登录
一般地，形如
y=ax²+bx+c
（a，b，c是常数，a≠0
）的函数，叫作二次函数
。其中x是自变量
，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数
、一次项系数
和常数项
。答案
y=ax²+bx+c，≠0，二次函数，自变量，二次项系数，一次项系数，常数项
解析
【分析】
本题属于概念识记类题型，考查二次函数的基础定义。解题时需回忆二次函数的核心特征：最高次数为2，因此二次项系数不能为0，再对应明确函数各组成部分的名称，按顺序填空即可。
【解析】
根据二次函数的标准定义：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中a、b、c为常数；
2. 若$a=0$，则$x^2$项消失，函数变为一次函数或常数函数，因此要求$a≠0$，满足该条件的函数叫做二次函数；
3. 函数中x是主动变化的量，即自变量；a对应$x^2$项的系数，叫二次项系数；b对应x项的系数，叫一次项系数；c是不含未知数的项，叫常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$，$≠0$，二次函数，自变量，二次项系数，一次项系数，常数项
【知识点】
二次函数的定义，函数自变量，项与系数概念
【点评】
本题是二次函数模块的基础入门题，重点考察对核心概念的记忆掌握，其中二次项系数不为0是二次函数定义的关键限制条件，也是后续相关题型的高频易错点，需要牢记。
【难度系数】
0.9
本题属于概念识记类题型，考查二次函数的基础定义。解题时需回忆二次函数的核心特征：最高次数为2，因此二次项系数不能为0，再对应明确函数各组成部分的名称，按顺序填空即可。
【解析】
根据二次函数的标准定义：
1. 二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$，其中a、b、c为常数；
2. 若$a=0$，则$x^2$项消失，函数变为一次函数或常数函数，因此要求$a≠0$，满足该条件的函数叫做二次函数；
3. 函数中x是主动变化的量，即自变量；a对应$x^2$项的系数，叫二次项系数；b对应x项的系数，叫一次项系数；c是不含未知数的项，叫常数项。
【答案】
$y=ax^2+bx+c$，$≠0$，二次函数，自变量，二次项系数，一次项系数，常数项
【知识点】
二次函数的定义，函数自变量，项与系数概念
【点评】
本题是二次函数模块的基础入门题，重点考察对核心概念的记忆掌握，其中二次项系数不为0是二次函数定义的关键限制条件，也是后续相关题型的高频易错点，需要牢记。
【难度系数】
0.9
1. 下列函数是二次函数的是（
A.$y=2x+2$
B.$y=-\dfrac{2}{x}$
C.$y=2x^2-\dfrac{2}{x}$
D.$y=x^2-3x+2$
D
）.A.$y=2x+2$
B.$y=-\dfrac{2}{x}$
C.$y=2x^2-\dfrac{2}{x}$
D.$y=x^2-3x+2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断一个函数是否为二次函数，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式（分母、根号内不含自变量）；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的整式函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x+2$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项B：$y=-\dfrac{2}{x}$的分母含自变量$x$，属于反比例函数，不是整式函数，不符合要求；
选项C：$y=2x^2-\dfrac{2}{x}$的分母含自变量$x$，不是整式函数，不符合要求；
选项D：$y=x^2-3x+2$满足二次函数的所有判定条件，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数定义的理解和应用，解题时要注意不要忽略“整式函数”这个前提，熟练掌握各类常见函数的定义即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
要判断一个函数是否为二次函数，首先需要明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式（分母、根号内不含自变量）；②自变量的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时我们只需用这三个标准逐一排查每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$）的整式函数叫做二次函数。
对各选项逐一分析：
选项A：$y=2x+2$中自变量$x$的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义；
选项B：$y=-\dfrac{2}{x}$的分母含自变量$x$，属于反比例函数，不是整式函数，不符合要求；
选项C：$y=2x^2-\dfrac{2}{x}$的分母含自变量$x$，不是整式函数，不符合要求；
选项D：$y=x^2-3x+2$满足二次函数的所有判定条件，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的定义；函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对二次函数定义的理解和应用，解题时要注意不要忽略“整式函数”这个前提，熟练掌握各类常见函数的定义即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 已知一个正方体的棱长是3 cm，若棱长增加x cm，正方体的表面积增加y cm²，则y与x之间的函数解析式是（
A.$y=6x^2 - 36x$
B.$y=-6x^2 + 36x$
C.$y=x^2 + 36x$
D.$y=6x^2 + 36x$
D
）.A.$y=6x^2 - 36x$
B.$y=-6x^2 + 36x$
C.$y=x^2 + 36x$
D.$y=6x^2 + 36x$
答案
2. D
解析
【分析】
要推导y与x的函数解析式，首先需明确正方体表面积的计算公式：正方体表面积=6×棱长²。解题思路如下：第一步先计算原正方体的表面积；第二步计算棱长增加x cm后的新正方体表面积；第三步用新表面积减去原表面积，即可得到增加的表面积y，化简后对应选项即可。
【解析】
首先计算原正方体的表面积：
原棱长为3 cm，原表面积$S_原=6×3^2=6×9=54\ \mathrm{cm}^2$。
棱长增加x cm后，新棱长为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，新表面积为：
$S_新=6×(3+x)^2$
根据完全平方公式展开得：
$S_新=6×(9+6x+x^2)=54+36x+6x^2$
表面积增加量$y=S_新 - S_原$，代入得：
$y=(54+36x+6x^2)-54=6x^2+36x$
因此函数解析式为$y=6x^2+36x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正方体表面积计算，列二次函数解析式，整式运算
【点评】
本题是几何量变化与函数结合的基础题，解题关键是明确“增加的表面积=新表面积-原表面积”，避免直接将新棱长对应的表面积当成增加量，计算时注意完全平方公式的正确展开，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
要推导y与x的函数解析式，首先需明确正方体表面积的计算公式：正方体表面积=6×棱长²。解题思路如下：第一步先计算原正方体的表面积；第二步计算棱长增加x cm后的新正方体表面积；第三步用新表面积减去原表面积，即可得到增加的表面积y，化简后对应选项即可。
【解析】
首先计算原正方体的表面积：
原棱长为3 cm，原表面积$S_原=6×3^2=6×9=54\ \mathrm{cm}^2$。
棱长增加x cm后，新棱长为$(3+x)\ \mathrm{cm}$，新表面积为：
$S_新=6×(3+x)^2$
根据完全平方公式展开得：
$S_新=6×(9+6x+x^2)=54+36x+6x^2$
表面积增加量$y=S_新 - S_原$，代入得：
$y=(54+36x+6x^2)-54=6x^2+36x$
因此函数解析式为$y=6x^2+36x$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
正方体表面积计算，列二次函数解析式，整式运算
【点评】
本题是几何量变化与函数结合的基础题，解题关键是明确“增加的表面积=新表面积-原表面积”，避免直接将新棱长对应的表面积当成增加量，计算时注意完全平方公式的正确展开，细心运算即可得分。
【难度系数】
0.8
3. 在二次函数$y=3x^2 - 2x +5$中，二次项系数是
3
，一次项系数是-2
，常数项是5
。答案
3. 3 -2 5
解析
【分析】
解决本题首先要回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义；再将题目给出的二次函数与一般形式一一对应，注意对应各项时要连同它前面的符号一起判断，避免漏掉一次项前的负号，即可得到正确结果。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将题干中的二次函数$y=3x^2-2x+5$与一般形式对比：
二次项为$3x^2$，对应系数为3；
一次项为$-2x$，对应系数为$-2$；
常数项为5。
【答案】
3；-2；5
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对二次函数基本结构的掌握程度，易错点是判断一次项系数时容易忽略前面的负号，解题时要注意各项系数需包含自身的符号。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数、一次项系数、常数项的定义；再将题目给出的二次函数与一般形式一一对应，注意对应各项时要连同它前面的符号一起判断，避免漏掉一次项前的负号，即可得到正确结果。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数），其中$a$为二次项系数，$b$为一次项系数，$c$为常数项。
将题干中的二次函数$y=3x^2-2x+5$与一般形式对比：
二次项为$3x^2$，对应系数为3；
一次项为$-2x$，对应系数为$-2$；
常数项为5。
【答案】
3；-2；5
【知识点】
二次函数的定义；二次函数的系数识别
【点评】
本题是基础概念考查题，重点检验对二次函数基本结构的掌握程度，易错点是判断一次项系数时容易忽略前面的负号，解题时要注意各项系数需包含自身的符号。
【难度系数】
0.9
4. 原价为160元的电器连续两次降价后的价格为y元，若平均每次降价的百分率是x，则y与x的函数解析式为
$y=160x^2-320x+160$
。答案
4. $y=160x^2-320x+160$
解析
【分析】
这是平均降价率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确每次降价的基数，第一次降价的基数是原价160元，降价后价格为原价乘(1-降价百分率)；第二次降价的基数是第一次降价后的价格，再次乘(1-降价百分率)即可得到最终价格，最后将式子整理为一般形式即可得到函数解析式。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的价格
原价为160元，平均每次降价百分率为x，因此第一次降价后的价格为：$160(1-x)$元。
第二步：计算两次降价后的价格y
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后的价格为：
$y=160(1-x) × (1-x) = 160(1-x)^2$
第三步：展开整理为一般形式
$\begin{aligned}y&=160(1-2x+x^2)\\&=160x^2 - 320x + 160\end{aligned}$
【答案】
$y=160x^2-320x+160$
【知识点】
平均变化率问题；列二次函数解析式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是明确连续两次降价的基数不同，避免直接用原价乘以两次降价比例的错误，熟练掌握变化率公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是平均降价率的实际应用问题，解题思路如下：首先明确每次降价的基数，第一次降价的基数是原价160元，降价后价格为原价乘(1-降价百分率)；第二次降价的基数是第一次降价后的价格，再次乘(1-降价百分率)即可得到最终价格，最后将式子整理为一般形式即可得到函数解析式。
【解析】
第一步：计算第一次降价后的价格
原价为160元，平均每次降价百分率为x，因此第一次降价后的价格为：$160(1-x)$元。
第二步：计算两次降价后的价格y
第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行的，因此两次降价后的价格为：
$y=160(1-x) × (1-x) = 160(1-x)^2$
第三步：展开整理为一般形式
$\begin{aligned}y&=160(1-2x+x^2)\\&=160x^2 - 320x + 160\end{aligned}$
【答案】
$y=160x^2-320x+160$
【知识点】
平均变化率问题；列二次函数解析式
【点评】
本题属于基础应用类题目，解题的核心是明确连续两次降价的基数不同，避免直接用原价乘以两次降价比例的错误，熟练掌握变化率公式即可快速解答。
【难度系数】
0.8
5. 若函数$y=(m-2)x^{m^2 - m} + x - 1$是关于x的二次函数，则常数m的值是
-1
.答案
5. -1
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫二次函数，核心满足两个条件：①自变量的最高次数为2；②二次项的系数不等于0。本题中含参数的项是$(m-2)x^{m^2 - m}$，要让这个项成为二次项，就需要它的指数等于2，同时系数不为0，据此列方程和不等式求解即可。
【解析】
根据二次函数的定义，可列条件：
1. 自变量最高次数为2：$m^2 - m = 2$
2. 二次项系数不为0：$m - 2 ≠ 0$
先解方程$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
再结合不等式$m-2≠0$，得$m≠2$，因此舍去$m=2$，最终$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件，导致错误得到$m=2$的结果，求解含参数的函数类型题时要特别注意这类隐藏的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先回忆二次函数的定义：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数叫二次函数，核心满足两个条件：①自变量的最高次数为2；②二次项的系数不等于0。本题中含参数的项是$(m-2)x^{m^2 - m}$，要让这个项成为二次项，就需要它的指数等于2，同时系数不为0，据此列方程和不等式求解即可。
【解析】
根据二次函数的定义，可列条件：
1. 自变量最高次数为2：$m^2 - m = 2$
2. 二次项系数不为0：$m - 2 ≠ 0$
先解方程$m^2 - m = 2$，整理得$m^2 - m - 2 = 0$，因式分解得$(m-2)(m+1)=0$，解得$m=2$或$m=-1$。
再结合不等式$m-2≠0$，得$m≠2$，因此舍去$m=2$，最终$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
1. 二次函数的定义
2. 一元二次方程的解法
【点评】
本题是二次函数定义的基础应用题型，解题时容易遗漏二次项系数不为0的隐含条件，导致错误得到$m=2$的结果，求解含参数的函数类型题时要特别注意这类隐藏的限制条件。
【难度系数】
0.7
6. 某工厂今年八月份某产品的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果设月平均增长率为x，那么十月份该产品的产量y（单位：万件）与x之间的函数解析式为
$y=60x^2+120x+60$
。答案
6. $y=60x^2+120x+60$
解析
【分析】
这是一道平均增长率相关的函数解析式列写题，解题时要明确各月产量的递进关系：初始产量是八月份的60万件，月平均增长率为x，先推导九月份的产量，再以九月份的产量为基础推导十月份的产量，最后整理成标准的函数形式即可。第一步先求九月份产量：九月份产量是在八月份产量基础上增长x，即八月份产量×(1+x)；第二步求十月份产量：十月份产量是在九月份产量基础上再增长x，即九月份产量×(1+x)，代入后展开化简就能得到结果。
【解析】
解：已知八月份产量为60万件，月平均增长率为x。
1. 计算九月份产量：
九月份产量 = 八月份产量 × (1 + 月增长率) = $60(1+x)$ 万件
2. 计算十月份产量y：
十月份产量 = 九月份产量 × (1 + 月增长率)
即 $y = 60(1+x)(1+x) = 60(1+x)^2$
3. 展开化简：
$y = 60(1 + 2x + x^2) = 60x^2 + 120x + 60$
【答案】
$y=60x^2+120x+60$
【知识点】
平均增长率问题、二次函数实际应用
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，核心是掌握连续增长问题的数量关系，注意第二次增长是在第一次增长后的产量基础上计算，而非直接在初始量基础上乘以2倍增长率，熟练掌握公式后可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率相关的函数解析式列写题，解题时要明确各月产量的递进关系：初始产量是八月份的60万件，月平均增长率为x，先推导九月份的产量，再以九月份的产量为基础推导十月份的产量，最后整理成标准的函数形式即可。第一步先求九月份产量：九月份产量是在八月份产量基础上增长x，即八月份产量×(1+x)；第二步求十月份产量：十月份产量是在九月份产量基础上再增长x，即九月份产量×(1+x)，代入后展开化简就能得到结果。
【解析】
解：已知八月份产量为60万件，月平均增长率为x。
1. 计算九月份产量：
九月份产量 = 八月份产量 × (1 + 月增长率) = $60(1+x)$ 万件
2. 计算十月份产量y：
十月份产量 = 九月份产量 × (1 + 月增长率)
即 $y = 60(1+x)(1+x) = 60(1+x)^2$
3. 展开化简：
$y = 60(1 + 2x + x^2) = 60x^2 + 120x + 60$
【答案】
$y=60x^2+120x+60$
【知识点】
平均增长率问题、二次函数实际应用
【点评】
本题属于增长率类基础应用题，核心是掌握连续增长问题的数量关系，注意第二次增长是在第一次增长后的产量基础上计算，而非直接在初始量基础上乘以2倍增长率，熟练掌握公式后可快速求解。
【难度系数】
0.8
