案】
（1）桥拱所在圆的半径为$ 50\ \mathrm{m} $；
（2）此时水面的宽度为$ 60\ \mathrm{m} $。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的实际应用类典型题，解题的核心是通过作垂直于弦的直径构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理在实际问题中的应用，解题思路如下：（1）求桥拱半径时，先根据垂径定理的推论，作弦AB的垂直平分线，即可同时得到AB的中点和弧AB的中点，构造出含半径的直角三角形；设半径为R，用含R的代数式表示直角三角形的两条直角边，结合勾股定理列方程就能求出半径。（2）求涨水后的水面宽度时，先计算出新的水面所在弦到圆心的距离，再次利用垂径定理和勾股定理求出弦长的一半，乘2即可得到水面宽度。
【解析】
（1）设桥拱所在圆的圆心为$ O $，半径为$ R\ \mathrm{m} $。
过点$ O $作$ OD⊥ AB $于点$ D $，延长$ OD $交弧$ AB $于点$ C $。由垂径定理可知：$ D $是$ AB $的中点，$ C $是弧$ AB $的中点，因此$ CD $为拱高。
已知$ AB=80\ \mathrm{m} $，$ CD=20\ \mathrm{m} $，则$ AD=\frac{1}{2}AB=40\ \mathrm{m} $，$ OD=OC-CD=(R-20)\ \mathrm{m} $。
在$ \mathrm{Rt}△ OAD $中，由勾股定理得：
$ OA^2=AD^2+OD^2 $
代入数据得：$ R^2=40^2+(R-20)^2 $
展开整理得：$ 40R=2000 $，解得$ R=50 $。
（2）设涨水后水面为$ EF $，$ EF// AB $，且$ EF $与$ OC $交于点$ G $。已知水面升高$ 10\ \mathrm{m} $，则$ GD=10\ \mathrm{m} $。
由（1）可知$ OD=R-20=50-20=30\ \mathrm{m} $，因此$ OG=OD+GD=30+10=40\ \mathrm{m} $。
连接$ OE $，在$ \mathrm{Rt}△ OEG $中，$ OE=R=50\ \mathrm{m} $，由勾股定理得：
$ EG^2+OG^2=OE^2 $
代入数据得：$ EG^2+40^2=50^2 $
解得$ EG^2=900 $，$ EG=30\ \mathrm{m} $（长度取正值）。
由垂径定理得$ EF=2EG=60\ \mathrm{m} $。
【答案】
（1）桥拱所在圆的半径为$ 50\ \mathrm{m} $；
（2）此时水面的宽度为$ 60\ \mathrm{m} $。
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题是圆的实际应用类典型题，解题的核心是通过作垂直于弦的直径构造直角三角形，将几何问题转化为方程问题求解，掌握垂径定理和勾股定理的结合使用是解决这类问题的关键。
【难度系数】
0.7
【规律方法】
在应用垂径定理及其推论解决实际问题时，一般需要根据实际情况确定圆弧及圆弧所在圆的圆心和半径，进而构造出直角三角形求解.
变式训练
3.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6 m时，水面下盛水筒的最大深度为1 m(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径.
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6 m变为8 m，则水面下盛水筒的最大深度为多少？
知识建构
垂径定理
圆的轴对称性
垂径定理的推论
计算
证明
实际应用
在应用垂径定理及其推论解决实际问题时，一般需要根据实际情况确定圆弧及圆弧所在圆的圆心和半径，进而构造出直角三角形求解.
变式训练
3.“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具.如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6 m时，水面下盛水筒的最大深度为1 m(即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离).
(1)求该圆的半径.
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6 m变为8 m，则水面下盛水筒的最大深度为多少？
知识建构
垂径定理
圆的轴对称性
垂径定理的推论
计算
证明
实际应用
答案
3.解:(1)该圆的半径为 5 m.
(2)水面下盛水筒的最大深度为 2 m.
(2)水面下盛水筒的最大深度为 2 m.
解析
【分析】
本题是垂径定理的实际应用类问题，解题思路如下：①首先过圆心作水面截得弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合“水面下盛水筒的最大深度”表示出圆心到弦的距离，构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，通过勾股定理列方程即可求出圆的半径；②半径不变的情况下，已知新的弦长，同样用垂径定理求出半弦长，再用勾股定理求出新的弦心距，最终用半径减去弦心距即可得到水面下的最大深度。
【解析】
(1) 过圆心$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$OC$交$\odot O$于点$D$。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
由题意得水面下最大深度$CD=1\ \mathrm{m}$，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{m}$，$OC=OD-CD=(r-1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，代入得：
$r^2=(r-1)^2+3^2$
展开整理得$2r=10$，解得$r=5$。
(2) 当弦$AB$长变为$8\ \mathrm{m}$时，同理可得半弦长$AC'=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，圆的半径仍为$5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC'$中，由勾股定理得弦心距：
$OC'=\sqrt{OA^2-AC'^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{m}$
此时水面下盛水筒的最大深度为$OD-OC'=5-3=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理的应用
【点评】
解题的核心是将实际问题转化为圆的几何问题，构造半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形是解题的关键，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理的实际应用类问题，解题思路如下：①首先过圆心作水面截得弦的垂线，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合“水面下盛水筒的最大深度”表示出圆心到弦的距离，构造出由半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形，通过勾股定理列方程即可求出圆的半径；②半径不变的情况下，已知新的弦长，同样用垂径定理求出半弦长，再用勾股定理求出新的弦心距，最终用半径减去弦心距即可得到水面下的最大深度。
【解析】
(1) 过圆心$O$作$OC⊥ AB$于点$C$，延长$OC$交$\odot O$于点$D$。
根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3\ \mathrm{m}$。
由题意得水面下最大深度$CD=1\ \mathrm{m}$，设$\odot O$的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=OD=r\ \mathrm{m}$，$OC=OD-CD=(r-1)\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得$OA^2=OC^2+AC^2$，代入得：
$r^2=(r-1)^2+3^2$
展开整理得$2r=10$，解得$r=5$。
(2) 当弦$AB$长变为$8\ \mathrm{m}$时，同理可得半弦长$AC'=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{m}$，圆的半径仍为$5\ \mathrm{m}$。
在$\mathrm{Rt}△ OAC'$中，由勾股定理得弦心距：
$OC'=\sqrt{OA^2-AC'^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{m}$
此时水面下盛水筒的最大深度为$OD-OC'=5-3=2\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{5\ \mathrm{m}}$；(2) $\boldsymbol{2\ \mathrm{m}}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理的应用
【点评】
解题的核心是将实际问题转化为圆的几何问题，构造半径、弦心距、半弦长组成的直角三角形是解题的关键，体现了数学建模的思想。
【难度系数】
0.7
