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1. (★)在$△ ABC$中,若$∠ A=95°,∠ B=40°$,则$∠ C$的度数为 【 】
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
C
解析
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°，因此∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 95° - 40° = 45°。
2. (★)三角形的内角和定理:三角形的内角和等于.
答案
解：$180°$
3. (★)在$△ ABC$中，$∠ A=20°$，$∠ B=60°$，$∠ C=100°$，那么$△ ABC$是（填“锐角”“钝角”或“直角”）三角形。
答案
钝角
解析
解：
在△ABC中，∠C=100°，
∵ 90° ＜ 100° ＜ 180°，即∠C是钝角，
∴ △ABC是钝角三角形。
在△ABC中，∠C=100°，
∵ 90° ＜ 100° ＜ 180°，即∠C是钝角，
∴ △ABC是钝角三角形。
4. (★)如图,在△ABC中,∠ACB=85°,DE过点C,且DE//AB.若∠ACD=55°,则∠B的度数是 .
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
解：
∵ DE//AB，
∴ ∠A = ∠ACD = 55°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB
= 180° - 55° - 85°
= 40°。
最终
∵ DE//AB，
∴ ∠A = ∠ACD = 55°（两直线平行，内错角相等）。
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴ ∠B = 180° - ∠A - ∠ACB
= 180° - 55° - 85°
= 40°。
最终
5. (★★)如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$的平分线与$∠ ACB$的平分线相交于点$O$.若$∠ A=100°$,则$∠ BOC$的度数为 【 】
A.$100°$
B.$106°$
C.$120°$
D.$140°$
A.$100°$
B.$106°$
C.$120°$
D.$140°$
答案
D
解析
在△ABC中，根据三角形内角和定理，∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠A = 180° - 100° = 80°。
因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠OBC = 1/2∠ABC，∠OCB = 1/2∠ACB，因此∠OBC + ∠OCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 1/2×80° = 40°。
在△BOC中，再次利用三角形内角和定理，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 40° = 140°。
因为BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，所以∠OBC = 1/2∠ABC，∠OCB = 1/2∠ACB，因此∠OBC + ∠OCB = 1/2(∠ABC + ∠ACB) = 1/2×80° = 40°。
在△BOC中，再次利用三角形内角和定理，∠BOC = 180° - (∠OBC + ∠OCB) = 180° - 40° = 140°。
6. (★★)如图，$∠ A=70°$, $∠ B=40°$, $∠ C=30°$,则$∠ D+∠ E$的度数为 【 】
A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$70°$
A.$30°$
B.$40°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
B
解析
设BD与CE的交点为O，连接BC。
1. 在△ABC中，由三角形内角和为180°，得∠A + ∠ABD + ∠DBC + ∠ACE + ∠ECB = 180°。
代入∠A=70°，∠ABD=40°，∠ACE=30°，解得∠DBC + ∠ECB = 180° -70°-40°-30°=40°。
2. 在△BOC中，∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-40°=140°。
3. 由对顶角相等，得∠DOE=∠BOC=140°。
4. 在△DOE中，∠D+∠E=180°-∠DOE=180°-140°=40°。
1. 在△ABC中，由三角形内角和为180°，得∠A + ∠ABD + ∠DBC + ∠ACE + ∠ECB = 180°。
代入∠A=70°，∠ABD=40°，∠ACE=30°，解得∠DBC + ∠ECB = 180° -70°-40°-30°=40°。
2. 在△BOC中，∠BOC=180°-(∠DBC+∠ECB)=180°-40°=140°。
3. 由对顶角相等，得∠DOE=∠BOC=140°。
4. 在△DOE中，∠D+∠E=180°-∠DOE=180°-140°=40°。
7. (★★)如图,已知小岛B在基地A的南偏东20°方向,货轮C在基地A的南偏西70°方向,货轮C在小岛B的北偏西60°方向,则∠C的度数为。
答案
$\boldsymbol{50°}$
解析
解：
由题意得：∠SAB = 20°，∠SAC = 70°，
∴ ∠CAB = ∠SAB + ∠SAC = 20° + 70° = 90°。
∵ 点A、B处的正北方向线互相平行，
∴ ∠ABN = ∠SAB = 20°（两直线平行，内错角相等）。
又∵ ∠NBC = 60°，
∴ ∠ABC = ∠NBC - ∠ABN = 60° - 20° = 40°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 90° - 40° = 50°。
由题意得：∠SAB = 20°，∠SAC = 70°，
∴ ∠CAB = ∠SAB + ∠SAC = 20° + 70° = 90°。
∵ 点A、B处的正北方向线互相平行，
∴ ∠ABN = ∠SAB = 20°（两直线平行，内错角相等）。
又∵ ∠NBC = 60°，
∴ ∠ABC = ∠NBC - ∠ABN = 60° - 20° = 40°。
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠C = 180° - ∠CAB - ∠ABC = 180° - 90° - 40° = 50°。
8. (★★)在$△ ABC$中:
(1)若$∠ A=50°,∠ C=65°$,则$∠ B$的度数为;
(2)若$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:4$,则$∠ A$的度数为;
(3)若$∠ B=2∠ A,∠ C=∠ A+40°$,则$∠ A$的度数为;
(4)若$∠ A=50°,∠ B=∠ C$,则$∠ C$的度数为;
(5)若$∠ C=90°,∠ B-∠ A=28°$,则$∠ B$的度数为.
(1)若$∠ A=50°,∠ C=65°$,则$∠ B$的度数为;
(2)若$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:4$,则$∠ A$的度数为;
(3)若$∠ B=2∠ A,∠ C=∠ A+40°$,则$∠ A$的度数为;
(4)若$∠ A=50°,∠ B=∠ C$,则$∠ C$的度数为;
(5)若$∠ C=90°,∠ B-∠ A=28°$,则$∠ B$的度数为.
答案
解：根据三角形内角和为180°计算如下：
(1) $∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 50° - 65° = 65°$
(2) 设$∠ A=2x$，$∠ B=3x$，$∠ C=4x$，
则$2x + 3x + 4x = 180°$，
解得$x=20°$，
$\therefore ∠ A=2×20°=40°$
(3) 将$∠ B=2∠ A$，$∠ C=∠ A+40°$代入$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，得：
$∠ A + 2∠ A + ∠ A + 40° = 180°$，
$4∠ A = 140°$，
解得$∠ A=35°$
(4) $\because ∠ A=50°$，$∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ C = (180° - 50°) ÷ 2 = 65°$
(5) $\because ∠ C=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，
又$\because ∠ B - ∠ A = 28°$，
两式相加得$2∠ B=118°$，
解得$∠ B=59°$
答案依次为：$\boldsymbol{65°}$；$\boldsymbol{40°}$；$\boldsymbol{35°}$；$\boldsymbol{65°}$；$\boldsymbol{59°}$。
(1) $∠ B = 180° - ∠ A - ∠ C = 180° - 50° - 65° = 65°$
(2) 设$∠ A=2x$，$∠ B=3x$，$∠ C=4x$，
则$2x + 3x + 4x = 180°$，
解得$x=20°$，
$\therefore ∠ A=2×20°=40°$
(3) 将$∠ B=2∠ A$，$∠ C=∠ A+40°$代入$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，得：
$∠ A + 2∠ A + ∠ A + 40° = 180°$，
$4∠ A = 140°$，
解得$∠ A=35°$
(4) $\because ∠ A=50°$，$∠ B=∠ C$，
$\therefore ∠ C = (180° - 50°) ÷ 2 = 65°$
(5) $\because ∠ C=90°$，
$\therefore ∠ A + ∠ B = 90°$，
又$\because ∠ B - ∠ A = 28°$，
两式相加得$2∠ B=118°$，
解得$∠ B=59°$
答案依次为：$\boldsymbol{65°}$；$\boldsymbol{40°}$；$\boldsymbol{35°}$；$\boldsymbol{65°}$；$\boldsymbol{59°}$。
