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1.
不在同一条直线上的三个点
确定一个圆.答案
1. 不在同一条直线上的三个点
解析
【分析】
要确定一个圆，本质是确定唯一的圆心和半径。我们可以逐步分析不同数量的点对圆的确定作用：1个点时，圆心和半径都没有限制，可画无数个圆；2个点时，圆心必须在两点连线的垂直平分线上，半径不唯一，仍可画无数个圆；3个点时，若三点共线，不存在到三点距离都相等的点，无法作圆；若三点不共线，三条线段的垂直平分线交于唯一一点作为圆心，圆心到三点的距离为固定半径，就能唯一确定一个圆，由此可得出结论。
【解析】
圆的定义是到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆需要确定唯一的圆心（定点）和半径（定长）：
1. 过平面内1个点，圆心和半径均无限制，可作出无数个圆，无法确定唯一的圆；
2. 过平面内2个点，圆心必须在这两点连线的垂直平分线上，半径可任意取大于两点距离一半的值，仍可作出无数个圆，无法确定唯一的圆；
3. 若3个点在同一条直线上，不存在到这三个点距离都相等的点，无法作出过三点的圆；
4. 只有当三个点不在同一条直线上时，连接任意两点作线段的垂直平分线，三条垂直平分线交于唯一一点，该点就是圆心，圆心到三个点的距离为固定半径，此时只能作出1个唯一的圆。
因此不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】
不在同一条直线上的三个点
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的确定条件的掌握，解题时要注意不能遗漏“不在同一条直线上”这个关键前提，否则结论不成立。
【难度系数】
0.9
要确定一个圆，本质是确定唯一的圆心和半径。我们可以逐步分析不同数量的点对圆的确定作用：1个点时，圆心和半径都没有限制，可画无数个圆；2个点时，圆心必须在两点连线的垂直平分线上，半径不唯一，仍可画无数个圆；3个点时，若三点共线，不存在到三点距离都相等的点，无法作圆；若三点不共线，三条线段的垂直平分线交于唯一一点作为圆心，圆心到三点的距离为固定半径，就能唯一确定一个圆，由此可得出结论。
【解析】
圆的定义是到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆需要确定唯一的圆心（定点）和半径（定长）：
1. 过平面内1个点，圆心和半径均无限制，可作出无数个圆，无法确定唯一的圆；
2. 过平面内2个点，圆心必须在这两点连线的垂直平分线上，半径可任意取大于两点距离一半的值，仍可作出无数个圆，无法确定唯一的圆；
3. 若3个点在同一条直线上，不存在到这三个点距离都相等的点，无法作出过三点的圆；
4. 只有当三个点不在同一条直线上时，连接任意两点作线段的垂直平分线，三条垂直平分线交于唯一一点，该点就是圆心，圆心到三个点的距离为固定半径，此时只能作出1个唯一的圆。
因此不在同一条直线上的三个点确定一个圆。
【答案】
不在同一条直线上的三个点
【知识点】
1. 确定圆的条件
2. 线段垂直平分线的性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对圆的确定条件的掌握，解题时要注意不能遗漏“不在同一条直线上”这个关键前提，否则结论不成立。
【难度系数】
0.9
2. 经过三角形的
三个顶点
可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线
的交点，叫作这个三角形的外心
，这个三角形叫作圆的内接三角形
。答案
2. 三个顶点 三角形三条边的垂直平分线 外心 内接三角形
解析
【分析】
本题考查三角形外接圆相关的基础概念，解题时可从圆的确定条件和垂直平分线的性质入手思考：①要作经过三角形的圆，结合“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的结论，可知需要经过三角形的三个顶点；②外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可推导出圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个交点就是三角形的外心；③根据外接圆和三角形的对应关系，该三角形就是圆的内接三角形。
【解析】
根据相关概念逐一填空：
1. 不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆就是三角形的外接圆；
2. 外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，满足该条件的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，这个交点叫做三角形的外心；
3. 从圆和三角形的对应关系来看，这个三角形就叫做该圆的内接三角形。
【答案】
三个顶点；三角形三条边的垂直平分线；外心；内接三角形
【知识点】
1. 三角形外接圆概念
2. 三角形外心定义
3. 垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查三角形与圆的位置关系中的基础定义，难度较低，熟练掌握相关概念即可快速解题，相关概念是后续学习圆与三角形结合的几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查三角形外接圆相关的基础概念，解题时可从圆的确定条件和垂直平分线的性质入手思考：①要作经过三角形的圆，结合“不在同一直线上的三个点确定一个圆”的结论，可知需要经过三角形的三个顶点；②外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可推导出圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，这个交点就是三角形的外心；③根据外接圆和三角形的对应关系，该三角形就是圆的内接三角形。
【解析】
根据相关概念逐一填空：
1. 不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，三角形的三个顶点不在同一直线上，因此经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆就是三角形的外接圆；
2. 外接圆的圆心到三角形三个顶点的距离相等，满足该条件的点是三角形三条边的垂直平分线的交点，这个交点叫做三角形的外心；
3. 从圆和三角形的对应关系来看，这个三角形就叫做该圆的内接三角形。
【答案】
三个顶点；三角形三条边的垂直平分线；外心；内接三角形
【知识点】
1. 三角形外接圆概念
2. 三角形外心定义
3. 垂直平分线性质
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查三角形与圆的位置关系中的基础定义，难度较低，熟练掌握相关概念即可快速解题，相关概念是后续学习圆与三角形结合的几何问题的基础。
【难度系数】
0.9
1. 下列说法中，正确的个数是（
①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；
③三角形的外心到三边的距离相等；④一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1
B.2
C.3
D.4
A
）.①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；
③三角形的外心到三边的距离相等；④一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
1. A
解析
【分析】
本题考查圆和三角形相关的基础概念辨析，解题时需逐个分析4个说法，结合对应知识点判断正误，最终统计正确说法的数量即可得到答案。判断时要注意概念的前提条件和性质的区别：首先回忆确定圆的条件，再区分三角形外心和内心的性质，最后明确圆的内接三角形的定义。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
1. 对于①：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，因此①错误；
2. 对于②：三角形的三个顶点不在同一条直线上，满足确定圆的条件，因此任意三角形有且只有一个外接圆，因此②正确；
3. 对于③：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此③错误；
4. 对于④：只要三角形的三个顶点都在圆上，该三角形就是这个圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，因此④错误。
综上，只有1个说法是正确的。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；圆的内接三角形
【点评】
本题为基础概念考查题，易错点在于忽略确定圆的前提条件、混淆外心和内心的性质，学习相关概念时要注意区分易混点，牢记概念的限制条件。
【难度系数】
0.7
本题考查圆和三角形相关的基础概念辨析，解题时需逐个分析4个说法，结合对应知识点判断正误，最终统计正确说法的数量即可得到答案。判断时要注意概念的前提条件和性质的区别：首先回忆确定圆的条件，再区分三角形外心和内心的性质，最后明确圆的内接三角形的定义。
【解析】
我们对4个说法逐一判断：
1. 对于①：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，若三点共线则无法确定圆，因此①错误；
2. 对于②：三角形的三个顶点不在同一条直线上，满足确定圆的条件，因此任意三角形有且只有一个外接圆，因此②正确；
3. 对于③：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，性质是到三角形三个顶点的距离相等；到三角形三边距离相等的是三角形的内心（角平分线的交点），因此③错误；
4. 对于④：只要三角形的三个顶点都在圆上，该三角形就是这个圆的内接三角形，因此一个圆有无数个内接三角形，因此④错误。
综上，只有1个说法是正确的。
【答案】
A
【知识点】
确定圆的条件；三角形的外接圆与外心；圆的内接三角形
【点评】
本题为基础概念考查题，易错点在于忽略确定圆的前提条件、混淆外心和内心的性质，学习相关概念时要注意区分易混点，牢记概念的限制条件。
【难度系数】
0.7
2. 三角形的外心在（
A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一边上
D.以上三种情形均有可能
D
）.A.三角形的内部
B.三角形的外部
C.三角形的一边上
D.以上三种情形均有可能
答案
2. D
解析
【分析】
拿到这道题首先要明确考查的是三角形外心的相关知识，首先回忆外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。接下来不能默认只考虑某一类三角形，需要分类讨论锐角、直角、钝角三类不同三角形的外心位置，就能得出最终结论。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心，我们分三类三角形讨论其位置：
1. 若三角形为锐角三角形，外心位于三角形的内部；
2. 若三角形为直角三角形，外心是斜边的中点，位于三角形的斜边上；
3. 若三角形为钝角三角形，外心位于三角形的外部。
因此三角形的外心以上三种位置情形都有可能。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的概念；三角形的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是掌握不同类型三角形外心的位置特点，避免因思维定式只考虑某一种三角形而选错。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先要明确考查的是三角形外心的相关知识，首先回忆外心的定义：三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，也就是三角形外接圆的圆心。接下来不能默认只考虑某一类三角形，需要分类讨论锐角、直角、钝角三类不同三角形的外心位置，就能得出最终结论。
【解析】
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心，我们分三类三角形讨论其位置：
1. 若三角形为锐角三角形，外心位于三角形的内部；
2. 若三角形为直角三角形，外心是斜边的中点，位于三角形的斜边上；
3. 若三角形为钝角三角形，外心位于三角形的外部。
因此三角形的外心以上三种位置情形都有可能。
【答案】
D
【知识点】
三角形外心的概念；三角形的分类
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是掌握不同类型三角形外心的位置特点，避免因思维定式只考虑某一种三角形而选错。
【难度系数】
0.8
3. 如图29.1-7，已知点O是$△ ABC$的外心，$∠ A=40°$，连接BO，CO，则$∠ BOC$的度数是（
A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
C
）.A.$60°$
B.$70°$
C.$80°$
D.$90°$
答案
3. C
解析
【分析】
首先明确外心的定义：三角形的外心是其外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在这个外接圆上。观察角的关系可知，∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入已知角度即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的外心，
∴点A、B、C在以O为圆心的同一个圆上，
∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠A，
又
∵∠A=40°，
∴∠BOC=2×40°=80°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题是基础类考题，重点考查对三角形外心性质和圆周角定理的理解与应用，只要熟练掌握相关定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确外心的定义：三角形的外心是其外接圆的圆心，三角形的三个顶点都在这个外接圆上。观察角的关系可知，∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，代入已知角度即可求出∠BOC的度数。
【解析】
∵点O是△ABC的外心，
∴点A、B、C在以O为圆心的同一个圆上，
∠A是弧BC所对的圆周角，∠BOC是弧BC所对的圆心角，
根据圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，
∴∠BOC=2∠A，
又
∵∠A=40°，
∴∠BOC=2×40°=80°。
【答案】
C
【知识点】
三角形外心的定义；圆周角定理
【点评】
本题是基础类考题，重点考查对三角形外心性质和圆周角定理的理解与应用，只要熟练掌握相关定理，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
