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变式训练
1.如图所示，用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，并分别指出三角形的外心的位置.（不写作法，保留作图痕迹）
1.如图所示，用尺规分别作出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的外接圆，并分别指出三角形的外心的位置.（不写作法，保留作图痕迹）
答案
1.解:如图所示.
如图①,锐角三角形的外心在三角形的内部.
如图②,直角三角形的外心在斜边的中点处.
如图③,钝角三角形的外心在三角形的外部.
解析
【分析】
要作三角形的外接圆，首先需要明确外接圆的圆心即外心，是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径。解题思路如下：第一步，用尺规作三角形任意两条边的垂直平分线，两条线的交点就是外心O；第二步，以O为圆心，O到三角形任意一个顶点的长度为半径画圆，即可得到对应三角形的外接圆。完成作图后，结合三角形的类型观察外心位置，总结规律即可。
【解析】
1. 作图原理：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离为外接圆的半径。
2. 作图步骤：
① 任选三角形的两条边，用尺规作出这两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O；
② 以O为圆心，O到三角形任意顶点的线段长为半径作圆，所得的圆就是该三角形的外接圆。
3. 外心位置判定：
① 锐角三角形的边的垂直平分线交点在三角形内部，因此外心在三角形内部；
② 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此斜边中点到三个顶点距离相等，外心在斜边的中点处；
③ 钝角三角形的边的垂直平分线交点在三角形外部，因此外心在三角形外部。
【答案】
如图①,锐角三角形的外心在三角形的内部.
如图②,直角三角形的外心在斜边的中点处.
如图③,钝角三角形的外心在三角形的外部.
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 三角形外心
3. 外接圆作法
【点评】
本题属于基础几何作图题，核心考点是三角形外心的定义与性质，掌握外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键，熟记三类三角形外心的位置规律可以为后续学习圆与三角形结合的相关知识打好基础。
【难度系数】
0.8
要作三角形的外接圆，首先需要明确外接圆的圆心即外心，是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，这个距离就是外接圆的半径。解题思路如下：第一步，用尺规作三角形任意两条边的垂直平分线，两条线的交点就是外心O；第二步，以O为圆心，O到三角形任意一个顶点的长度为半径画圆，即可得到对应三角形的外接圆。完成作图后，结合三角形的类型观察外心位置，总结规律即可。
【解析】
1. 作图原理：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，外心到三角形三个顶点的距离相等，该距离为外接圆的半径。
2. 作图步骤：
① 任选三角形的两条边，用尺规作出这两条边的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为外心O；
② 以O为圆心，O到三角形任意顶点的线段长为半径作圆，所得的圆就是该三角形的外接圆。
3. 外心位置判定：
① 锐角三角形的边的垂直平分线交点在三角形内部，因此外心在三角形内部；
② 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，因此斜边中点到三个顶点距离相等，外心在斜边的中点处；
③ 钝角三角形的边的垂直平分线交点在三角形外部，因此外心在三角形外部。
【答案】
如图①,锐角三角形的外心在三角形的内部.
如图②,直角三角形的外心在斜边的中点处.
如图③,钝角三角形的外心在三角形的外部.
【知识点】
1. 尺规作垂直平分线
2. 三角形外心
3. 外接圆作法
【点评】
本题属于基础几何作图题，核心考点是三角形外心的定义与性质，掌握外心是三角形三边垂直平分线的交点是解题的关键，熟记三类三角形外心的位置规律可以为后续学习圆与三角形结合的相关知识打好基础。
【难度系数】
0.8
突破点二 反证法
【例2】如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦.
求证：AB与CD不能互相平分.
证明：
【规律方法】
反证法的一般步骤
(1)否定结论：假设命题不成立.
(2)推出矛盾：从假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果.
(3)肯定结论：由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.
|变式训练|
2.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°.
知识建构
【例2】如图，AB，CD是⊙O内非直径的两条弦.
求证：AB与CD不能互相平分.
证明：
【规律方法】
反证法的一般步骤
(1)否定结论：假设命题不成立.
(2)推出矛盾：从假设出发，经过推理论证，得出与定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果.
(3)肯定结论：由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.
|变式训练|
2.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°.
知识建构
答案
【例2】证明:如图,在⊙O中,设弦AB与弦CD相交于点P,假设AB与CD能互相平分,则AP=BP,CP=DP,连接OA,OB,OC,OD,OP.
因为OA=OB,AP=BP,
所以OP⊥AB.
因为OC=OD,CP=DP,
所以OP⊥CD.
这样,过点P就有AB与CD两条不同的直线与OP垂直,这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实相矛盾,
所以AB与CD不能互相平分.
2.证明:假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°,即都大于60°,那么这个三角形的内角和就会大于180°.这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾,所以假设不成立,原命题成立,即在一个三角形中,至少有一个角小于或等于60°.
解析
【分析】
两道题均采用反证法证明：
1. 对于例2：要证明两条非直径弦不能互相平分，属于否定性命题，先假设结论的反面成立，即AB与CD能互相平分，交点为P。结合圆半径相等的性质，利用等腰三角形三线合一可推出OP同时垂直AB和CD，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实矛盾，即可证明原命题成立。
2. 对于变式训练2：要证明三角形中至少有一个角≤60°，先假设结论反面成立，即三角形三个内角都大于60°，可推出三角形内角和大于180°，与“三角形内角和为180°”的定理矛盾，即可证明原命题成立。
【解析】
例2证明：
设弦AB与弦CD相交于点P，假设AB与CD能互相平分，则AP=BP，CP=DP，连接OA,OB,OC,OD,OP。
∵ OA=OB，AP=BP，
∴ 根据等腰三角形三线合一，得OP⊥AB。
∵ OC=OD，CP=DP，
∴ 同理可得OP⊥CD。
此时过点P有AB、CD两条不同的直线都与OP垂直，与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实矛盾，因此假设不成立，故AB与CD不能互相平分。
变式训练2证明：
假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，那么三个内角的和就大于60°×3=180°，这与“三角形的内角和等于180°”的定理相矛盾，因此假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°。
【答案】
【例2】证明:如图,在⊙O中,设弦AB与弦CD相交于点P,假设AB与CD能互相平分,则AP=BP,CP=DP,连接OA,OB,OC,OD,OP.
因为OA=OB,AP=BP,
所以OP⊥AB.
因为OC=OD,CP=DP,
所以OP⊥CD.
这样,过点P就有AB与CD两条不同的直线与OP垂直,这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实相矛盾,
所以AB与CD不能互相平分.
2.证明:假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°,即都大于60°,那么这个三角形的内角和就会大于180°.这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾,所以假设不成立,原命题成立,即在一个三角形中,至少有一个角小于或等于60°.
【知识点】
反证法；垂径定理；三角形内角和定理
【点评】
这两道题是反证法的典型应用，针对否定类、“至少/至多”类命题，反证法是常用的证明方法，解题核心是准确提出与原命题相反的假设，结合已学公理、定理推导出矛盾，即可完成证明。
【难度系数】
0.7
两道题均采用反证法证明：
1. 对于例2：要证明两条非直径弦不能互相平分，属于否定性命题，先假设结论的反面成立，即AB与CD能互相平分，交点为P。结合圆半径相等的性质，利用等腰三角形三线合一可推出OP同时垂直AB和CD，这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实矛盾，即可证明原命题成立。
2. 对于变式训练2：要证明三角形中至少有一个角≤60°，先假设结论反面成立，即三角形三个内角都大于60°，可推出三角形内角和大于180°，与“三角形内角和为180°”的定理矛盾，即可证明原命题成立。
【解析】
例2证明：
设弦AB与弦CD相交于点P，假设AB与CD能互相平分，则AP=BP，CP=DP，连接OA,OB,OC,OD,OP。
∵ OA=OB，AP=BP，
∴ 根据等腰三角形三线合一，得OP⊥AB。
∵ OC=OD，CP=DP，
∴ 同理可得OP⊥CD。
此时过点P有AB、CD两条不同的直线都与OP垂直，与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实矛盾，因此假设不成立，故AB与CD不能互相平分。
变式训练2证明：
假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°，即三个内角都大于60°，那么三个内角的和就大于60°×3=180°，这与“三角形的内角和等于180°”的定理相矛盾，因此假设不成立，原命题成立，即在一个三角形中，至少有一个角小于或等于60°。
【答案】
【例2】证明:如图,在⊙O中,设弦AB与弦CD相交于点P,假设AB与CD能互相平分,则AP=BP,CP=DP,连接OA,OB,OC,OD,OP.
因为OA=OB,AP=BP,
所以OP⊥AB.
因为OC=OD,CP=DP,
所以OP⊥CD.
这样,过点P就有AB与CD两条不同的直线与OP垂直,这与“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”的基本事实相矛盾,
所以AB与CD不能互相平分.
2.证明:假设在一个三角形中没有一个角小于或等于60°,即都大于60°,那么这个三角形的内角和就会大于180°.这与定理“三角形的内角和等于180°”相矛盾,所以假设不成立,原命题成立,即在一个三角形中,至少有一个角小于或等于60°.
【知识点】
反证法；垂径定理；三角形内角和定理
【点评】
这两道题是反证法的典型应用，针对否定类、“至少/至多”类命题，反证法是常用的证明方法，解题核心是准确提出与原命题相反的假设，结合已学公理、定理推导出矛盾，即可完成证明。
【难度系数】
0.7
