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15. (★★)已知$P = x+1$，$Q = \dfrac{4x}{x+1}$。当$x＞0$时，比较$P$与$Q$的大小，并说明理由。
答案
解：$P \ge Q$，理由如下：
$\begin{aligned}P - Q&=(x+1)-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2}{x+1}-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2 - 4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 + 2x +1 -4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 -2x +1}{x+1}\\&=\frac{(x-1)^2}{x+1}\end{aligned}$
∵ $x＞0$，
∴ $x+1＞0$，
又∵ $(x-1)^2 \ge 0$，
∴ $\frac{(x-1)^2}{x+1} \ge 0$，即 $P-Q \ge 0$，
∴ $P \ge Q$，当且仅当$x=1$时等号成立。
$\begin{aligned}P - Q&=(x+1)-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2}{x+1}-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2 - 4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 + 2x +1 -4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 -2x +1}{x+1}\\&=\frac{(x-1)^2}{x+1}\end{aligned}$
∵ $x＞0$，
∴ $x+1＞0$，
又∵ $(x-1)^2 \ge 0$，
∴ $\frac{(x-1)^2}{x+1} \ge 0$，即 $P-Q \ge 0$，
∴ $P \ge Q$，当且仅当$x=1$时等号成立。
解析
【分析】
比较两个代数式的大小通常采用作差法，即计算$P-Q$的值，通过差值的正负判断$P$和$Q$的大小：若$P-Q＞0$则$P＞Q$，若$P-Q=0$则$P=Q$，若$P-Q＜0$则$P＜Q$。本题中$P$是整式、$Q$是分式，作差后先通分化简差值，再结合$x＞0$的条件和平方的非负性判断差值的符号，即可得出结论。
【解析】
解：$P \ge Q$，理由如下：
$\begin{aligned}P - Q&=(x+1)-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2}{x+1}-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2 - 4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 + 2x +1 -4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 -2x +1}{x+1}\\&=\frac{(x-1)^2}{x+1}\end{aligned}$
∵ $x＞0$，
∴ $x+1＞0$，
又
∵ $(x-1)^2 \ge 0$，
∴ $\frac{(x-1)^2}{x+1} \ge 0$，即 $P-Q \ge 0$，
∴ $P \ge Q$，当且仅当$x=1$时等号成立。
【答案】
当$x＞0$时，$P\ge Q$，当$x=1$时等号成立。
【知识点】
作差法比较大小；分式的加减运算；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，核心考查作差法的应用，同时结合了分式通分化简、非负数性质等知识，解题关键是保证通分化简的正确性，再结合已知条件判断差值符号，熟练掌握该方法可为后续不等式的学习打下基础。
【难度系数】
0.8
比较两个代数式的大小通常采用作差法，即计算$P-Q$的值，通过差值的正负判断$P$和$Q$的大小：若$P-Q＞0$则$P＞Q$，若$P-Q=0$则$P=Q$，若$P-Q＜0$则$P＜Q$。本题中$P$是整式、$Q$是分式，作差后先通分化简差值，再结合$x＞0$的条件和平方的非负性判断差值的符号，即可得出结论。
【解析】
解：$P \ge Q$，理由如下：
$\begin{aligned}P - Q&=(x+1)-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2}{x+1}-\frac{4x}{x+1}\\&=\frac{(x+1)^2 - 4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 + 2x +1 -4x}{x+1}\\&=\frac{x^2 -2x +1}{x+1}\\&=\frac{(x-1)^2}{x+1}\end{aligned}$
∵ $x＞0$，
∴ $x+1＞0$，
又
∵ $(x-1)^2 \ge 0$，
∴ $\frac{(x-1)^2}{x+1} \ge 0$，即 $P-Q \ge 0$，
∴ $P \ge Q$，当且仅当$x=1$时等号成立。
【答案】
当$x＞0$时，$P\ge Q$，当$x=1$时等号成立。
【知识点】
作差法比较大小；分式的加减运算；平方的非负性
【点评】
本题是比较代数式大小的基础题型，核心考查作差法的应用，同时结合了分式通分化简、非负数性质等知识，解题关键是保证通分化简的正确性，再结合已知条件判断差值符号，熟练掌握该方法可为后续不等式的学习打下基础。
【难度系数】
0.8
16. (★★★)【阅读理解】“作差法”是解决某些数学问题常用的方法之一:比较代数式$M,N$的大小,作差$M-N$,若$M-N＞0$,则$M＞N$;若$M-N=0$,则$M=N$;若$M-N＜0$,则$M＜N$.
(1)【方法应用】若$n＞0$,试比较$\frac{n+1}{n}$与$\frac{n+2}{n+1}$的大小.
(2)【解决问题】嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品,嘉嘉两次都买了$m\ \mathrm{kg}$该商品,琪琪两次购买该商品均花费$n$元.已知两人第一次购买该商品的价格均为$a$元/kg,第二次购买该商品的价格均为$b$元/kg($a,b$均是整数,且$a≠b$).请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买该商品的平均价格的高低.
17. (★★★)阅读下面材料:
若$\frac{1-3x}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$,试求$A,B$的值.
解:等式右边通分,得
$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{(A+B)x+(-A+B)}{x^2-1}.$
根据题意,得$\begin{cases}A+B=-3,\\-A+B=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}A=-2,\\B=-1.\end{cases}$
仿照以上解法,解答下列各题:
(1)已知$\frac{x+6}{(x+1)(2x-3)}=\frac{M}{x+1}-\frac{N}{2x-3}$(其中$M,N$为常数),求$M,N$的值;
(2)若$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{a}{2n-1}-\frac{b}{2n+1}$
对任意自然数$n$都成立,则$a=$, $b=$.
(1)【方法应用】若$n＞0$,试比较$\frac{n+1}{n}$与$\frac{n+2}{n+1}$的大小.
(2)【解决问题】嘉嘉和琪琪两次购物均买了同一种商品,嘉嘉两次都买了$m\ \mathrm{kg}$该商品,琪琪两次购买该商品均花费$n$元.已知两人第一次购买该商品的价格均为$a$元/kg,第二次购买该商品的价格均为$b$元/kg($a,b$均是整数,且$a≠b$).请用作差法比较嘉嘉和琪琪两次所购买该商品的平均价格的高低.
17. (★★★)阅读下面材料:
若$\frac{1-3x}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}$,试求$A,B$的值.
解:等式右边通分,得
$\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$=\frac{(A+B)x+(-A+B)}{x^2-1}.$
根据题意,得$\begin{cases}A+B=-3,\\-A+B=1.\end{cases}$解得$\begin{cases}A=-2,\\B=-1.\end{cases}$
仿照以上解法,解答下列各题:
(1)已知$\frac{x+6}{(x+1)(2x-3)}=\frac{M}{x+1}-\frac{N}{2x-3}$(其中$M,N$为常数),求$M,N$的值;
(2)若$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{a}{2n-1}-\frac{b}{2n+1}$
对任意自然数$n$都成立,则$a=$, $b=$.答案
16题解答
解：
(1) 作差：
$\begin{aligned}\frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1} &= \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)} \\&= \frac{n^2 + 2n +1 -n^2 -2n}{n(n+1)} \\&= \frac{1}{n(n+1)}\end{aligned}$
因为$n＞0$，所以$n(n+1)＞0$，即$\frac{1}{n(n+1)}＞0$，
因此$\frac{n+1}{n} ＞ \frac{n+2}{n+1}$。
(2) 嘉嘉两次购买的总花费为$am + bm$元，总质量为$2m\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_嘉 = \frac{am + bm}{2m} = \frac{a+b}{2}\ \mathrm{元/kg}$
琪琪两次购买的总花费为$2n$元，总质量为$\frac{n}{a} + \frac{n}{b}\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_琪 = \frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}} = \frac{2ab}{a+b}\ \mathrm{元/kg}$
作差：
$\begin{aligned}\overline{x}_嘉 - \overline{x}_琪 &= \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} \\&= \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} \\&= \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
因为$a＞0,b＞0,a≠ b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，即$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，
因此$\overline{x}_嘉 ＞ \overline{x}_琪$，嘉嘉两次购买商品的平均价格更高。
---
17题解答
解：
(1) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{M}{x+1} - \frac{N}{2x-3} &= \frac{M(2x-3) - N(x+1)}{(x+1)(2x-3)} \\&= \frac{(2M - N)x + (-3M - N)}{(x+1)(2x-3)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2M - N = 1 \\ -3M - N = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} M=-1 \\ N=-3 \end{cases}$。
(2) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{a}{2n-1} - \frac{b}{2n+1} &= \frac{a(2n+1) - b(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \\&= \frac{2(a-b)n + (a+b)}{(2n-1)(2n+1)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2(a-b)=0 \\ a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$。
故答案为：(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
解：
(1) 作差：
$\begin{aligned}\frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1} &= \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)} \\&= \frac{n^2 + 2n +1 -n^2 -2n}{n(n+1)} \\&= \frac{1}{n(n+1)}\end{aligned}$
因为$n＞0$，所以$n(n+1)＞0$，即$\frac{1}{n(n+1)}＞0$，
因此$\frac{n+1}{n} ＞ \frac{n+2}{n+1}$。
(2) 嘉嘉两次购买的总花费为$am + bm$元，总质量为$2m\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_嘉 = \frac{am + bm}{2m} = \frac{a+b}{2}\ \mathrm{元/kg}$
琪琪两次购买的总花费为$2n$元，总质量为$\frac{n}{a} + \frac{n}{b}\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_琪 = \frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}} = \frac{2ab}{a+b}\ \mathrm{元/kg}$
作差：
$\begin{aligned}\overline{x}_嘉 - \overline{x}_琪 &= \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} \\&= \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} \\&= \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
因为$a＞0,b＞0,a≠ b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，即$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，
因此$\overline{x}_嘉 ＞ \overline{x}_琪$，嘉嘉两次购买商品的平均价格更高。
---
17题解答
解：
(1) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{M}{x+1} - \frac{N}{2x-3} &= \frac{M(2x-3) - N(x+1)}{(x+1)(2x-3)} \\&= \frac{(2M - N)x + (-3M - N)}{(x+1)(2x-3)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2M - N = 1 \\ -3M - N = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} M=-1 \\ N=-3 \end{cases}$。
(2) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{a}{2n-1} - \frac{b}{2n+1} &= \frac{a(2n+1) - b(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \\&= \frac{2(a-b)n + (a+b)}{(2n-1)(2n+1)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2(a-b)=0 \\ a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$。
故答案为：(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$。
解析
16题解答
【分析】
（1）题目明确提示用“作差法”比较两个分式的大小，解题时先对两个分式作差，通过通分化简差的结果，再结合已知$n＞0$的条件判断差的正负，即可得到两个分式的大小关系。
（2）首先根据“平均价格=总花费÷总质量”分别求出嘉嘉和琪琪两次购物的平均价格，再对两个平均价格作差，通分化简后结合$a、b$均为正数且不相等的条件判断差的正负，就能比较出两人平均价格的高低。
【解析】
(1) 作差：
$\begin{aligned}\frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1} &= \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)} \\&= \frac{n^2 + 2n +1 -n^2 -2n}{n(n+1)} \\&= \frac{1}{n(n+1)}\end{aligned}$
因为$n＞0$，所以$n(n+1)＞0$，即$\frac{1}{n(n+1)}＞0$，
因此$\frac{n+1}{n} ＞ \frac{n+2}{n+1}$。
(2) 嘉嘉两次购买的总花费为$am + bm$元，总质量为$2m\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_嘉 = \frac{am + bm}{2m} = \frac{a+b}{2}\ \mathrm{元/kg}$
琪琪两次购买的总花费为$2n$元，总质量为$\frac{n}{a} + \frac{n}{b}\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_琪 = \frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}} = \frac{2ab}{a+b}\ \mathrm{元/kg}$
作差：
$\begin{aligned}\overline{x}_嘉 - \overline{x}_琪 &= \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} \\&= \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} \\&= \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
因为$a＞0,b＞0,a≠ b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，即$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，
因此$\overline{x}_嘉 ＞ \overline{x}_琪$，嘉嘉两次购买商品的平均价格更高。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{n+1}{n} ＞ \frac{n+2}{n+1}}$；
(2) 嘉嘉两次购买该商品的平均价格更高。
【知识点】
作差法比较大小，分式加减运算，分式的实际应用
【点评】
本题重点考查作差法在大小比较问题中的应用，解题核心是熟练掌握分式通分、化简的方法，能结合已知条件判断分式的正负性，是比较大小类问题的典型题型，作差法是这类题的常用解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
---
17题解答
【分析】
本题是材料阅读类题型，解题方法可参考给出的例题：首先将等式右侧的分式通分合并为一个分式，由于等式左右两侧的分式分母相同，且等式恒成立，因此分子的对应项系数相等，据此列出关于未知系数的方程组，求解方程组即可得到未知系数的值。
（1）对右侧通分后，根据分子的一次项系数和常数项分别等于左侧分子的对应系数，列方程组求解$M、N$；
（2）对右侧通分后，由于等式对任意自然数$n$成立，因此分子中$n$的系数为0，常数项等于左侧分子的1，列方程组求解$a、b$。
【解析】
(1) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{M}{x+1} - \frac{N}{2x-3} &= \frac{M(2x-3) - N(x+1)}{(x+1)(2x-3)} \\&= \frac{(2M - N)x + (-3M - N)}{(x+1)(2x-3)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2M - N = 1 \\ -3M - N = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} M=-1 \\ N=-3 \end{cases}$。
(2) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{a}{2n-1} - \frac{b}{2n+1} &= \frac{a(2n+1) - b(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \\&= \frac{2(a-b)n + (a+b)}{(2n-1)(2n+1)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2(a-b)=0 \\ a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{M=-1,N=-3}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
分式通分运算，二元一次方程组求解，部分分式拆分
【点评】
本题考查阅读材料类问题的求解，解题关键是读懂材料中的解题逻辑，掌握“恒成立的分式等式分母相同时，分子对应系数相等”的规律，同时要熟练掌握分式通分和二元一次方程组的求解方法，这类题型能很好地考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.65
【分析】
（1）题目明确提示用“作差法”比较两个分式的大小，解题时先对两个分式作差，通过通分化简差的结果，再结合已知$n＞0$的条件判断差的正负，即可得到两个分式的大小关系。
（2）首先根据“平均价格=总花费÷总质量”分别求出嘉嘉和琪琪两次购物的平均价格，再对两个平均价格作差，通分化简后结合$a、b$均为正数且不相等的条件判断差的正负，就能比较出两人平均价格的高低。
【解析】
(1) 作差：
$\begin{aligned}\frac{n+1}{n} - \frac{n+2}{n+1} &= \frac{(n+1)^2 - n(n+2)}{n(n+1)} \\&= \frac{n^2 + 2n +1 -n^2 -2n}{n(n+1)} \\&= \frac{1}{n(n+1)}\end{aligned}$
因为$n＞0$，所以$n(n+1)＞0$，即$\frac{1}{n(n+1)}＞0$，
因此$\frac{n+1}{n} ＞ \frac{n+2}{n+1}$。
(2) 嘉嘉两次购买的总花费为$am + bm$元，总质量为$2m\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_嘉 = \frac{am + bm}{2m} = \frac{a+b}{2}\ \mathrm{元/kg}$
琪琪两次购买的总花费为$2n$元，总质量为$\frac{n}{a} + \frac{n}{b}\ \mathrm{kg}$，平均价格为：
$\overline{x}_琪 = \frac{2n}{\frac{n}{a}+\frac{n}{b}} = \frac{2ab}{a+b}\ \mathrm{元/kg}$
作差：
$\begin{aligned}\overline{x}_嘉 - \overline{x}_琪 &= \frac{a+b}{2} - \frac{2ab}{a+b} \\&= \frac{(a+b)^2 - 4ab}{2(a+b)} \\&= \frac{(a-b)^2}{2(a+b)}\end{aligned}$
因为$a＞0,b＞0,a≠ b$，所以$(a-b)^2＞0$，$2(a+b)＞0$，即$\frac{(a-b)^2}{2(a+b)}＞0$，
因此$\overline{x}_嘉 ＞ \overline{x}_琪$，嘉嘉两次购买商品的平均价格更高。
【答案】
(1) $\boldsymbol{\frac{n+1}{n} ＞ \frac{n+2}{n+1}}$；
(2) 嘉嘉两次购买该商品的平均价格更高。
【知识点】
作差法比较大小，分式加减运算，分式的实际应用
【点评】
本题重点考查作差法在大小比较问题中的应用，解题核心是熟练掌握分式通分、化简的方法，能结合已知条件判断分式的正负性，是比较大小类问题的典型题型，作差法是这类题的常用解题技巧，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
---
17题解答
【分析】
本题是材料阅读类题型，解题方法可参考给出的例题：首先将等式右侧的分式通分合并为一个分式，由于等式左右两侧的分式分母相同，且等式恒成立，因此分子的对应项系数相等，据此列出关于未知系数的方程组，求解方程组即可得到未知系数的值。
（1）对右侧通分后，根据分子的一次项系数和常数项分别等于左侧分子的对应系数，列方程组求解$M、N$；
（2）对右侧通分后，由于等式对任意自然数$n$成立，因此分子中$n$的系数为0，常数项等于左侧分子的1，列方程组求解$a、b$。
【解析】
(1) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{M}{x+1} - \frac{N}{2x-3} &= \frac{M(2x-3) - N(x+1)}{(x+1)(2x-3)} \\&= \frac{(2M - N)x + (-3M - N)}{(x+1)(2x-3)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2M - N = 1 \\ -3M - N = 6 \end{cases}$
解得$\begin{cases} M=-1 \\ N=-3 \end{cases}$。
(2) 等式右边通分，得
$\begin{aligned}\frac{a}{2n-1} - \frac{b}{2n+1} &= \frac{a(2n+1) - b(2n-1)}{(2n-1)(2n+1)} \\&= \frac{2(a-b)n + (a+b)}{(2n-1)(2n+1)}\end{aligned}$
根据题意，对应分子系数相等，得
$\begin{cases}2(a-b)=0 \\ a + b = 1 \end{cases}$
解得$\begin{cases}a=\frac{1}{2} \\ b=\frac{1}{2} \end{cases}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{M=-1,N=-3}$；
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$，$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
分式通分运算，二元一次方程组求解，部分分式拆分
【点评】
本题考查阅读材料类问题的求解，解题关键是读懂材料中的解题逻辑，掌握“恒成立的分式等式分母相同时，分子对应系数相等”的规律，同时要熟练掌握分式通分和二元一次方程组的求解方法，这类题型能很好地考查知识迁移应用的能力。
【难度系数】
0.65
