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13. 已知关于$x$的方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$.
（1）若该方程的一个根为2，求$a$的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（3）若方程的两根互为倒数，求$a$的值.
（1）若该方程的一个根为2，求$a$的值及该方程的另一个根；
（2）求证：不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（3）若方程的两根互为倒数，求$a$的值.
答案
13. (1) 解：设该方程的另一个根为$b$.
由根与系数的关系，得$2+b=-a$，$2b=a-2$.
两式相加，解得$b=-\frac{4}{3}$.
把$b=-\frac{4}{3}$代入$2+b=-a$中，得$a=-\frac{2}{3}$.
$\therefore a$的值为$-\frac{2}{3}$，该方程的另一个根为$-\frac{4}{3}$.
(2) 证明：$\Delta =a^2-4×1×(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4$.
$\because (a-2)^2≥0$，
$\therefore (a-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$.
故不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
(3) 解：$\because$方程的两根互为倒数，
$\therefore$方程的两根之积为1，即$a-2=1$.
$\therefore a=3$.
由根与系数的关系，得$2+b=-a$，$2b=a-2$.
两式相加，解得$b=-\frac{4}{3}$.
把$b=-\frac{4}{3}$代入$2+b=-a$中，得$a=-\frac{2}{3}$.
$\therefore a$的值为$-\frac{2}{3}$，该方程的另一个根为$-\frac{4}{3}$.
(2) 证明：$\Delta =a^2-4×1×(a-2)=a^2-4a+8=(a-2)^2+4$.
$\because (a-2)^2≥0$，
$\therefore (a-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$.
故不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
(3) 解：$\because$方程的两根互为倒数，
$\therefore$方程的两根之积为1，即$a-2=1$.
$\therefore a=3$.
解析
【分析】
本题围绕一元二次方程的性质设置三个小问，解题思路如下：
（1）已知方程的一个根，求参数和另一根，可利用根与系数的关系：若一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。设另一根为$b$，代入已知根2，即可列出关于$a、b$的关系式，联立求解即可；也可先将x=2代入原方程求出$a$的值，再代入方程求解另一根，两种方法均适用。
（2）要证明方程总有两个不相等的实数根，需依据根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。先写出该方程的判别式表达式，通过配方变形，证明其值恒大于0即可。
（3）互为倒数的两个数乘积为1，因此方程两根之积为1，结合根与系数的关系中两根之积的表达式，直接列方程求解$a$即可。
【解析】
(1) 解：设该方程的另一个根为$b$.
由根与系数的关系，得$2+b=-a$，$2b=a-2$.
两式相加，得$2+3b=-2$，解得$b=-\frac{4}{3}$.
把$b=-\frac{4}{3}$代入$2+b=-a$中，得$2-\frac{4}{3}=-a$，解得$a=-\frac{2}{3}$.
(2) 证明：根的判别式$\Delta =a^2-4×1×(a-2)=a^2-4a+8$，
配方可得$\Delta=(a-2)^2+4$，
$\because (a-2)^2≥0$，
$\therefore (a-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
故不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
(3) 解：$\because$方程的两根互为倒数，
$\therefore$方程的两根之积为1，
由根与系数的关系得两根之积为$a-2$，即$a-2=1$，
解得$a=3$.
【答案】
(1) $a$的值为$-\frac{2}{3}$，方程的另一个根为$-\frac{4}{3}$；
(2) 证明见解析；
(3) $a=3$.
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，倒数的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，考查的都是核心基础知识点，题型典型，解题逻辑清晰，只要熟练掌握相关公式和性质就能顺利求解，适合巩固一元二次方程的基础应用。
【难度系数】
0.8
本题围绕一元二次方程的性质设置三个小问，解题思路如下：
（1）已知方程的一个根，求参数和另一根，可利用根与系数的关系：若一元二次方程$x^2+px+q=0$的两根为$x_1、x_2$，则$x_1+x_2=-p$，$x_1x_2=q$。设另一根为$b$，代入已知根2，即可列出关于$a、b$的关系式，联立求解即可；也可先将x=2代入原方程求出$a$的值，再代入方程求解另一根，两种方法均适用。
（2）要证明方程总有两个不相等的实数根，需依据根的判别式的性质：当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。先写出该方程的判别式表达式，通过配方变形，证明其值恒大于0即可。
（3）互为倒数的两个数乘积为1，因此方程两根之积为1，结合根与系数的关系中两根之积的表达式，直接列方程求解$a$即可。
【解析】
(1) 解：设该方程的另一个根为$b$.
由根与系数的关系，得$2+b=-a$，$2b=a-2$.
两式相加，得$2+3b=-2$，解得$b=-\frac{4}{3}$.
把$b=-\frac{4}{3}$代入$2+b=-a$中，得$2-\frac{4}{3}=-a$，解得$a=-\frac{2}{3}$.
(2) 证明：根的判别式$\Delta =a^2-4×1×(a-2)=a^2-4a+8$，
配方可得$\Delta=(a-2)^2+4$，
$\because (a-2)^2≥0$，
$\therefore (a-2)^2+4＞0$，即$\Delta＞0$，
故不论$a$取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
(3) 解：$\because$方程的两根互为倒数，
$\therefore$方程的两根之积为1，
由根与系数的关系得两根之积为$a-2$，即$a-2=1$，
解得$a=3$.
【答案】
(1) $a$的值为$-\frac{2}{3}$，方程的另一个根为$-\frac{4}{3}$；
(2) 证明见解析；
(3) $a=3$.
【知识点】
根与系数的关系，根的判别式，倒数的性质
【点评】
本题是一元二次方程的基础综合题，考查的都是核心基础知识点，题型典型，解题逻辑清晰，只要熟练掌握相关公式和性质就能顺利求解，适合巩固一元二次方程的基础应用。
【难度系数】
0.8
14. 某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入. 已知1月份投入图书购置经费50万元，3月份投入72万元. 求该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率.
答案
14. 解：设该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率为$x$.
根据题意，得$50(1+x)^2=72$，
解方程，得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不合题意，舍去）.
因此，该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率为$20\%$.
根据题意，得$50(1+x)^2=72$，
解方程，得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（不合题意，舍去）.
因此，该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率为$20\%$.
解析
【分析】
这是平均增长率类的实际应用题，解题可按以下思路推导：首先回忆平均增长率的基本数量关系：若初始量为a，平均每月增长率为x，经过2次增长后的总量为$a(1+x)^2$；本题中1月份投入的50万元是初始量，3月份投入的72万元是经过2次增长后的总量，据此可列出关于增长率x的一元二次方程；最后解方程时，结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的负根即可得到答案。
【解析】
设该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率为$x$.
根据题意，得$50(1+x)^2=72$，
整理得$(1+x)^2=\frac{36}{25}$，
开方得$1+x=\pm\frac{6}{5}$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）.
因此，该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率为$20\%$.
【答案】
$20\%$
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题关键是找准初始量、增长次数、最终量之间的等量关系列方程，同时要注意结合实际情景对方程的解进行取舍，排除不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.8
这是平均增长率类的实际应用题，解题可按以下思路推导：首先回忆平均增长率的基本数量关系：若初始量为a，平均每月增长率为x，经过2次增长后的总量为$a(1+x)^2$；本题中1月份投入的50万元是初始量，3月份投入的72万元是经过2次增长后的总量，据此可列出关于增长率x的一元二次方程；最后解方程时，结合增长率为正数的实际意义，舍去不符合要求的负根即可得到答案。
【解析】
设该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率为$x$.
根据题意，得$50(1+x)^2=72$，
整理得$(1+x)^2=\frac{36}{25}$，
开方得$1+x=\pm\frac{6}{5}$，
解得$x_1=0.2=20\%$，$x_2=-2.2$（增长率不能为负，不合题意，舍去）.
因此，该市图书馆这两个月平均每月投入图书购置经费的增长率为$20\%$.
【答案】
$20\%$
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题
【点评】
本题是典型的增长率类应用题，解题关键是找准初始量、增长次数、最终量之间的等量关系列方程，同时要注意结合实际情景对方程的解进行取舍，排除不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.8
15. 阅读下面材料，并完成相应的任务.
求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解. 各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到了同一种数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.
例如，①解一元三次方程$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$，通过因式分解把它转化为$x(x^2 - 3x + 2) = 0$，通过解方程$x = 0$和$x^2 - 3x + 2 = 0$，可得原方程$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$的解为$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，$x_3 = 2$.
②解根号下含有未知数的方程$\sqrt{2x + 3} = x$，通过两边同时平方转化为$2x + 3 = x^2$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$. ∵$2x + 3 ≥ 0$且$x ≥ 0$，∴$x = -1$不是原方程的解，∴原方程的解为$x = 3$.
请仔细阅读材料，解下列方程：
(1) $3x^3 + x^2 - 2x = 0$； (2) $\sqrt{4x + 9} = x + 1$.
求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求解一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解. 各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到了同一种数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解. 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.
例如，①解一元三次方程$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$，通过因式分解把它转化为$x(x^2 - 3x + 2) = 0$，通过解方程$x = 0$和$x^2 - 3x + 2 = 0$，可得原方程$x^3 - 3x^2 + 2x = 0$的解为$x_1 = 0$，$x_2 = 1$，$x_3 = 2$.
②解根号下含有未知数的方程$\sqrt{2x + 3} = x$，通过两边同时平方转化为$2x + 3 = x^2$，解得$x_1 = -1$，$x_2 = 3$. ∵$2x + 3 ≥ 0$且$x ≥ 0$，∴$x = -1$不是原方程的解，∴原方程的解为$x = 3$.
请仔细阅读材料，解下列方程：
(1) $3x^3 + x^2 - 2x = 0$； (2) $\sqrt{4x + 9} = x + 1$.
答案
15. 解：(1) $3x^3 + x^2 - 2x = 0$.
左边分解因式，得$x(3x^2 + x - 2) = 0$，
$\therefore x=0$或$3x^2 + x - 2 = 0$，
即$x=0$或$(x+1)(x-\frac{2}{3})=0$.
解方程，得$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=\frac{2}{3}$.
(2) 两边同时平方，得$4x+9=(x+1)^2$.
整理，得$x^2-2x-8=0$.
解方程，得$x_1=-2$，$x_2=4$.
$\because 4x+9≥0$且$x+1≥0$，$\therefore x≥-1$.
$\therefore x=-2$不是原方程的解.
$\therefore$原方程的解为$x=4$.
左边分解因式，得$x(3x^2 + x - 2) = 0$，
$\therefore x=0$或$3x^2 + x - 2 = 0$，
即$x=0$或$(x+1)(x-\frac{2}{3})=0$.
解方程，得$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=\frac{2}{3}$.
(2) 两边同时平方，得$4x+9=(x+1)^2$.
整理，得$x^2-2x-8=0$.
解方程，得$x_1=-2$，$x_2=4$.
$\because 4x+9≥0$且$x+1≥0$，$\therefore x≥-1$.
$\therefore x=-2$不是原方程的解.
$\therefore$原方程的解为$x=4$.
解析
【分析】
本题属于材料阅读类解方程题，核心是运用材料给出的“转化”数学思想求解新方程：
（1）对于三次方程，参照材料中一元三次方程的解法，先提取公因式降次，将三次方程转化为1个一次方程和1个一元二次方程，再分别求解，最后合并所有解即可；
（2）对于含根号的无理方程，参照材料中无理方程的解法，先通过两边平方将其转化为整式方程求解，再根据二次根式的被开方数非负、算术平方根结果非负两个条件检验解是否为增根，舍去增根后得到原方程的解。
【解析】
(1) 解方程$3x^3 + x^2 - 2x = 0$：
对左边因式分解，提取公因式$x$得：$x(3x^2 + x - 2) = 0$，
$\therefore x=0$或$3x^2 + x - 2 = 0$，
对二次式继续因式分解得$(x+1)(3x-2)=0$，
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=\frac{2}{3}$。
(2) 解方程$\sqrt{4x + 9} = x + 1$：
方程两边同时平方得：$4x+9=(x+1)^2$，
整理得：$x^2-2x-8=0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，
$\because 4x+9≥0$且$x+1≥0$，解得$x≥-1$，
$\therefore x=-2$不符合取值范围，是增根，舍去，
故原方程的解为$x=4$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=\frac{2}{3}$；
(2) $x=4$
【知识点】
1. 高次方程降次求解
2. 无理方程求解
3. 增根检验
【点评】
本题以材料阅读的形式考查转化思想的应用，需要学生快速理解材料给出的新方程解法，实现知识的迁移应用。解题时需注意，无理方程通过平方转化为整式方程的过程可能产生增根，必须结合根式的取值范围检验根的有效性，避免错解。
【难度系数】
0.7
本题属于材料阅读类解方程题，核心是运用材料给出的“转化”数学思想求解新方程：
（1）对于三次方程，参照材料中一元三次方程的解法，先提取公因式降次，将三次方程转化为1个一次方程和1个一元二次方程，再分别求解，最后合并所有解即可；
（2）对于含根号的无理方程，参照材料中无理方程的解法，先通过两边平方将其转化为整式方程求解，再根据二次根式的被开方数非负、算术平方根结果非负两个条件检验解是否为增根，舍去增根后得到原方程的解。
【解析】
(1) 解方程$3x^3 + x^2 - 2x = 0$：
对左边因式分解，提取公因式$x$得：$x(3x^2 + x - 2) = 0$，
$\therefore x=0$或$3x^2 + x - 2 = 0$，
对二次式继续因式分解得$(x+1)(3x-2)=0$，
分别求解得：$x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=\frac{2}{3}$。
(2) 解方程$\sqrt{4x + 9} = x + 1$：
方程两边同时平方得：$4x+9=(x+1)^2$，
整理得：$x^2-2x-8=0$，
因式分解得$(x-4)(x+2)=0$，解得$x_1=-2$，$x_2=4$，
$\because 4x+9≥0$且$x+1≥0$，解得$x≥-1$，
$\therefore x=-2$不符合取值范围，是增根，舍去，
故原方程的解为$x=4$。
【答案】
(1) $x_1=0$，$x_2=-1$，$x_3=\frac{2}{3}$；
(2) $x=4$
【知识点】
1. 高次方程降次求解
2. 无理方程求解
3. 增根检验
【点评】
本题以材料阅读的形式考查转化思想的应用，需要学生快速理解材料给出的新方程解法，实现知识的迁移应用。解题时需注意，无理方程通过平方转化为整式方程的过程可能产生增根，必须结合根式的取值范围检验根的有效性，避免错解。
【难度系数】
0.7
