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10. (★★)如图,在$△ ABC$中,点D在边AC上,且$AD=AB$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出$∠ BAC$的平分线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE,求证:$DE=BE$.
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出$∠ BAC$的平分线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E,连接DE,求证:$DE=BE$.
答案
(1) 按尺规作角平分线的标准方法作图：以A为圆心适当长为半径画弧，分别交AB、AC于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于角内一点，过点A和该点作射线交BC于点E，射线AE即为所求∠BAC的平分线，保留全部作图痕迹。
证明：(2)
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD, \\∠BAE = ∠DAE, \\AE = AE,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE（SAS），
∴ DE = BE。
证明：(2)
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
在△ABE和△ADE中，
$\{\begin{array}{l}AB = AD, \\∠BAE = ∠DAE, \\AE = AE,\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE（SAS），
∴ DE = BE。
解析
【分析】
(1) 第(1)问是尺规作已知角平分线的基础操作，回忆角平分线的标准尺规作图步骤执行即可，注意保留全部作图痕迹，不需要写作法。
(2) 第(2)问要证明DE=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：已知AB=AD，由AE是角平分线可得一组对应角相等，再加公共边AE，即可通过SAS判定△ABE和△ADE全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质得到结论。
【解析】
(1) 作图：以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与AB、AC交于两点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点；过点A和该交点作射线交BC于点E，射线AE即为所求的∠BAC的平分线，保留全部作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
在△ABE和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD\\∠BAE = ∠DAE\\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE（SAS），
∴ DE = BE。
【答案】
(1) 按上述尺规作图方法作出射线AE，保留作图痕迹；
(2) DE=BE得证，证明过程如上。
【知识点】
尺规作角平分线、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，既考查了基本的尺规作图技能，又结合了全等三角形判定和性质的应用，注重对基础知识、基本技能的考查，熟练掌握相关方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
(1) 第(1)问是尺规作已知角平分线的基础操作，回忆角平分线的标准尺规作图步骤执行即可，注意保留全部作图痕迹，不需要写作法。
(2) 第(2)问要证明DE=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导：已知AB=AD，由AE是角平分线可得一组对应角相等，再加公共边AE，即可通过SAS判定△ABE和△ADE全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质得到结论。
【解析】
(1) 作图：以点A为圆心，取适当长度为半径画弧，分别与AB、AC交于两点；再分别以这两个交点为圆心，取大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧在∠BAC内部交于一点；过点A和该交点作射线交BC于点E，射线AE即为所求的∠BAC的平分线，保留全部作图痕迹即可。
(2) 证明：
∵ AE平分∠BAC，
∴ ∠BAE = ∠DAE。
在△ABE和△ADE中：
$\{\begin{array}{l}AB = AD\\∠BAE = ∠DAE\\AE = AE\end{array} $
∴ △ABE ≌ △ADE（SAS），
∴ DE = BE。
【答案】
(1) 按上述尺规作图方法作出射线AE，保留作图痕迹；
(2) DE=BE得证，证明过程如上。
【知识点】
尺规作角平分线、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题型，既考查了基本的尺规作图技能，又结合了全等三角形判定和性质的应用，注重对基础知识、基本技能的考查，熟练掌握相关方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
11.(★)如图,AC和BD相交于点O,若OA=OD,则添加下列一个条件后仍无法判定△AOB≅△DOC的是
【】
A.OB=OC
B.AB=DC
C.∠A=∠D
D.∠B=∠C
【】
A.OB=OC
B.AB=DC
C.∠A=∠D
D.∠B=∠C
答案
B
解析
【分析】
首先明确已知条件：AC与BD相交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，题目已给出OA=OD。要判断添加哪个条件仍无法判定△AOB≅△DOC，需结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定三角形全等），逐一分析各选项即可得出结论。
【解析】
已知OA=OD，∠AOB与∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC，对各选项分析如下：
A. 添加OB=OC，在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD\\ ∠ AOB=∠ DOC\\ OB=OC\end{array} $
符合SAS全等判定定理，可判定△AOB≅△DOC，不符合题意；
B. 添加AB=DC，此时已知条件为OA=OD、∠AOB=∠DOC、AB=DC，属于SSA的情形，SSA不能判定三角形全等，因此无法判定△AOB≅△DOC，符合题意；
C. 添加∠A=∠D，在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ OA=OD\\ ∠ AOB=∠ DOC\end{array} $
符合ASA全等判定定理，可判定△AOB≅△DOC，不符合题意；
D. 添加∠B=∠C，在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ AOB=∠ DOC\\ OA=OD\end{array} $
符合AAS全等判定定理，可判定△AOB≅△DOC，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题的核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确SSA不能作为全等判定的依据，同时要注意挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件。
【难度系数】
0.7
首先明确已知条件：AC与BD相交于点O，可得对顶角∠AOB=∠DOC，题目已给出OA=OD。要判断添加哪个条件仍无法判定△AOB≅△DOC，需结合三角形全等的判定定理（SAS、ASA、AAS、SSS，注意SSA不能判定三角形全等），逐一分析各选项即可得出结论。
【解析】
已知OA=OD，∠AOB与∠DOC是对顶角，因此∠AOB=∠DOC，对各选项分析如下：
A. 添加OB=OC，在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}OA=OD\\ ∠ AOB=∠ DOC\\ OB=OC\end{array} $
符合SAS全等判定定理，可判定△AOB≅△DOC，不符合题意；
B. 添加AB=DC，此时已知条件为OA=OD、∠AOB=∠DOC、AB=DC，属于SSA的情形，SSA不能判定三角形全等，因此无法判定△AOB≅△DOC，符合题意；
C. 添加∠A=∠D，在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}∠ A=∠ D\\ OA=OD\\ ∠ AOB=∠ DOC\end{array} $
符合ASA全等判定定理，可判定△AOB≅△DOC，不符合题意；
D. 添加∠B=∠C，在△AOB和△DOC中：
$\{\begin{array}{l}∠ B=∠ C\\ ∠ AOB=∠ DOC\\ OA=OD\end{array} $
符合AAS全等判定定理，可判定△AOB≅△DOC，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
全等三角形的判定，对顶角的性质
【点评】
本题属于全等三角形判定的基础题，解题的核心是熟练掌握全等三角形的判定定理，明确SSA不能作为全等判定的依据，同时要注意挖掘图形中隐含的对顶角相等的条件。
【难度系数】
0.7
12. (★★)如图,在$△ ABC$和$△ CDE$中,点$B,C,E$在同一条直线上,$∠ B=∠ E=∠ ACD$,$AC=CD$.若$AB=2$,$BE=6$,则$DE$的长为
【 】
A.8
B.6
C.4
D.2
【 】
A.8
B.6
C.4
D.2
答案
C
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：有相等的边AC=CD，还有多组相等的角，求线段长度优先考虑证明三角形全等。首先利用平角的性质和三角形内角和定理，推导两个三角形的对应角相等，结合已知的等边条件用AAS判定△ABC和△CED全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵点B、C、E在同一条直线上
∴$∠ ACB + ∠ ACD + ∠ DCE = 180°$
在$△ ABC$中，由三角形内角和得：$∠ ACB + ∠ B + ∠ BAC = 180°$
又
∵$∠ B = ∠ ACD$，代入上式可得：$∠ ACB + ∠ ACD + ∠ BAC = 180°$
对比平角的等式可得：$∠ BAC = ∠ DCE$
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ DCE \\∠ B = ∠ E \\AC = CD\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ CED$（AAS）
∴$AB=CE$，$BC=DE$
已知$AB=2$，
∴$CE=2$
又
∵$BE=6$，$BE=BC+CE$
∴$BC=BE-CE=6-2=4$
∴$DE=BC=4$
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等判定需要的对应角相等，再利用全等的性质转化线段关系求解，熟练掌握全等的判定和性质是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：有相等的边AC=CD，还有多组相等的角，求线段长度优先考虑证明三角形全等。首先利用平角的性质和三角形内角和定理，推导两个三角形的对应角相等，结合已知的等边条件用AAS判定△ABC和△CED全等，再利用全等三角形对应边相等的性质，结合已知线段长度即可求出DE的长。
【解析】
解：
∵点B、C、E在同一条直线上
∴$∠ ACB + ∠ ACD + ∠ DCE = 180°$
在$△ ABC$中，由三角形内角和得：$∠ ACB + ∠ B + ∠ BAC = 180°$
又
∵$∠ B = ∠ ACD$，代入上式可得：$∠ ACB + ∠ ACD + ∠ BAC = 180°$
对比平角的等式可得：$∠ BAC = ∠ DCE$
在$△ ABC$和$△ CED$中：
$\begin{cases}∠ BAC = ∠ DCE \\∠ B = ∠ E \\AC = CD\end{cases}$
∴$△ ABC ≌ △ CED$（AAS）
∴$AB=CE$，$BC=DE$
已知$AB=2$，
∴$CE=2$
又
∵$BE=6$，$BE=BC+CE$
∴$BC=BE-CE=6-2=4$
∴$DE=BC=4$
【答案】
C
【知识点】
三角形全等的判定；全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是全等三角形应用的基础题型，解题核心是通过角的等量代换得到全等判定需要的对应角相等，再利用全等的性质转化线段关系求解，熟练掌握全等的判定和性质是解这类题的关键。
【难度系数】
0.7
13. (★★)如图,在长方形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm,点E,F分别在AB,CD上,将长方形ABCD沿EF折叠,使点A,D分别落在长方形ABCD外部的点A',D'处,则整个阴影部分图形的周长为.
答案
$\boldsymbol{36\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等。我们要求阴影部分的周长，先将阴影部分的所有边拆分列举出来，再利用折叠的性质把折叠后产生的新的相等线段替换成原来长方形的边，最后就能发现阴影部分的周长刚好等于原长方形的周长，代入数据计算即可。
【解析】
根据折叠的性质可得：$A'E=AE$，$A'D'=AD$，$D'F=DF$。
阴影部分的周长为：
$FC + BC + BE + A'E + A'D' + D'F$
将相等的线段代入替换，得：
$= FC + BC + BE + AE + AD + DF$
整理线段：$BE+AE=AB$，$FC+DF=CD$，且长方形中$AB=CD$，$AD=BC$，因此周长可转化为长方形ABCD的周长：
$= AB + BC + CD + AD$
代入$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，得：
$= 2×(12+6) = 36\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{36\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
折叠的性质；长方形周长计算
【点评】
本题是折叠类周长计算的典型题，核心是利用折叠前后对应边相等的性质，将不规则的阴影周长转化为规则的长方形周长求解，有效降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边长度相等。我们要求阴影部分的周长，先将阴影部分的所有边拆分列举出来，再利用折叠的性质把折叠后产生的新的相等线段替换成原来长方形的边，最后就能发现阴影部分的周长刚好等于原长方形的周长，代入数据计算即可。
【解析】
根据折叠的性质可得：$A'E=AE$，$A'D'=AD$，$D'F=DF$。
阴影部分的周长为：
$FC + BC + BE + A'E + A'D' + D'F$
将相等的线段代入替换，得：
$= FC + BC + BE + AE + AD + DF$
整理线段：$BE+AE=AB$，$FC+DF=CD$，且长方形中$AB=CD$，$AD=BC$，因此周长可转化为长方形ABCD的周长：
$= AB + BC + CD + AD$
代入$AB=12\ \mathrm{cm}$，$BC=6\ \mathrm{cm}$，得：
$= 2×(12+6) = 36\ \mathrm{cm}$
【答案】
$\boldsymbol{36\ \mathrm{cm}}$
【知识点】
折叠的性质；长方形周长计算
【点评】
本题是折叠类周长计算的典型题，核心是利用折叠前后对应边相等的性质，将不规则的阴影周长转化为规则的长方形周长求解，有效降低了计算难度。
【难度系数】
0.7
14. (★★)如图，$AB ⊥ AC$，$AB=AC$，D是AB上一点，$CE ⊥ CD$，$CE=CD$，连接BE交AC于点F. 求证:F是BE的中点.
答案
证明：过点E作EG⊥AC，垂足为G。
∵ AB⊥AC，EG⊥AC，
∴ ∠A = ∠EGC = 90°。
∵ CE⊥CD，
∴ ∠DCE = 90°，即∠ACD + ∠ECG = 90°。
又∵ ∠ACD + ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ECG。
在△ADC和△GCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGC \\∠ADC = ∠GCE \\CD = CE\end{array} $
∴ △ADC ≌ △GCE（AAS）。
∴ AD = CG，AC = EG。
又∵ AB = AC，
∴ AB = EG。
在△ABF和△GEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGF \\∠AFB = ∠GFE \\AB = EG\end{array} $
∴ △ABF ≌ △GEF（AAS）。
∴ BF = EF，即F是BE的中点。
∵ AB⊥AC，EG⊥AC，
∴ ∠A = ∠EGC = 90°。
∵ CE⊥CD，
∴ ∠DCE = 90°，即∠ACD + ∠ECG = 90°。
又∵ ∠ACD + ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ECG。
在△ADC和△GCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGC \\∠ADC = ∠GCE \\CD = CE\end{array} $
∴ △ADC ≌ △GCE（AAS）。
∴ AD = CG，AC = EG。
又∵ AB = AC，
∴ AB = EG。
在△ABF和△GEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGF \\∠AFB = ∠GFE \\AB = EG\end{array} $
∴ △ABF ≌ △GEF（AAS）。
∴ BF = EF，即F是BE的中点。
解析
【分析】
要证明F是BE的中点，本质是证BF=EF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。观察图形不存在直接包含BF、EF的全等三角形，因此考虑构造辅助线：过点E作EG⊥AC于G，先利用同角的余角相等推导等角，结合已知CE=CD证明△ADC≌△GCE，得到EG=AC，再结合AB=AC的条件推出AB=EG，最后证明△ABF≌△GEF，即可得到BF=EF，完成求证。
【解析】
证明：过点E作EG⊥AC，垂足为G。
∵ AB⊥AC，EG⊥AC，
∴ ∠A = ∠EGC = 90°。
∵ CE⊥CD，
∴ ∠DCE = 90°，即∠ACD + ∠ECG = 90°。
又
∵ ∠ACD + ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ECG。
在△ADC和△GCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGC \\∠ADC = ∠GCE \\CD = CE\end{array} $
∴ △ADC ≌ △GCE（AAS）。
∴ AD = CG，AC = EG。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = EG。
在△ABF和△GEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGF \\∠AFB = ∠GFE \\AB = EG\end{array} $
∴ △ABF ≌ △GEF（AAS）。
∴ BF = EF，即F是BE的中点。
【答案】
F是BE的中点，结论得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；余角的性质；垂直的定义
【点评】
本题是典型的构造全等证明线段相等的几何题，解题核心是合理作垂直辅助线构造全等的直角条件，再结合角的互余关系推导等角，结合已知边相等的条件证明全等，进而得到对应边相等，考查了学生的辅助线构造能力和全等知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要证明F是BE的中点，本质是证BF=EF，通常可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。观察图形不存在直接包含BF、EF的全等三角形，因此考虑构造辅助线：过点E作EG⊥AC于G，先利用同角的余角相等推导等角，结合已知CE=CD证明△ADC≌△GCE，得到EG=AC，再结合AB=AC的条件推出AB=EG，最后证明△ABF≌△GEF，即可得到BF=EF，完成求证。
【解析】
证明：过点E作EG⊥AC，垂足为G。
∵ AB⊥AC，EG⊥AC，
∴ ∠A = ∠EGC = 90°。
∵ CE⊥CD，
∴ ∠DCE = 90°，即∠ACD + ∠ECG = 90°。
又
∵ ∠ACD + ∠ADC = 90°，
∴ ∠ADC = ∠ECG。
在△ADC和△GCE中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGC \\∠ADC = ∠GCE \\CD = CE\end{array} $
∴ △ADC ≌ △GCE（AAS）。
∴ AD = CG，AC = EG。
又
∵ AB = AC，
∴ AB = EG。
在△ABF和△GEF中：
$\{\begin{array}{l}∠A = ∠EGF \\∠AFB = ∠GFE \\AB = EG\end{array} $
∴ △ABF ≌ △GEF（AAS）。
∴ BF = EF，即F是BE的中点。
【答案】
F是BE的中点，结论得证。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；余角的性质；垂直的定义
【点评】
本题是典型的构造全等证明线段相等的几何题，解题核心是合理作垂直辅助线构造全等的直角条件，再结合角的互余关系推导等角，结合已知边相等的条件证明全等，进而得到对应边相等，考查了学生的辅助线构造能力和全等知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
