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4. 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图29.1-8所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（
A.①
B.②
C.③
D.④
A
）。A.①
B.②
C.③
D.④
答案
4. A
解析
【分析】
要配到和原来大小一样的圆形镜子，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据圆的相关性质，不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆，因此需要选择带有足够长连续圆弧的碎片：只要碎片上有连续的圆弧，就能在弧上取三个不共线的点，通过作弦的垂直平分线找到圆心，得到半径，还原原圆。观察四块碎片，只有①号碎片带有较长的连续圆弧，其余碎片圆弧过短，无法提取足够的点确定圆。
【解析】
根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的定理解题：
1. 还原原圆的前提是确定原圆的圆心和半径，需要至少三个位于原圆圆周上的不共线点才能完成确定。
2. 观察四块碎片：①号碎片包含一段较长的连续圆弧，可在弧上任意选取3个不共线的点，分别作过这三个点的两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，即可确定原圆的大小；②、③、④号碎片的圆弧极短，无法选取足够的不共线点确定圆心和半径，不符合要求。
因此小明应该带①号碎片。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质，解题关键是理解“一段足够长的连续圆弧即可确定对应完整圆”的原理，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
要配到和原来大小一样的圆形镜子，本质是要确定原圆的圆心和半径。根据圆的相关性质，不在同一直线上的三个点可以唯一确定一个圆，因此需要选择带有足够长连续圆弧的碎片：只要碎片上有连续的圆弧，就能在弧上取三个不共线的点，通过作弦的垂直平分线找到圆心，得到半径，还原原圆。观察四块碎片，只有①号碎片带有较长的连续圆弧，其余碎片圆弧过短，无法提取足够的点确定圆。
【解析】
根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”的定理解题：
1. 还原原圆的前提是确定原圆的圆心和半径，需要至少三个位于原圆圆周上的不共线点才能完成确定。
2. 观察四块碎片：①号碎片包含一段较长的连续圆弧，可在弧上任意选取3个不共线的点，分别作过这三个点的两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是原圆的圆心，圆心到弧上任意一点的距离就是原圆的半径，即可确定原圆的大小；②、③、④号碎片的圆弧极短，无法选取足够的不共线点确定圆心和半径，不符合要求。
因此小明应该带①号碎片。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；线段垂直平分线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查圆的相关性质，解题关键是理解“一段足够长的连续圆弧即可确定对应完整圆”的原理，体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.8
5. 如图29.1-9，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(2，0)，(3，3)，$\odot M$是$△ OAB$的外接圆，则点M的坐标为
y
B
(1, 2)
。y
B
答案
5. (1, 2)
解析
【分析】
三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。观察已知点O(0,0)、A(2,0)都在x轴上，可先求出OA边的垂直平分线，确定外心M的横坐标，再设出M的坐标，利用外心到顶点距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
解：由题意得O(0,0)，A(2,0)，B(3,3)。
∵⊙M是△OAB的外接圆，
∴点M是△OAB的外心，即三边垂直平分线的交点。
1. 求OA的垂直平分线：
OA的中点坐标为$( \frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2} )=(1,0)$，OA沿x轴方向，其垂直平分线为垂直于x轴的直线$x=1$，因此点M的横坐标为1，设$M(1,m)$。
2. 利用外心性质列方程：
外心到三个顶点距离相等，即$MO=MB$，根据两点间距离公式，距离的平方相等：
$MO^2=(1-0)^2+(m-0)^2=1+m^2$
$MB^2=(1-3)^2+(m-3)^2=4+(m-3)^2=m^2-6m+13$
令$MO^2=MB^2$，得：
$1+m^2=m^2-6m+13$
化简得：$6m=12$，解得$m=2$。
∴点M的坐标为$(1,2)$。
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
三角形外心的性质；垂直平分线的性质；两点间距离公式
【点评】
本题是平面直角坐标系中求三角形外接圆圆心的基础题，解题关键是抓住外心的性质，结合线段的坐标特征先确定其中一条垂直平分线，简化计算过程，是外接圆相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
三角形外接圆的圆心（外心）是三角形三边垂直平分线的交点，且外心到三角形三个顶点的距离相等。观察已知点O(0,0)、A(2,0)都在x轴上，可先求出OA边的垂直平分线，确定外心M的横坐标，再设出M的坐标，利用外心到顶点距离相等列方程求解纵坐标即可。
【解析】
解：由题意得O(0,0)，A(2,0)，B(3,3)。
∵⊙M是△OAB的外接圆，
∴点M是△OAB的外心，即三边垂直平分线的交点。
1. 求OA的垂直平分线：
OA的中点坐标为$( \frac{0+2}{2},\frac{0+0}{2} )=(1,0)$，OA沿x轴方向，其垂直平分线为垂直于x轴的直线$x=1$，因此点M的横坐标为1，设$M(1,m)$。
2. 利用外心性质列方程：
外心到三个顶点距离相等，即$MO=MB$，根据两点间距离公式，距离的平方相等：
$MO^2=(1-0)^2+(m-0)^2=1+m^2$
$MB^2=(1-3)^2+(m-3)^2=4+(m-3)^2=m^2-6m+13$
令$MO^2=MB^2$，得：
$1+m^2=m^2-6m+13$
化简得：$6m=12$，解得$m=2$。
∴点M的坐标为$(1,2)$。
【答案】
$(1,2)$
【知识点】
三角形外心的性质；垂直平分线的性质；两点间距离公式
【点评】
本题是平面直角坐标系中求三角形外接圆圆心的基础题，解题关键是抓住外心的性质，结合线段的坐标特征先确定其中一条垂直平分线，简化计算过程，是外接圆相关知识的典型应用题型。
【难度系数】
0.7
6. 已知AB=6 cm，画半径为4 cm的圆，使它经过A，B两点。这样的圆能画出多少个？如果半径为3 cm，2 cm呢？
图29.1-9
图29.1-9答案
6. 解：当半径为4 cm时，这样的圆能画2个.
当半径为3 cm时，这样的圆能画1个. 当半径为2 cm时，这样的圆能画0个.
当半径为3 cm时，这样的圆能画1个. 当半径为2 cm时，这样的圆能画0个.
解析
【分析】
要画出经过A、B两点的圆，圆心需满足到A、B两点的距离都等于圆的半径，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。首先可求得AB长度的一半为3cm，再结合给定半径和3cm的大小关系，判断垂直平分线上满足到A（或B）距离等于半径的点的个数，即可确定能画出的圆的个数。
【解析】
已知AB=6cm，取AB的中点C，则AC=BC=3cm，过C作AB的垂直平分线l，所有经过A、B两点的圆的圆心都在直线l上：
1. 当半径为4cm时：4cm＞3cm，在直线l上、AB的上下两侧可找到2个点作为圆心，使得圆心到A、B的距离均为4cm，因此可以画出2个符合要求的圆；
2. 当半径为3cm时：3cm恰好等于AB长度的一半，此时满足到A、B距离为3cm的点只有AB的中点C，即只有1个圆心，因此可以画出1个符合要求的圆；
3. 当半径为2cm时：2cm＜3cm，直线l上不存在到A、B距离为2cm的点，因此无法画出符合要求的圆，个数为0。
【答案】
半径为4cm时能画2个；半径为3cm时能画1个；半径为2cm时能画0个。
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查过两点作圆的个数判断，解题核心是明确过两点的圆的圆心必在两点连线的垂直平分线上，结合半径大小即可判断圆心的存在性及对应圆的个数。
【难度系数】
0.7
要画出经过A、B两点的圆，圆心需满足到A、B两点的距离都等于圆的半径，因此圆心一定在线段AB的垂直平分线上。首先可求得AB长度的一半为3cm，再结合给定半径和3cm的大小关系，判断垂直平分线上满足到A（或B）距离等于半径的点的个数，即可确定能画出的圆的个数。
【解析】
已知AB=6cm，取AB的中点C，则AC=BC=3cm，过C作AB的垂直平分线l，所有经过A、B两点的圆的圆心都在直线l上：
1. 当半径为4cm时：4cm＞3cm，在直线l上、AB的上下两侧可找到2个点作为圆心，使得圆心到A、B的距离均为4cm，因此可以画出2个符合要求的圆；
2. 当半径为3cm时：3cm恰好等于AB长度的一半，此时满足到A、B距离为3cm的点只有AB的中点C，即只有1个圆心，因此可以画出1个符合要求的圆；
3. 当半径为2cm时：2cm＜3cm，直线l上不存在到A、B距离为2cm的点，因此无法画出符合要求的圆，个数为0。
【答案】
半径为4cm时能画2个；半径为3cm时能画1个；半径为2cm时能画0个。
【知识点】
圆的定义；线段垂直平分线的性质；点与圆的位置关系
【点评】
本题考查过两点作圆的个数判断，解题核心是明确过两点的圆的圆心必在两点连线的垂直平分线上，结合半径大小即可判断圆心的存在性及对应圆的个数。
【难度系数】
0.7
7. 如图29.1-10，要把残破的圆片复原完整. 已知弧上的三点A，B，C. 用尺规作图法找出$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心.（保留作图痕迹，不写作法）
答案
解：如图所示，点O即为所作的圆心.
解析
【分析】
要确定残缺圆的圆心，需利用圆心的核心性质：圆心到圆上任意点的距离都相等。根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此只需作出两条不平行弦的垂直平分线，两条线的交点就是到A、B、C三点距离均相等的点，也就是所求圆心。思考步骤：首先连接弧上三点构成两条不重合的弦（如AB、AC），再分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心。
【解析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧，解题步骤如下：
1. 连接AB、AC两条弦；
2. 用尺规分别作AB的垂直平分线、AC的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点O就是$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心，保留作图痕迹即可。
【答案】
解：如图所示，点O即为所作的圆心.
【知识点】
1. 垂径定理推论
2. 垂直平分线性质
3. 尺规作图
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，解题的关键是理解“弦的垂直平分线必过圆心”这一性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法即可快速作答。
【难度系数】
0.7
要确定残缺圆的圆心，需利用圆心的核心性质：圆心到圆上任意点的距离都相等。根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，因此只需作出两条不平行弦的垂直平分线，两条线的交点就是到A、B、C三点距离均相等的点，也就是所求圆心。思考步骤：首先连接弧上三点构成两条不重合的弦（如AB、AC），再分别作这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为圆心。
【解析】
根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧，解题步骤如下：
1. 连接AB、AC两条弦；
2. 用尺规分别作AB的垂直平分线、AC的垂直平分线；
3. 两条垂直平分线的交点O就是$\overset{\frown}{BAC}$所在圆的圆心，保留作图痕迹即可。
【答案】
解：如图所示，点O即为所作的圆心.
【知识点】
1. 垂径定理推论
2. 垂直平分线性质
3. 尺规作图
【点评】
本题属于基础尺规作图类题目，解题的关键是理解“弦的垂直平分线必过圆心”这一性质，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法即可快速作答。
【难度系数】
0.7
8. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃，工人师傅在一块如图29.1-11所示的玻璃残片的边缘描出了点A，B，C，画出△ABC，则这块玻璃的圆心是（
A.AB，AC边上的中线的交点
B.AB，AC边的垂直平分线的交点
C.AB，AC边上的高线所在直线的交点
D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点
B
）.A.AB，AC边上的中线的交点
B.AB，AC边的垂直平分线的交点
C.AB，AC边上的高线所在直线的交点
D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点
答案
8. B
解析
【分析】
要确定圆形玻璃的圆心，本质是找过A、B、C三点的圆的圆心。根据圆的性质，圆心到圆上任意点的距离相等，因此需要找到到A、B、C三点距离都相等的点。结合线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可知到A、B等距的点在AB的垂直平分线上，到A、C等距的点在AC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求圆心。
【解析】
已知A、B、C均在原圆形玻璃的圆周上，因此所求圆心是△ABC的外接圆圆心（外心）：
1. 根据线段垂直平分线的性质，AB边的垂直平分线上的所有点到A、B两点的距离相等，AC边的垂直平分线上的所有点到A、C两点的距离相等；
2. 两条垂直平分线的交点到A、B、C三点的距离都相等，符合圆心到圆上各点距离相等的性质；
3. 对选项逐一判断：
A选项：AB、AC边上中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
B选项：AB、AC边垂直平分线的交点是三角形外心，即为外接圆圆心，符合要求；
C选项：AB、AC边上高线所在直线的交点是三角形的垂心，不符合要求；
D选项：∠BAC与∠ABC的平分线的交点是三角形的内心，是内切圆圆心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何性质的应用，解题关键是明确圆心的特征，同时能准确区分三角形各类特殊点的定义和性质。
【难度系数】
0.7
要确定圆形玻璃的圆心，本质是找过A、B、C三点的圆的圆心。根据圆的性质，圆心到圆上任意点的距离相等，因此需要找到到A、B、C三点距离都相等的点。结合线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，可知到A、B等距的点在AB的垂直平分线上，到A、C等距的点在AC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求圆心。
【解析】
已知A、B、C均在原圆形玻璃的圆周上，因此所求圆心是△ABC的外接圆圆心（外心）：
1. 根据线段垂直平分线的性质，AB边的垂直平分线上的所有点到A、B两点的距离相等，AC边的垂直平分线上的所有点到A、C两点的距离相等；
2. 两条垂直平分线的交点到A、B、C三点的距离都相等，符合圆心到圆上各点距离相等的性质；
3. 对选项逐一判断：
A选项：AB、AC边上中线的交点是三角形的重心，不符合要求；
B选项：AB、AC边垂直平分线的交点是三角形外心，即为外接圆圆心，符合要求；
C选项：AB、AC边上高线所在直线的交点是三角形的垂心，不符合要求；
D选项：∠BAC与∠ABC的平分线的交点是三角形的内心，是内切圆圆心，不符合要求。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形外心的定义
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何性质的应用，解题关键是明确圆心的特征，同时能准确区分三角形各类特殊点的定义和性质。
【难度系数】
0.7
