4. (★★)如图,已知在$△ ABC$中,$AB=AC$, $∠ BAC=∠ EPF=90°$, $∠ EPF$的顶点$P$是$BC$的中点,两边$PE$,$PF$分别交$AB$,$AC$于点$E$,$F$,此时$AP=CP$,当$∠ EPF$在$△ ABC$内绕顶点$P$旋转时(点$E$不与$A$,$B$重合),给出以下四个结论:①$AE=CF$;②$△ EPF$是等腰直角三角形;③$2S_{\mathrm{四边形}AEPF}=S_{△ ABC}$;④$BE+CF=EF$.其中始终正确的有
【 】

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

B

1. 先推导已知条件：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，因此AP=CP，∠PAE=∠C=45°，AP⊥BC。
2. 证明△APE≌△CPF：由∠EPF=90°，得∠APE+∠APF=∠CPF+∠APF=90°，即∠APE=∠CPF，结合AP=CP，∠PAE=∠C，由ASA得△APE≌△CPF。
3. 判断结论：
① 由全等直接得AE=CF，结论正确；
② 由全等得PE=PF，又∠EPF=90°，故△EPF是等腰直角三角形，结论正确；
③ 由全等得S△APE=S△CPF，因此S四边形AEPF=S△APC，又P是BC中点，S△APC=1/2 S△ABC，故2S四边形AEPF=S△ABC，结论正确；
④ BE+CF=BE+AE=AB，在Rt△AEF中，EF＜AE+AF=AB，即BE+CF＞EF，结论错误。
综上始终正确的结论共3个。

5. (★★)如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=12,BC=6,P,Q 两点分别在线段 AC 上和过点 A 且垂直于 AC 的射线 AX 上运动,且 PQ=AB,要使以 A,B,C 为顶点的三角形和以 Q,P,A 为顶点的三角形全等,则 AP 的长为.

解：
∵ ∠C=90°，AX⊥AC，
∴ ∠PAQ=90°，
即△ABC和△QPA均为直角三角形。
分两种情况讨论：
① 当AP=BC=6时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
$\{\begin{array}{l} AB=PQ \\ BC=AP \end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△QPA（HL）；
② 当AP=AC=12时，
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
$\{\begin{array}{l} AB=PQ \\ AC=AP \end{array} $
∴ Rt△ABC ≌ Rt△PQA（HL）。
综上，AP的长为6或12。

6. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 50°$,$∠ C = 20°$,过点$A$作$AE ⊥ BC$于点$E$,延长$EA$至点$D$,使$AD = AC$,在边$AC$上截取$AF = AB$,连接$DF$.求证:$DF = CB$.

证明：
在$△ ABC$中，
$\because ∠ B=50°$，$∠ C=20°$，
$\therefore ∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ C = 110°$。
$\because AE ⊥ BC$，
$\therefore ∠ AEC = 90°$，
$\therefore ∠ EAC = 90° - ∠ C = 70°$。
$\because$ 点$D$在$EA$的延长线上，
$\therefore ∠ DAF = 180° - ∠ EAC = 110°$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ BAC$。
在$△ DAF$和$△ CAB$中，
$\begin{cases}AD = AC \\∠ DAF = ∠ BAC \\AF = AB\end{cases}$
$\therefore △ DAF ≌ △ CAB \ (\mathrm{SAS})$，
$\therefore DF = CB$。

7. (★)把两个同样大小的含$30°$角的直角三角尺按如图所示方式放置，其中M是AD与BC的交点，若$CM=4$，则点M到AB的距离为。

(第7题) (第8题)

$\boldsymbol{4}$

解：过点M作MN⊥AB于点N。
由题意得，两个全等的含30°角的直角三角尺满足：
∠C = 90°，∠CAB = 30°，∠DAB = 60°，
∴ ∠CAM = ∠DAB - ∠CAB = 60° - 30° = 30°，
∴ ∠CAM = ∠NAM = 30°，即AM平分∠CAB。
又∵ MC⊥AC，MN⊥AB，
根据角平分线的性质，可得MN = CM。
∵ CM = 4，
∴ MN = 4，即点M到AB的距离为4。

8. (★)如图,点B在直线l上,分别以线段BA的端点为圆心,以小于线段BA的长为半径作弧,分别交直线l,线段BA于C,D,E三点,再以点E为圆心,CD的长为半径作弧交前面的弧于点F,画射线AF.若∠BAF的平分线AH交直线l于点H,∠ABC=70°,则∠AHB的度数为.

$\boldsymbol{35°}$

解：由作图方法可得∠BAF = ∠ABC = 70°。
∵ AH是∠BAF的平分线，
∴ ∠BAH = ∠FAH = $\frac{1}{2}$∠BAF = 35°。
∵ ∠BAF = ∠ABC = 70°，
∴ AF // l，
∴ ∠AHB = ∠FAH = 35°。
最终

9. (★★)如图,在△ABC中,AB ＜ AC,∠BAC的平分线与△ABC的外角∠BCD的平分线相交于点M,延长AB得到射线AE,作射线BM,有下列四个结论:①∠MCD ＞ ∠MAB;②BM=CM;③射线BM是∠EBC的平分线;④∠BMC=90°−$\frac{1}{2}$∠BAC.其中正确结论的序号是.

解：
过点M作MG⊥AE于G，MH⊥BC于H，MF⊥AD于F。
∵AM平分∠BAC，
∴MG=MF。
∵CM平分∠BCD，
∴MH=MF，
∴MG=MH。
① ∵∠MCD=$\frac{1}{2}$∠BCD，∠BCD=∠BAC+∠ABC，
∴∠MCD=$\frac{1}{2}$∠BAC + $\frac{1}{2}$∠ABC = ∠MAB + $\frac{1}{2}$∠ABC，
∴∠MCD＞∠MAB，结论①正确。
② 由AB＜AC的条件，无法推出∠MBC=∠MCB，故BM与CM不一定相等，结论②错误。
③ ∵MG⊥AE，MH⊥BC，且MG=MH，
∴点M在∠EBC的平分线上，即射线BM是∠EBC的平分线，结论③正确。
④ ∠BMC=180°-∠MBC-∠BCM，
∵∠MBC=$\frac{1}{2}$∠EBC=$\frac{1}{2}$(180°-∠ABC)=90°-$\frac{1}{2}$∠ABC，
∠BCM=$\frac{1}{2}$∠BCD=$\frac{1}{2}$(180°-∠ACB)=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB，
代入得：
∠BMC=180°-(90°-$\frac{1}{2}$∠ABC)-(90°-$\frac{1}{2}$∠ACB)
=$\frac{1}{2}$(∠ABC+∠ACB)
=$\frac{1}{2}$(180°-∠BAC)
=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC，
结论④正确。
综上，正确结论的序号是$\boldsymbol{①③④}$。