15. (★★)(1)【情境再现】甲、乙两个不同大小的等腰直角三角尺按如图①所示方式放置,甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处.将甲三角尺绕点O顺时针旋转一个锐角到图②位置.小莹用作图软件按图②作出示意图,并连接AG,BH,如图③所示,AB交HO于点E,AC交OG于点F,可以证明得到OB=OA.请你证明:BH=AG.
(2)【迁移应用】延长GA分别交HO,HB所在直线于点P,D,如图④,猜想并证明DG与BH的位置关系.

(1) 证明：
∵ △AOB是等腰直角三角形，
∴ $OB = OA$，$∠ AOB = 90°$。
∵ △HOG是等腰直角三角形，
∴ $OH = OG$，$∠ HOG = 90°$。
∴ $∠ HOG - ∠ AOH = ∠ AOB - ∠ AOH$，
即 $∠ HOB = ∠ GOA$。
在$△ BOH$和$△ AOG$中：
$\begin{cases}OH = OG \\∠ HOB = ∠ GOA \\OB = OA\end{cases}$
∴ $△ BOH ≌ △ AOG$（SAS），
∴ $BH = AG$。
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(2) 猜想：$DG ⊥ BH$，证明如下：
由(1)得$△ BOH ≌ △ AOG$，
∴ $∠ OHB = ∠ OGA$。
又∵ $∠ HPD = ∠ GPO$，
在$△ HDP$中：$∠ HDP = 180° - ∠ OHB - ∠ HPD$，
在$△ GOP$中：$∠ GOP = 180° - ∠ OGA - ∠ GPO$，
∴ $∠ HDP = ∠ GOP = 90°$，
∴ $DG ⊥ BH$。

16. (★) 如图, 在△ABC中, ∠C = 90°, AC=6, DC = $\frac{1}{2}$AD, BD平分∠ABC, 则点D到AB的距离为。

解：过点D作DE⊥AB于点E。
∵ ∠C=90°，
∴ DC⊥BC。
∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB，
∴ DE=DC（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
∵ AC=6，DC=$\frac{1}{2}$AD，
∴ AD=2DC，
又∵ AC=AD+DC，
∴ 2DC + DC = 6，
即3DC=6，
解得DC=2，
∴ DE=2。
故点D到AB的距离为$\boldsymbol{2}$。

17. (★★)如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC = 40°，则∠CAP的度数为.

$\boldsymbol{50°}$

解：过点P作PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，PG⊥AB交BA的延长线于点G。
∵BP平分∠ABC，
∴PG=PE。
∵CP平分∠ACD，
∴PF=PE。
∴PG=PF。
又∵PG⊥AG，PF⊥AC，
∴点P在∠GAC的平分线上，即AP平分∠GAC。
∵∠PCD是△BPC的外角，
∴∠PCD = ∠PBC + ∠BPC。
∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD = ∠ABC + ∠BAC。
由角平分线定义得：∠ACD=2∠PCD，∠ABC=2∠PBC，
代入得：2∠PCD = 2∠PBC + ∠BAC，
将∠BPC=40°即∠PCD=∠PBC+40°代入上式：
2(∠PBC + 40°) = 2∠PBC + ∠BAC，
化简得∠BAC=80°。
∴∠GAC = 180° - ∠BAC = 100°，
∴∠CAP = $\frac{1}{2}$∠GAC = 50°。

18. (★★)如图,分别在∠AOB的边OA,OB上取点M,N,连接MN,P是△MON外角平分线的交点,若$MN=2$,$S_{△ PMN}=2$,$S_{△ OMN}=7$,则△MON的周长是.

$\boldsymbol{11}$

解：过点P作PE⊥OA于点E，PF⊥MN于点F，PG⊥OB于点G。
∵P是△MON外角平分线的交点，
∴PE=PF，PG=PF，即PE=PF=PG。
∵$S_{△ PMN}=\frac{1}{2} · MN · PF = 2$，且MN=2，
∴$\frac{1}{2} × 2 × PF = 2$，解得PF=2，
∴PE=PG=2。
∵$S_{△ POM}=\frac{1}{2} · OM · PE = OM$，$S_{△ PON}=\frac{1}{2} · ON · PG = ON$，
又∵$S_{△ POM} + S_{△ PON} - S_{△ PMN} = S_{△ OMN}$，
代入已知$S_{△ OMN}=7$，得：
$OM + ON - 2 = 7$，
∴$OM + ON = 9$，
∴△MON的周长$= OM + ON + MN = 9 + 2 = 11$。